優化三垂線定理教學之我見

郭雄英

摘要：在高中數學教學中，三垂線定理是非常重要的內容，要求學生必須重點掌握。三垂線定理及其逆定理是高考重點考核的知識點之一。因此，在教學中，教師如何將三垂線定理及其三垂線定理的逆定理講透是非常重要的。本文針對于優化三垂線定理教學進行了具體的分析和研究。教師通過不斷對三垂線定理進行優化教學，促進學生學習上的進步。

關鍵詞：三垂線定理；逆定理；爪子定理；教學

0 前言

在高中數學教學中，針對于三垂線定理的教學，是重點的教學內容，教師需要采用有效的教學方法，提高學生學習三垂線定理及其三垂線定理的逆定理的學習效率，使學生能夠全面的掌握三垂線定理及其三垂線逆定理的重點，并且將其融會貫通的應用到實際的解題當中。本文針對于三垂線定理主要進行如下幾個方面的分析，對三垂線定理講解的重點進行了研究，區分了三垂線定理以及逆定理，三垂線定理及其逆定理是爪子定理的特例這一事實，并且詳細的探討了如何靈活的的運用三垂線定理及其三垂線定理的逆定理。下面就進行具體的研究。

1 如何進行三垂線定理的講解

在高中數學的教學中，教師只有想辦法對三垂線定理進行有效的講解，才能夠使學生全面的掌握三垂線定理方面的相關知識。教師在進行三垂線定理講解的時候，應該注意以下幾個方面[1]。一是，在強化三垂線定理條件的時候，教師應該與學生一定對三垂線定理的內容進行解析，教師與學生一起對三垂線定理逐字逐句的進行解釋，包括每個條件和結論的含義。二是，教師應該揭示三垂線定理及其逆定理的實質，三垂線定理及其逆定理是研究直線和直線之間垂直關系的。三是，應該擬清三垂線定理的結構關系。教師在進行三垂線定理教學的過程中，學生剛開始可能分不清各條直線之間的關系，教師應該幫助學生將所涉及的面與線，線與線之間的關系進行理順，三垂線定理及其逆定理的條件和結論一共涉及到四線、三垂以及一平面[2]。因此，在實際學習中學生一定要先找出兩個垂直，再推出第三個垂直。

2 正確區分三垂線定理及其逆定理

學生在實際的學習中，三垂線定理及其逆定理在理論上敘述非常的相似，很多學生在學生中，容易將三垂線定理和三垂線定理的逆定理混淆。因此，教師應該教授學生的鑒別的方法。實際上，三垂線定理是判定平面內一直線與該平面外的一直線（指斜線）垂直關系的，而三垂線定理的逆定理是判定平面內一直線與這平面的斜線在該平面內的射影的垂直關系的。三垂線定理及其三垂線定理的逆定理是有著本質的區別的。

3 三垂線定理及其逆定理是爪子定理的特例

在高中數學中，三垂線定理及其逆定理是爪子定理的一個特例所存在。

爪子定理是：如圖1，ι是平面γ的斜線，m是ι在平面γ內的射影，n為γ內的任一直線，ι與平面γ所成的角為α，m與n所成的角為β，ι與n所成的角為θ，則cosθ=cosα·cosβ。

當β=90°時，必有θ=90°，此時為三垂線定理；

當θ=90°時，必有β=90°，此時為三垂線定理的逆定理。

4 如何靈活的的運用三垂線定理及其逆定理

在高中數學的教學中，教師對三垂線定理的教學，主要是為了學生能夠靈活的運用三垂線定理，使學生能夠運用三垂線定理解決實際的問題[7]。教師應該教會學生充分運用平面位置的變化打破定勢思維習慣，通過下文的例題有意識的對學生加強訓練，進而確保學生能夠全面的掌握三垂線定理及其三垂線定理的逆定理。

例題：

如圖2所示，α∩β=CD，

AB⊥α于點E，AA1⊥β于點A1，

BB1⊥β于點B1，求證：CD⊥A1 B1

分析：

在本道習題中，一共涉及到2個平面，從圖1上看，CD和A1 B1均在平面β上，因此，這屬于內內二線，因此，我們在進行證明的時候針對于CD和A1 B1均在平面β上我們應該運用三垂線定理的逆定理進行論證。而由題目我們可以推出，AB⊥CD，因此，我們在進行證明的過程中，需要充分的利用這個條件，在本題中，我們可以將AB⊥CD理解為平面α的垂線一定會垂直于所處在平面α內的CD，由圖1我們可以了解，平面α和平面β是相交的，因此，我們可以得知AB是β的斜線，而由題目中AA1⊥β于點A1，BB1⊥β于點B1，我們所得，A1 B1是斜線AB在平面β中的射影。又從，α∩β，我們可以得知AB⊥CD是平面β中直線CD垂直于平面β的斜線AB。通過依據題目和圖1我們進行分析，進而理清了本題的證明思路，而本題主要就是應用三垂線定理的逆定理進行證明。

5 結束語

本文主要對優化三垂線定理的教學進行了具體的分析和研究，通過本文的探討，我們了解到，教師在實際的教學中，需要采取相應的教學策略，使學生全面的掌握有關于三垂線定理及其逆定理的相關方面的知識。另外，在教學中，教師應該讓學生充分的理解三垂線定理的實質和內涵，學生只有掌握三垂線定理的實質，才能夠真正的掌握有關于三垂線定理的知識，在平時的數學學習中，解決實際的問題，進而不斷的促進學生學習上的進步。

參考文獻

[1] 張朝霞.淺談三垂線定理的應用[J].赤峰教育學院學報。 2009（03）。

[2] 樓可飛. 三垂線定理及其逆定理的題根[J].高中數理化（高二版）。 2009（02）。

[3] 王志強.應用“垂面、三垂線定理”求“二面角”（高二）[J].數理天地（高中版）。 2011（03）。

[4] 胡燕麗，樓可飛.對三垂線定理及其逆定理的一點認識[J]. 數學大世界（高中輔導）。 2011（10）。

[5] 樓可飛.對三垂線定理及其逆定理的認識[J].數理天地（高中版）。 2011（06）。

[6] 王永懷，霍振化.“三垂線定理”的說課和點評[J].中學數學教學參考。 2011 （04）。

[7] 朱偉衛.例談三垂線定理及其逆定理圖形變換的訓練[J].數學通報。 2009（06）。