構(gòu)造法在高等代數(shù)中的應(yīng)用研究

史秀英

（赤峰學(xué)院繼續(xù)教育與教師培訓(xùn)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

構(gòu)造法在高等代數(shù)中的應(yīng)用研究

史秀英

（赤峰學(xué)院繼續(xù)教育與教師培訓(xùn)學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)造性的解題方法，利用構(gòu)造法解題有出奇制勝之妙，也有事半功倍之效.本文將以高等代數(shù)有關(guān)知識并結(jié)合具體實(shí)例，談?wù)剺?gòu)造思想方法在解題中的運(yùn)用.

構(gòu)造法；高等代數(shù)；應(yīng)用；數(shù)學(xué)模型

構(gòu)造法屬于非常規(guī)思維、另辟蹊徑的解題方法，其本質(zhì)特征是“構(gòu)造”，用構(gòu)造法解題，無一定之規(guī)，表現(xiàn)出思維的試探性、不規(guī)則性和創(chuàng)造性，其關(guān)鍵在于對問題特征的敏銳觀察，展開豐富的聯(lián)想，充分地挖掘題設(shè)與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而謀求解決問題的途徑.

構(gòu)造法在高等代數(shù)中有著廣泛的應(yīng)用，但怎樣“構(gòu)造”始終是求解問題的難點(diǎn).在具體研究對象中，根據(jù)實(shí)際情況可能需要構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造多項(xiàng)式、構(gòu)造行列式、構(gòu)造矩陣、構(gòu)造二次型、構(gòu)造基、構(gòu)造變換等等數(shù)學(xué)模型，而后再利用已知條件及有關(guān)概念、定理推理得出所要證明的結(jié)果.構(gòu)造法的解題類型較多，一般存在性命題或潛在的存在性命題更適宜用構(gòu)造法.

1 構(gòu)造法在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用

構(gòu)造法在多項(xiàng)式理論中的應(yīng)用，主要是借助已知條件，利用多項(xiàng)式的性質(zhì)，構(gòu)造出符合條件的多項(xiàng)式，進(jìn)而最終獲解.

例1證明任意一個(gè)次數(shù)大于零的有理系數(shù)多項(xiàng)式都可以表成兩個(gè)有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式的和.

分析：本題中討論的是任意多項(xiàng)式的一種定性分解，因此，本題的解決必須要定性地構(gòu)造出結(jié)論中的表示形式.問題的關(guān)鍵是這兩個(gè)有理系數(shù)不可約多項(xiàng)式如何構(gòu)造，而我們常見的不可約有理系數(shù)多項(xiàng)式有一次多項(xiàng)式和滿足Eisenstein判別法條件的有理系數(shù)多項(xiàng)式.

（ⅰ）若a0=0，取素?cái)?shù)p，構(gòu)造多項(xiàng)式：g(x)=pf(x)+x'+p，其中s>n，由Eisenstein判別法可得：g(x),h(x)=x'+p在有理數(shù)域上不可約，所以在有理數(shù)域上也不可約.

（ⅱ）若a0≠0，取素?cái)?shù)p，使得：p?a0，p>2，構(gòu)造多項(xiàng)式：g (x)=pf(x)+x'+p(p-2)a0，其中s>n，g(x)的常數(shù)項(xiàng)為：pa0+p(p-2) a0=p(p-1)a0，可見：p2?p(p-1)a0，由Eisenstein判別法知：g(x),h (x)=x'+p(p-2)a0在有理數(shù)域上不可約，所以h (x)在有理數(shù)域上也不可約.

（2）若f(x)∈Q[x],則存在m∈z，使mf(x)∈Z[x]，由（1）知：存在有理數(shù)域上不可約多項(xiàng)式u(x),v(x)∈Q(x)，使得mf(x)=u (x)+v(x)，故

2 構(gòu)造法在行列式中的應(yīng)用

構(gòu)造法在行列式中的應(yīng)用，主要是借助已知的特征、特型和特值行列式，利用行列式的性質(zhì)與展開，構(gòu)造恒等變形行列式，進(jìn)而最終獲解.

例2證明：n階循環(huán)行列式中1,ε,ε2,…,εn-1為全部n次單位根（其中ε為n次本原單位根），f(x)=a1+a2x+…+anxn-1.

分析：根據(jù)本題行列式的特征，構(gòu)造矩陣，利用特征多項(xiàng)式、特征值來證.

證明構(gòu)造n階方陣：

則Dn=a1E+a2A+…+anAn-1=f（A），且A的特征多項(xiàng)式為|λE-A|=λn-1，即有A的特征值為全部n次單位根ε1,ε2,…,εn,有矩陣f(A)的特征值為f(ε1),f(ε2),…,f(εn)，所以|Dn|=|f(A)|=f(ε1)f (ε2)…f(εn).

3 構(gòu)造法在線性方程組中的應(yīng)用

構(gòu)造法在線性方程組中的應(yīng)用，主要是借助已知條件，利用線性方程組的同解變換，構(gòu)造同解方程組，進(jìn)而最終獲解.

例3設(shè)n階方陣A的秩為r，則存在秩為n-r的n階矩陣B和C,使得AB=0,CA=0.

證明設(shè)齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系為ξ1,ξ2,…, ξn-r，構(gòu)造矩陣：B=（ξ1,ξ2,…,ξn-r,ξn-r+1,…,ξn），其中ξn-r+1,…,ξn是ξ1,ξ2,…,ξn-r的線性組合，則有Aξi=0（i=1,2,…,n），即AB=0.

同理，構(gòu)造矩陣F,使得A'F=0,于是F'A=0,令F'=C，即有CA=0.

4 構(gòu)造法在矩陣中的應(yīng)用

構(gòu)造法在矩陣中的應(yīng)用，主要是借助已知條件，利用矩陣的性質(zhì)，構(gòu)造出符合條件的矩陣或矩陣等式，進(jìn)而最終獲解.

例4設(shè)矩陣A∈Ps×n，證明：r(Es-AA')-r(En-A'A)=s-n

于是有r(B)=r(Es-AA')+n=s+r(En-A'A).故：r(Es-AA')-r(En-A'A)=s-n.

5 構(gòu)造法在二次型中的應(yīng)用

構(gòu)造法在二次型中的應(yīng)用，主要是借助已知條件，利用二次型與對稱矩陣的性質(zhì)，構(gòu)造出符合條件的二次型或?qū)ΨQ矩陣，進(jìn)而最終獲解.

例5設(shè)A實(shí)數(shù)域上的n階對稱矩陣，求證：存在實(shí)數(shù)c，使得對實(shí)數(shù)域上任何n維列向量X,都有|X'AX|≤cXX',其中X'是X的轉(zhuǎn)置矩陣.

證明由于A是對稱矩陣，構(gòu)造n元二次型

f(x1,x2,…,xn)=X'AX,則存在正交線性變換X=QY，將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型

另取c=max{|λ1|,λ2|,…,|λn|}，

則有-cX'AX=-cY'Q'QY=-cY'Y

于是|X'AX|≤cX'X.

6 構(gòu)造法在線性空間中的應(yīng)用

構(gòu)造法在線性空間中的應(yīng)用，主要是借助已知條件，利用線性空間基的性質(zhì)，構(gòu)造出符合條件的向量，進(jìn)而最終獲解.

例6設(shè)V數(shù)域R上一個(gè)n(n≥1)維線性空間，證明：存在V的無限子集S，使S中任意n個(gè)向量線性無關(guān).

證明設(shè)β1,β2,…,βn為V的一組基，則V=L(β1,β2,…, βn)，從而對任意的α∈V，有其中k1,k2,…,kn∈R，特別的，我們構(gòu)造如下向量

即A=CB.

由于ik≠ij≠0，從而由范德蒙行列式可知：≠0，即有r(C)=n，而β1,β2,…,βn為V的一組基，所以r(B)=n，于是r(A)=n.

7 構(gòu)造法在線性變換中的應(yīng)用

構(gòu)造法在線性變換中的應(yīng)用，主要是借助已知條件，利用線性變換與矩陣的同構(gòu)與性質(zhì)，構(gòu)造出符合條件的線性變換與矩陣，進(jìn)而最終獲解.

例7設(shè)V是一個(gè)n維線性空間，證明：V的任意一個(gè)子空間W必為某線性變換的核.

證明當(dāng)W={0}時(shí)，則W為恒等變換的核；

當(dāng)W=V時(shí)，則W為零變換的核；

當(dāng){0}?W?V時(shí)，即W是V的真子空間時(shí)，設(shè)dimW=r，

取W的一組基：ξ1,ξ2,…,ξr，把它擴(kuò)充為V的一組基：ξ1, ξ2,…,ξr，ξr+1,…,ξn，

8 構(gòu)造法在歐式空間中的應(yīng)用

構(gòu)造法在歐式空間中的應(yīng)用，主要是根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征，利用歐式空間的性質(zhì)，構(gòu)造出符合條件的結(jié)論，進(jìn)而最終獲解.

例8設(shè)V是一個(gè)n維歐式空間，W是V的子空間，W⊥是V中一切與W正交的向量組成的集合，證明：W⊥是V的子空間，且dimW+dimW⊥=n，(W⊥)⊥=W

證明易證W⊥是V的子空間.

當(dāng)W={0}時(shí)，易知W⊥=V，這時(shí)V=W⊕W⊥.

當(dāng)W=V時(shí)，易知W⊥={0}，這時(shí)V=W⊕W⊥仍成立.

當(dāng)dimW=t(0

構(gòu)造子空間：W1=L(εt+1,…,εn),可以證明W1=L(εt+1,…,εn) =W⊥.

事實(shí)上，任取α∈W1=L(εt+1,…,εn),則α=at+1εt+1+…anεn，任取β∈W,則

于是α∈W⊥，即W1=L(εt+1,…,εn)?W⊥.

反之，任取γ∈W⊥?V,不妨設(shè)γ=b1ε1+b2ε2+…+btεt+bt+1εt+1+…+bnεn,對任意εi∈W(i=1,2,…,t)，則有(εi,γ)=bi(εi,εi) =0,即有bi=0(i=1,2,…,t)，

故γ=bt+1εt+1+…+bnεn，從而γ∈L(εt+1,…,εn)=W1,即W⊥?L (εt+1,…,εn)=W1，

從而W1=L(εt+1,…,εn)=W⊥.

又V=L(ε1+ε2+…+εt,εt+1+…+εn)=L(ε1,ε2,…,εt)⊕L(εt+1,…, εn)，即V=W⊕W⊥.由V=W⊕W⊥，且W⊥W⊥,所以由歐式空間正交補(bǔ)的定義及唯一性可知：(W⊥)⊥=W.

以上，我們從高等代數(shù)不同的知識角度談了構(gòu)造法的應(yīng)用，更多用構(gòu)造法求解的問題，還需要我們在以后學(xué)習(xí)過程中去總結(jié)發(fā)現(xiàn).

〔1〕王積社，楊曉鵬.高等代數(shù)典型問題精講[M].北京：科學(xué)出版社,2010.

〔2〕周金土.高等代數(shù)解題思想與方法[M].杭州：浙江大學(xué)出版社,2008.

〔3〕李志慧,李永明.高等代數(shù)中的典型問題與方法[M].北京：科學(xué)出版社,2008.

〔4〕張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社, 1999.

O151.2

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1673-260X（2013）06-0011-03