Helmholtz方程的楔形基區(qū)域分解法

童小紅，秦新強(qiáng)

西安理工大學(xué) 理學(xué)院，西安 710054

Helmholtz方程的楔形基區(qū)域分解法

童小紅，秦新強(qiáng)

西安理工大學(xué) 理學(xué)院，西安 710054

1 引言

Helmholtz型方程在許多工程領(lǐng)域都會(huì)遇到，如電磁場中的波導(dǎo)問題、薄膜振動(dòng)問題以及海洋工程中水波衍射問題等都是由Helmholtz型方程控制的[1-2]。因此，構(gòu)造穩(wěn)定、快速實(shí)用的數(shù)值算法求解Helmholtz型方程，有著重要的理論和實(shí)際意義。

考慮二維Helmholtz型方程的邊值問題：

其中，Ω是有界矩形區(qū)域，光滑邊界?Ω，Δ為Laplace算子，k為波數(shù)。

目前，求解Helmholtz型方程的數(shù)值方法有有限元法[3]、有限差分[4]、光譜法[5]。而無網(wǎng)格法是近年來迅速興起的一種新型、高效的數(shù)值方法，基于無網(wǎng)格方法求解偏微分方程的研究也有了一些成果[6-7]?，F(xiàn)在國際上常用的處理多元問題的函數(shù)基有兩種：徑向基函數(shù)和楔形基函數(shù)。基于徑向基函數(shù)插值求偏微分方程數(shù)值解的研究已經(jīng)有了一系列成果[8-9]，而對于楔形基函數(shù)的研究，無論在理論研究方面還是實(shí)際應(yīng)用方面都非常少[10-14]。

但是，使用無網(wǎng)格配點(diǎn)法求解區(qū)域較大的問題，當(dāng)空間步長較小時(shí)，節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加會(huì)引起系數(shù)矩陣的條件數(shù)太大，以至于出現(xiàn)病態(tài)問題[10，15]。針對這種病態(tài)問題，本文引入了楔形基無網(wǎng)格配點(diǎn)的區(qū)域分解方法，并應(yīng)用于求解Helmholtz型方程數(shù)值解問題。通過數(shù)值算例表明該算法兼有楔形基無網(wǎng)格配點(diǎn)法的優(yōu)點(diǎn)，降低了系數(shù)矩陣的條件數(shù)，提高了算法的穩(wěn)定性，并達(dá)到了滿意的收斂效果。

2 楔形基配點(diǎn)無網(wǎng)格法

2.1 數(shù)值方法的構(gòu)造

定理1[6]如果?(·)不是多項(xiàng)式，則楔形基{?(cTx+d)}可以逼近幾乎所有的函數(shù)?！?br>