滑動軸承潤滑分析中的邊界條件

尹偉，段京華，孫軍，施煒，柴曉輝

(1.合肥工業大學 機械與汽車工程學院，合肥 230009；2.安徽省汽車工業學校，合肥 230041)

滑動軸承具有承載能力強、運轉平穩可靠、噪聲低和壽命長等優點，在機械領域應用十分廣泛，其工作狀況對機械裝置工作的經濟性、可靠性和耐久性等有著非常重要的影響。在滑動軸承設計中，潤滑性能分析占有非常重要的地位。1883年Tower對火車輪軸用滑動軸承進行試驗，首次發現軸承油膜存在流體壓力的現象。針對Tower的發現，1886年Reynolds應用流體力學理論推導出Reynolds方程，以此解釋流體動壓的形成機理，奠定了流體潤滑理論研究的基礎。根據流體潤滑理論，滑動軸承潤滑分析一般通過求解Reynolds方程完成。在具體的滑動軸承潤滑分析中，需要結合分析的實際問題采用合適的壓力等邊界條件。研究表明，滑動軸承油膜壓力計算中所采用的邊界條件的合理性是影響結果誤差的重要因素。因此，滑動軸承潤滑分析的關鍵是如何確定符合實際的求解邊界條件，能否確定合理的求解Reynolds方程的邊界條件將直接影響滑動軸承潤滑性能的計算預測精度。

1 早期采用的邊界條件

1.1 Sommerfeld邊界條件[1]

Sommerfeld邊界條件如圖1所示，設定的求解區間為：下限φ1=0，上限φ2=2π；滿足角位置坐標φ=φ1時油膜壓力p=0，φ=φ2時油膜壓力p=0。油膜(間隙)收斂區的油膜壓力為正壓力，油膜發散區的油膜壓力為負壓力，壓力分布形成反對稱。Sommerfeld邊界條件假設軸承整個油膜腔中都充滿潤滑油，油膜是連續的，這種假設與實際情況存在較大偏差。對于實際軸承，在油膜發散區會產生負壓力，這必然導致空氣的混入，因此油膜不是連續的。

圖1 Sommerfeld邊界條件

Sommerfeld邊界條件在軸承潤滑分析的求解中應用比較方便，但由于實際油膜不可能承受較大且長時間的負壓力作用，Sommerfeld邊界條件在物理上不滿足，故其一般僅能用于軸承潤滑問題的定性分析。

1.2 半Sommerfeld邊界條件[1]

圖2 半Sommerfeld邊界條件

使用半Sommerfeld邊界條件進行軸承潤滑分析求解比較方便，求解的軸承壓力分布與實際情況比較接近且偏于安全，一般可應用于工程中軸承潤滑性能的計算。半Sommerfeld邊界條件存在的問題有：(1)忽略了非穩態渦動速度對油膜邊界位置的影響，這只有在軸頸純旋轉時才近似成立，對于有擠壓效應的軸承一般不適用；(2)實際上在油膜厚度出現最小值之后油膜中還存在壓力，因此該邊界條件不符合壓力及流量連續條件，分析不夠準確。

1.3 Hahn邊界條件[2]

Hahn邊界條件比較符合實際，如用于軸承潤滑性能求解比較合理，但該邊界條件沒有給出符合實際使用的計算數學模型，也沒有考慮軸頸渦動運動對邊界條件的影響。其用于動載軸承潤滑分析時，計算的軸承軸心軌跡偏心率一般偏大。

2 目前采用的邊界條件

2.1 Reynolds邊界條件[1-3]

Reynolds邊界條件認為油膜是不連續的，形成油膜的起始點在軸承的最大間隙位置處，油膜終止點非人為確定，而是由油膜的自然破裂條件確定。Reynolds邊界條件不但可克服油膜在發散區的負壓力問題，而且可滿足流量連續性條件，但Reynolds邊界條件僅是在油膜破裂邊界滿足流量的質量守恒條件，在形成油膜的起始邊界不能滿足流量的質量守恒條件。

Reynolds邊界條件如圖3所示，處理的出發點為在存在油膜的區域中滿足潤滑油的流動連續性。這樣在油膜區域中，以下2個斷面處只存在剪切流，不存在壓力流，一個斷面為出現最大油膜壓力pmax的斷面，另一斷面在油膜發散區內，即不在φ=π處(最小間隙hmin處)。設該斷面的位置角φ=π+α(圖3)，由于該斷面處的油膜壓力p下降為零，則有

圖3 Reynolds邊界條件

設位置角φ=π+α斷面處h=h*′，則該斷面的流量為

式中：h為油膜厚度；h*′為位置角φ=π+α斷面處的油膜厚度；U為軸頸表面速度，U=R1ω；R1為軸頸半徑；ω為軸頸角速度。

最大油膜壓力pmax斷面處h=h*，則該斷面的流量為

式中：φ*和h*分別為最大油膜壓力pmax斷面處的位置角和油膜厚度。

Reynolds邊界條件與前述邊界條件相比，應用在油膜破裂處比較合理，符合壓力及流量連續條件。應用Reynolds邊界條件進行軸承潤滑性能分析與實測結果比較接近。Reynolds邊界條件的問題有：(1)油膜終止點位置必須根據計算確定，不便使用；(2)不能正確解釋油膜破裂后再形成的情況，僅適用于油膜破裂邊界的移動速度小于軸頸線速度一半的場合；(3)假設在空穴出現部位完全沒有流量，即使在固體表面上也沒有潤滑油，這不完全符合實際；(4)當引入了溫度的影響，或軸承供油不足，或油膜中存在負壓力時，該邊界條件都將不適合。

2.2 雙Reynolds邊界條件[4]

雙Reynolds邊界條件用于軸承性能分析的優、缺點與Reynolds邊界條件基本相同，但與Reynolds邊界條件相比，雙Reynolds邊界條件同時考慮了油膜破裂對上、下游邊界的影響，更適合于非穩態工況下的軸承潤滑分析。

2.3 Floberg邊界條件[2]

Floberg邊界條件不適用于高轉速、大擾動軸承的實際工況，其僅較適用于低轉速、小擾動及低Reynolds數油膜的軸承潤滑性能計算。

2.4 質量守恒邊界條件[7-22]

質量守恒邊界條件由Jakobsson，Floberg和Olsson提出，也稱為JFO邊界理論。該邊界條件認為油膜在破裂和再形成邊界位置處于質量守恒，設定潤滑區域分為完整油膜區和空穴區。完整油膜區中仍然使用Reynolds邊界條件，在空穴區流體以條狀形式流動，與軸承和轉子表面均不脫離，空穴區中的壓力不變。質量守恒邊界條件克服了Reynolds邊界條件的缺點，不僅提供了油膜破裂條件，而且提供了油膜的再形成條件。

質量守恒邊界條件的油膜破裂條件為

式中：n為法向。

質量守恒邊界條件的油膜再形成條件為

式中：μ為潤滑劑動力黏度；V為油膜速度；θ為油膜所占體積比，θ=ρ/ρc；ρ為潤滑油密度；ρc為空穴壓力pc下的潤滑油密度。

質量守恒邊界條件的數值實現相對比較困難，許多研究者對其數值處理進行了探討。

(3)文獻[16]提出變分和有限元相結合的空穴計算方法。

(4)文獻[7，17]發現滑動軸承油膜壓力通常達不到使潤滑油壓縮的臨界壓力值，在通常情況下滑動軸承潤滑分析中潤滑油不可壓縮性的假設符合實際情況。基于此對文獻[10]進行改進，推導出完整油膜區和空穴區潤滑方程的統一表達式，使質量守恒邊界條件可更為簡便精確地應用于軸承潤滑分析，此方法稱為不可壓縮流體空穴算法。

完整油膜區的潤滑方程為

式中：x=R1φ。

根據連續方程和N-S方程推導空穴區的潤滑方程為

將上述兩式無量綱化，引入變量ξ和開關函數g，ξ在不同區域賦予不同的物理意義。

不可壓縮流體空穴算法的無量綱通用方程為

(5)文獻[18]應用質量守恒邊界條件分析了動載滑動軸承潤滑性能，與Reynolds邊界條件下的計算結果比較發現，2種邊界條件下求解得到的軸承最大油膜壓力和最小油膜厚度都很接近，但質量守恒邊界條件下的計算結果的空穴區大得多，流量與Reynolds邊界條件下的結果相差比較多。

質量守恒邊界條件是一種最符合實際情況的軸承潤滑分析邊界條件，不僅提供了油膜破裂條件，而且提供了油膜再形成條件。采用質量守恒邊界條件可更精確地預測軸承的承載力、潤滑油流速、流量和功耗，計算得到的數值結果與實測結果吻合得相當好。

3 結束語

目前在滑動軸承潤滑分析中采用的邊界條件主要是Reynolds邊界條件和質量守恒邊界條件。這2種邊界條件相比，Reynolds邊界條件采用負壓力置零的方法逐漸逼近確定油膜破裂邊界，這對于實現潤滑分析中的求解較為方便，但其最大問題是不能正確解釋油膜破裂后再形成的情況，所以不適用于對軸承性能分析要求高的整體計算精度。質量守恒邊界條件是一種基本可反映所有實際軸承工作中油膜狀況的潤滑分析邊界條件，雖然其在具體求解中的應用比Reynolds邊界條件復雜，但非常高的整體計算精度使其在滑動軸承潤滑分析中得到越來越多的應用。質量守恒邊界條件也需不斷完善，如空穴區的油膜形態確定，即油膜為條狀、氣泡狀還是蕨類狀；空穴區油膜壓力目前一般根據試驗推算確定，如何通過理論分析計算方法確定還有待解決。