滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑分析中的邊界條件

尹偉，段京華，孫軍，施煒，柴曉輝

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，合肥 230009；2.安徽省汽車工業(yè)學(xué)校，合肥 230041)

滑動(dòng)軸承具有承載能力強(qiáng)、運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)可靠、噪聲低和壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，在機(jī)械領(lǐng)域應(yīng)用十分廣泛，其工作狀況對(duì)機(jī)械裝置工作的經(jīng)濟(jì)性、可靠性和耐久性等有著非常重要的影響。在滑動(dòng)軸承設(shè)計(jì)中，潤(rùn)滑性能分析占有非常重要的地位。1883年Tower對(duì)火車輪軸用滑動(dòng)軸承進(jìn)行試驗(yàn)，首次發(fā)現(xiàn)軸承油膜存在流體壓力的現(xiàn)象。針對(duì)Tower的發(fā)現(xiàn)，1886年Reynolds應(yīng)用流體力學(xué)理論推導(dǎo)出Reynolds方程，以此解釋流體動(dòng)壓的形成機(jī)理，奠定了流體潤(rùn)滑理論研究的基礎(chǔ)。根據(jù)流體潤(rùn)滑理論，滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑分析一般通過(guò)求解Reynolds方程完成。在具體的滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑分析中，需要結(jié)合分析的實(shí)際問(wèn)題采用合適的壓力等邊界條件。研究表明，滑動(dòng)軸承油膜壓力計(jì)算中所采用的邊界條件的合理性是影響結(jié)果誤差的重要因素。因此，滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑分析的關(guān)鍵是如何確定符合實(shí)際的求解邊界條件，能否確定合理的求解Reynolds方程的邊界條件將直接影響滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑性能的計(jì)算預(yù)測(cè)精度。

1 早期采用的邊界條件

1.1 Sommerfeld邊界條件[1]

Sommerfeld邊界條件如圖1所示，設(shè)定的求解區(qū)間為：下限φ1=0，上限φ2=2π；滿足角位置坐標(biāo)φ=φ1時(shí)油膜壓力p=0，φ=φ2時(shí)油膜壓力p=0。油膜(間隙)收斂區(qū)的油膜壓力為正壓力，油膜發(fā)散區(qū)的油膜壓力為負(fù)壓力，壓力分布形成反對(duì)稱。Sommerfeld邊界條件假設(shè)軸承整個(gè)油膜腔中都充滿潤(rùn)滑油，油膜是連續(xù)的，這種假設(shè)與實(shí)際情況存在較大偏差。對(duì)于實(shí)際軸承，在油膜發(fā)散區(qū)會(huì)產(chǎn)生負(fù)壓力，這必然導(dǎo)致空氣的混入，因此油膜不是連續(xù)的。

圖1 Sommerfeld邊界條件

Sommerfeld邊界條件在軸承潤(rùn)滑分析的求解中應(yīng)用比較方便，但由于實(shí)際油膜不可能承受較大且長(zhǎng)時(shí)間的負(fù)壓力作用，Sommerfeld邊界條件在物理上不滿足，故其一般僅能用于軸承潤(rùn)滑問(wèn)題的定性分析。

1.2 半Sommerfeld邊界條件[1]

圖2 半Sommerfeld邊界條件

使用半Sommerfeld邊界條件進(jìn)行軸承潤(rùn)滑分析求解比較方便，求解的軸承壓力分布與實(shí)際情況比較接近且偏于安全，一般可應(yīng)用于工程中軸承潤(rùn)滑性能的計(jì)算。半Sommerfeld邊界條件存在的問(wèn)題有：(1)忽略了非穩(wěn)態(tài)渦動(dòng)速度對(duì)油膜邊界位置的影響，這只有在軸頸純旋轉(zhuǎn)時(shí)才近似成立，對(duì)于有擠壓效應(yīng)的軸承一般不適用；(2)實(shí)際上在油膜厚度出現(xiàn)最小值之后油膜中還存在壓力，因此該邊界條件不符合壓力及流量連續(xù)條件，分析不夠準(zhǔn)確。

1.3 Hahn邊界條件[2]

Hahn邊界條件比較符合實(shí)際，如用于軸承潤(rùn)滑性能求解比較合理，但該邊界條件沒有給出符合實(shí)際使用的計(jì)算數(shù)學(xué)模型，也沒有考慮軸頸渦動(dòng)運(yùn)動(dòng)對(duì)邊界條件的影響。其用于動(dòng)載軸承潤(rùn)滑分析時(shí)，計(jì)算的軸承軸心軌跡偏心率一般偏大。

2 目前采用的邊界條件

2.1 Reynolds邊界條件[1-3]

Reynolds邊界條件認(rèn)為油膜是不連續(xù)的，形成油膜的起始點(diǎn)在軸承的最大間隙位置處，油膜終止點(diǎn)非人為確定，而是由油膜的自然破裂條件確定。Reynolds邊界條件不但可克服油膜在發(fā)散區(qū)的負(fù)壓力問(wèn)題，而且可滿足流量連續(xù)性條件，但Reynolds邊界條件僅是在油膜破裂邊界滿足流量的質(zhì)量守恒條件，在形成油膜的起始邊界不能滿足流量的質(zhì)量守恒條件。

Reynolds邊界條件如圖3所示，處理的出發(fā)點(diǎn)為在存在油膜的區(qū)域中滿足潤(rùn)滑油的流動(dòng)連續(xù)性。這樣在油膜區(qū)域中，以下2個(gè)斷面處只存在剪切流，不存在壓力流，一個(gè)斷面為出現(xiàn)最大油膜壓力pmax的斷面，另一斷面在油膜發(fā)散區(qū)內(nèi)，即不在φ=π處(最小間隙hmin處)。設(shè)該斷面的位置角φ=π+α(圖3)，由于該斷面處的油膜壓力p下降為零，則有

圖3 Reynolds邊界條件

設(shè)位置角φ=π+α斷面處h=h*′，則該斷面的流量為

式中：h為油膜厚度；h*′為位置角φ=π+α斷面處的油膜厚度；U為軸頸表面速度，U=R1ω；R1為軸頸半徑；ω為軸頸角速度。

最大油膜壓力pmax斷面處h=h*，則該斷面的流量為

式中：φ*和h*分別為最大油膜壓力pmax斷面處的位置角和油膜厚度。

Reynolds邊界條件與前述邊界條件相比，應(yīng)用在油膜破裂處比較合理，符合壓力及流量連續(xù)條件。應(yīng)用Reynolds邊界條件進(jìn)行軸承潤(rùn)滑性能分析與實(shí)測(cè)結(jié)果比較接近。Reynolds邊界條件的問(wèn)題有：(1)油膜終止點(diǎn)位置必須根據(jù)計(jì)算確定，不便使用；(2)不能正確解釋油膜破裂后再形成的情況，僅適用于油膜破裂邊界的移動(dòng)速度小于軸頸線速度一半的場(chǎng)合；(3)假設(shè)在空穴出現(xiàn)部位完全沒有流量，即使在固體表面上也沒有潤(rùn)滑油，這不完全符合實(shí)際；(4)當(dāng)引入了溫度的影響，或軸承供油不足，或油膜中存在負(fù)壓力時(shí)，該邊界條件都將不適合。

2.2 雙Reynolds邊界條件[4]

雙Reynolds邊界條件用于軸承性能分析的優(yōu)、缺點(diǎn)與Reynolds邊界條件基本相同，但與Reynolds邊界條件相比，雙Reynolds邊界條件同時(shí)考慮了油膜破裂對(duì)上、下游邊界的影響，更適合于非穩(wěn)態(tài)工況下的軸承潤(rùn)滑分析。

2.3 Floberg邊界條件[2]

Floberg邊界條件不適用于高轉(zhuǎn)速、大擾動(dòng)軸承的實(shí)際工況，其僅較適用于低轉(zhuǎn)速、小擾動(dòng)及低Reynolds數(shù)油膜的軸承潤(rùn)滑性能計(jì)算。

2.4 質(zhì)量守恒邊界條件[7-22]

質(zhì)量守恒邊界條件由Jakobsson，F(xiàn)loberg和Olsson提出，也稱為JFO邊界理論。該邊界條件認(rèn)為油膜在破裂和再形成邊界位置處于質(zhì)量守恒，設(shè)定潤(rùn)滑區(qū)域分為完整油膜區(qū)和空穴區(qū)。完整油膜區(qū)中仍然使用Reynolds邊界條件，在空穴區(qū)流體以條狀形式流動(dòng)，與軸承和轉(zhuǎn)子表面均不脫離，空穴區(qū)中的壓力不變。質(zhì)量守恒邊界條件克服了Reynolds邊界條件的缺點(diǎn)，不僅提供了油膜破裂條件，而且提供了油膜的再形成條件。

質(zhì)量守恒邊界條件的油膜破裂條件為

式中：n為法向。

質(zhì)量守恒邊界條件的油膜再形成條件為

式中：μ為潤(rùn)滑劑動(dòng)力黏度；V為油膜速度；θ為油膜所占體積比，θ=ρ/ρc；ρ為潤(rùn)滑油密度；ρc為空穴壓力pc下的潤(rùn)滑油密度。

質(zhì)量守恒邊界條件的數(shù)值實(shí)現(xiàn)相對(duì)比較困難，許多研究者對(duì)其數(shù)值處理進(jìn)行了探討。

(3)文獻(xiàn)[16]提出變分和有限元相結(jié)合的空穴計(jì)算方法。

(4)文獻(xiàn)[7，17]發(fā)現(xiàn)滑動(dòng)軸承油膜壓力通常達(dá)不到使?jié)櫥蛪嚎s的臨界壓力值，在通常情況下滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑分析中潤(rùn)滑油不可壓縮性的假設(shè)符合實(shí)際情況。基于此對(duì)文獻(xiàn)[10]進(jìn)行改進(jìn)，推導(dǎo)出完整油膜區(qū)和空穴區(qū)潤(rùn)滑方程的統(tǒng)一表達(dá)式，使質(zhì)量守恒邊界條件可更為簡(jiǎn)便精確地應(yīng)用于軸承潤(rùn)滑分析，此方法稱為不可壓縮流體空穴算法。

完整油膜區(qū)的潤(rùn)滑方程為

式中：x=R1φ。

根據(jù)連續(xù)方程和N-S方程推導(dǎo)空穴區(qū)的潤(rùn)滑方程為

將上述兩式無(wú)量綱化，引入變量ξ和開關(guān)函數(shù)g，ξ在不同區(qū)域賦予不同的物理意義。

不可壓縮流體空穴算法的無(wú)量綱通用方程為

(5)文獻(xiàn)[18]應(yīng)用質(zhì)量守恒邊界條件分析了動(dòng)載滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑性能，與Reynolds邊界條件下的計(jì)算結(jié)果比較發(fā)現(xiàn)，2種邊界條件下求解得到的軸承最大油膜壓力和最小油膜厚度都很接近，但質(zhì)量守恒邊界條件下的計(jì)算結(jié)果的空穴區(qū)大得多，流量與Reynolds邊界條件下的結(jié)果相差比較多。

質(zhì)量守恒邊界條件是一種最符合實(shí)際情況的軸承潤(rùn)滑分析邊界條件，不僅提供了油膜破裂條件，而且提供了油膜再形成條件。采用質(zhì)量守恒邊界條件可更精確地預(yù)測(cè)軸承的承載力、潤(rùn)滑油流速、流量和功耗，計(jì)算得到的數(shù)值結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果吻合得相當(dāng)好。

3 結(jié)束語(yǔ)

目前在滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑分析中采用的邊界條件主要是Reynolds邊界條件和質(zhì)量守恒邊界條件。這2種邊界條件相比，Reynolds邊界條件采用負(fù)壓力置零的方法逐漸逼近確定油膜破裂邊界，這對(duì)于實(shí)現(xiàn)潤(rùn)滑分析中的求解較為方便，但其最大問(wèn)題是不能正確解釋油膜破裂后再形成的情況，所以不適用于對(duì)軸承性能分析要求高的整體計(jì)算精度。質(zhì)量守恒邊界條件是一種基本可反映所有實(shí)際軸承工作中油膜狀況的潤(rùn)滑分析邊界條件，雖然其在具體求解中的應(yīng)用比Reynolds邊界條件復(fù)雜，但非常高的整體計(jì)算精度使其在滑動(dòng)軸承潤(rùn)滑分析中得到越來(lái)越多的應(yīng)用。質(zhì)量守恒邊界條件也需不斷完善，如空穴區(qū)的油膜形態(tài)確定，即油膜為條狀、氣泡狀還是蕨類狀；空穴區(qū)油膜壓力目前一般根據(jù)試驗(yàn)推算確定，如何通過(guò)理論分析計(jì)算方法確定還有待解決。