基于LS-SVM的無軸承同步磁阻電動機逆模型辨識及解耦控制

楊澤斌，汪明濤，孫曉東，朱熀秋

(江蘇大學 電氣信息工程學院，江蘇 鎮江 212013)

1 前言

無軸承同步磁阻電動機(bearingless synchro-nous reluctance motor,BSRM)將磁軸承與同步磁阻電動機融于一體，實現電磁轉矩與徑向力的集成化與一體化，具有高轉速、無磨損、無潤滑和壽命長等普通電動機不具有的優點，在高速機床、飛輪儲能、渦輪分子泵及離心壓縮機等領域有廣泛的應用空間[1-2]。

BSRM與其他類型無軸承電動機相比，由于轉子沒有永磁體，也不需要勵磁繞組，結構簡單，運行可靠，成本低廉。因其可以實現較高的凸極比，從而具有轉矩密度高、動態響應快、轉矩脈動小和功耗低等優點，在高速高精應用領域具有獨特優勢[3-4]。

BSRM是一個非線性、多變量和強耦合的復雜系統，要實現穩定懸浮與可控旋轉，必須實施電磁轉矩與徑向懸浮力之間的動態解耦。文獻[3]分析了BSRM的基本結構與運行機理，指出電動機能穩定可靠懸浮工作的核心是控制系統設計。文獻[4]采用前饋補償設計了解耦控制系統，由于直接采用給定電流參與解耦計算，解耦精度較差，引起閉環動態性能下降。文獻[4]同時指出，BSRM徑向力和電動機繞組電流的線性關系受磁飽和影響較大，當電動機繞組中電流達到一定值后，反而隨電流增加而下降。因此，這種基于線性方法設計的補償解耦方法，在電動機飽和運行區域控制性能欠佳。文獻[5]提出一種改進的BSRM數學模型，通過在線查表與參數檢測，達到減小磁飽和及徑向懸浮力和轉矩之間耦合的目的。但是上述文獻提出的解耦方法本質上只是實現了懸浮力與電磁轉矩的靜態解耦，并沒有實現完全意義上的動態解耦。

近年來，逆系統成為非線性解耦控制的一種有效方法[6]，但是傳統逆系統在實際工程中碰到2個瓶頸:(1) 逆系統方法要求被控對象數學模型與參數精確已知，這在實際工程中幾乎是不可能的；(2) 逆系統需要求解出逆模型的解析表達式，對于復雜被控對象很難或無法滿足。為此，有學者將神經網絡的學習能力與逆系統結合，在初定逆系統基本結構的基礎上，采用神經網絡離線辨識被控對象的逆模型，并實施在線解耦控制，取得了很好的控制效果[7]。但理論分析與數據試驗表明，神經網絡收斂速度慢，泛化能力弱，結構確定難，容易陷入局部最小，限制了其使用范圍。與神經網絡相比，采用結構風險最小化準則的支持向量機具有小樣本學習、訓練速度快、泛化能力強、拓撲結構固定等優點，在實際問題中具有更好的應用前景[8-10]。下文在建立BRSM數學模型基礎上，提出了BSRM的LS-SVM逆模型辨識與動態解耦控制策略。基于Interactor算法[11]，在分析逆系統存在的基礎上，利用LS-SVM的函數擬合能力，離線建立了BSRM逆模型；將逆模型與原系統串聯，將原非線性系統線性化解耦為3輸入3輸出的偽線性系統，并構造了PID反饋控制器。

2 BSRM數學模型與可逆性分析

2.1 BSRM數學模型

對于轉子質量為m，凸極弧度角為30°，轉矩繞組極對數PM=2，懸浮力繞組極對數PB=1的BRSM，在忽略磁飽和情況下，作用在轉子單位表面積上的Maxwell力為

(1)

其沿x，y方向上的Maxwell力分別為

(2)

式中：B為磁感應強度；θ為轉子機械角度；μ0為真空磁導率；A為有效面積；l為電動機有效鐵芯長度；r為轉子凸極半徑。

假定轉子偏心位移遠小于氣隙長度[12]，且僅考慮轉子凸極區域有效部分，在凸極區域進行分段積分。為了進一步簡化表達式，將磁通勢用電流及線圈匝數表示，將電流矢量轉化到d-q同步旋轉坐標系下，得到x，y方向徑向力分別為

(3)

式中:id，iq分別為同步旋轉坐標系下轉矩繞組等效兩相電流;ix，iy分別為同步旋轉坐標系下懸浮力繞組等效兩相電流；N1,N2分別為轉矩繞組與懸浮力繞組每相串聯有效匝數；δ0為平均氣隙長度。

當轉子偏心時，受到的Maxwell張力為

(4)

式中：k為與電動機結構有關的比例參數；x，y為轉子徑向偏移量。假定轉子沿x，y方向施加的徑向載荷分別為Fzx，Fzy，m為轉子質量，則可建立的轉子徑向力子系統的運動方程為

(5)

BRSM定子電壓方程為

(6)

定子磁鏈方程為

(7)

轉矩方程為

(8)

旋轉運動方程為

(9)

式中：ud，uq為定子電壓d-q軸分量；Rs為定子每相電阻；Ld，Lq分別為d-q軸電感；Ω為同步角速度；Ψd，Ψq為定子磁鏈d-q軸分量；J為轉子轉動慣量；pm為電動機轉矩繞組極對數；Te，TL分別為電動機電磁轉矩和負載轉矩。

2.2 復合被控對象的狀態方程

BRSM的完整數學模型極其復雜，但如果將BRSM與供電的三相逆變器及其附加電路看作一個復合的被控對象，就可以在懸浮力系統運動方程與旋轉運動方程的基礎上，簡化其數學模型，復合被控對象示意圖如圖1所示。

圖1 BRSM復合被控對象

在d-q同步旋轉坐標系下，選擇BRSM復合被控對象狀態變量

ξ=[ξ1ξ2ξ3ξ4ξ5]T=

(10)

系統輸入變量

u=[u1u2u3]T=[iqixiy]T，

(11)

系統輸出變量

η=[η1η2η3]T=[xyω]T，

(12)

建立復合被控對象的狀態方程

(13)

系統輸出方程η=h(ξ)，即

(14)

2.3 模型可逆性分析

由系統狀態方程和輸出方程可以看出，系統為5階3輸入3輸出的非線性、強耦合系統，直接線性化并實施閉環控制難度很大。如果能使用α階逆系統理論構造出原系統的逆系統，并將其串聯在原系統之前，則原系統被線性化解耦為3個相互獨立的線性積分系統，再運用線性系統理論實施閉環控制。

首先計算輸出η=h(ξ)對時間的導數，直至顯含輸入變量u[11]，得到

(15)

從而得到系統的Jacobi矩陣為

(16)

經計算可得

(17)

Jacobi矩陣A非奇異，系統可逆，同時相對階為α=[α1α2α3]T=[2 2 1 ]T，逆解析形式為

(18)

3 BRSM的逆模型辨識與解耦控制

3.1 LS-SVM辨識原理

給定n組訓練樣本(xi,yi)(i=1,2,…,n)， 輸入為xi∈Rm，輸出為yi∈R，LS-SVM的目的是確定函數

y(x)=ωTφ(x)+b，

(19)

對未知函數進行估計，其中權向量ω∈Rm，偏置值b∈R。非線性映射φ(x)將樣本從原空間映射到高維特征空間。

LS-SVM的訓練可以通過求解以下最優化問題來完成

(20)

yi=ωTφ(xi)+b+εi,i=1,2,…，n,

式中：γ為正則化參數(懲罰因子)；εi為不敏感損失函數的松弛因子。

引入Lagrange乘子ai，將(20)式的約束優化問題轉化為無約束問題

(21)

其中a=(a1,a2,…，an)T，ω=(ε1,ε2,…，εn)T。

根據KKT條件，將Lagrange函數對ω，a，b，ε分別求偏導，可以將優化問題轉變為以下線性方程組的求解問題

(22)

其中K(xi,yj) 為滿足Mercer條件的核函數，常用的有多項式、徑向基函數(RBF)、Sigmoid 函數等多種形式。考慮到RBF 核函數具有參數容易選擇、易于實現和辨識效果好等優點，文中選擇RBF核函數。

(23)

式中：σ為核寬度，反映了邊界封閉包含的半徑。

基于上述最小二乘法(22)式求解a與b，再由(21)式求出ω，就可以得出(xi,yi)擬合方程為

(24)

由 (24)式可知，LS-SVM函數擬合結構如圖2所示。

圖2 支持向量機函數擬合結構圖

3.2 BRSM的LS-SVM逆模型辨識

采用LS-SVM辨識逆模型，可以突破傳統逆系統控制方法的技術瓶頸，使得復雜非線性系統的逆控制成為可能。一方面，用支持向量機逼近逆模型，可以有效解決解析逆矩陣無法求取的難題，同時可以有效克服神經網絡收斂速度慢，容易陷入局部最小及網絡拓撲結構難以確定等難題。

LS-SVM逆模型辨識步驟如下。

(2) 離線建立逆模型。根據采樣數據建立的訓練樣本集，采用最小二乘算法(22)式對3個支持向量機進行離線學習，獲得相應的a與b，從而建立支持向量機逆模型。

3.3 BRSM的LS-SVM逆解耦控制

將訓練好的逆模型作為前饋控制器與原系統串聯，構成3個相互獨立的偽線性系統，傳遞函數分別為Gx(s)=s-2，Gy(s)=s-2，Gω(s)=s-1，如圖3所示。

圖3 支持向量機逆線性化解耦示意圖

這樣，一個復雜非線性系統控制問題就轉換成簡單的線性系統控制問題。綜合考慮響應速度、控制精度、承載能力和穩定性等因素，設計帶微分限制環節與積分分離算法的PID控制器作為反饋環節，其傳遞函數為

(25)

式中：TD為微分時間常數；KP為比例系數；TI為積分時間常數；ε為微分增益；e為輸入靜差；c為設定閾值。

PID反饋控制器與支持向量機逆前饋控制器構成復合控制器，與被控對象組成閉環控制系統，結構如圖4所示。

圖4 BRSM閉環控制系統

4 系統仿真與分析

為了驗證BRSM支持向量機逆模型辨識與解耦控制效果，采用Matlab/Simulink搭建仿真平臺，對系統的擬合輸出特性、BRSM轉子起浮特性與轉速響應、轉速突變的位移和轉速特性進行了仿真試驗。 無軸承同步磁阻電動機樣機轉矩繞組參數為：極對數PM=2，Ld=0.035 H，Lq=0.007 H，Rs1=0.25 Ω。懸浮力繞組參數：PB=1，d-q軸電感Lx=Ly=0.02 H，Rs2=0.15 Ω。轉子參數：質量m=1 kg，轉動慣量Jz=1.356×10-4kg·m2，Jx=Jy=2×10-3kg·m2，氣隙長度δ0=0.25 mm。

采用1 500組數據對支持向量機進行擬合訓練后，用500組數據驗證支持向量機逆擬合結果，擬合相對誤差如圖5所示。最大相對誤差為2.9%， 平均相對誤差為1.8%，達到了很好的擬合效果。

圖5 支持向量機逆擬合相對誤差

仿真步驟為，給定轉子初始位置后空載啟動，將速度調至5 000 r/min，研究閉環系統的動態響應性能。在穩定懸浮后突變徑向位移給定，驗證閉環解耦效果與魯棒性。

圖6為電動機靜止狀態下空載啟動至穩定懸浮于5 000 r/min時的轉子起浮運動軌跡，轉子質心初始位置為x0=-0.1 mm，y0=-0.1 mm。給定位置為x*=0，y*=0。計算得位移調節時間小于0.04 s ，超調量δ小于2%，無穩態誤差。

圖6 轉子起浮軌跡

電動機的速度響應曲線如圖7所示，可以看出，速度調節時間小于0.2 s，超調量δ小于1% ，系統響應速度快，動態性能好。

圖7 轉速響應曲線

為了檢驗閉環控制系統的動態解耦效果與魯棒性能，轉子質心初始位置設定為x0=0，y0=0，轉速n0=0，轉子位置給定值設為x*=0.1 mm，y*=0 mm，轉速給定值n=5 000 r/min。在t=0.5 s時轉子位置給定值突變為x*=-0.1 mm，y*=0，轉速給定值不變。在t=1 s時轉子位置給定值突變為x*=-0.1 mm，y*=0.1 mm，轉速給定值不變。在t=1.5 s時轉子位置給定值不變，轉速給定值突變為n=6 000 r/min。質心移動軌跡和轉速軌跡如圖8所示，可以看出，當位置給定值突變時，轉子在經過小幅震蕩以后，很快穩定懸浮在給定位置，在此期間，另一方向位置及轉速保持不變；當轉速給定值突變時，轉子轉速亦能快速跟蹤到給定值，并保持轉子位置不變，表明閉環系統具有良好的動態解耦效果和魯棒性。

圖8 突變給定下的系統響應

5 結論

為有效解決BSRM這一非線性、強耦合的多輸入、多輸出系統的動態解耦問題，提出了基于LS-SVM逆模型辨識與動態解耦控制策略，得到以下結論：

(1) BSRM是一個3輸入3輸出的5階非線性、強耦合復雜系統，而且BSRM系統是可逆的；

(2) LS-SVM逆模型辨識方法不需要系統的先驗知識，可以在不依賴BSRM精確數學模型的前提下，很好地完成BSRM逆模型辨識，從而突破了傳統逆系統方法的2個瓶頸；

(3) LS-SVM逆解耦控制方法結合了LS-SVM的非線性回歸能力與逆系統方法線性化解耦的優點，可以將BSRM系統解耦為偽線性系統，實現了BSRM轉速、x軸及y軸徑向位移的線性獨立控制，同時設計的閉環控制系統具有超調量小、控制精度高、響應速度快和抗干擾能力強等優點。