角接觸球軸承工作表面波紋度對其動力學特性的影響分析

崔永存，李桂巖，顧金芳，孫朝陽，鄧四二

(1.河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003；2.舍弗勒貿易有限公司，上海 201804)

符號說明

A1l，A2l——外、內溝道l次諧波對應的表面波紋度幅值，μm

Axj，Ayj——受載后任意鋼球位置內溝曲率中心在軸向和徑向坐標，mm

C1——保持架引導間隙，mm

Cjl——第j粒鋼球的某l次諧波對應的表面波紋度幅值，μm

Dpw——球組節圓直徑，mm

Dw——鋼球直徑，mm

fi，fe——內、外溝曲率半徑系數

F——內溝道直徑，mm

Fcy，Fcz——作用于保持架的合力Fc的y，z軸分量，N

FDj——油-氣混合物對鋼球的空氣動力阻力，N

FHη1j，FHη2j——作用于鋼球中心的流體動壓力在η方向的分量，N

FHξ1j，FHξ2j——作用于鋼球中心的流體動壓力在ξ方向的分量，N

FRη1j，FRη2j——流體作用于鋼球-溝道接觸入口區的滾動摩擦力在η方向分量，N

FRξ1j，FRξ2j——流體作用于鋼球-溝道接觸入口區的滑動摩擦力在ξ方向分量，N

Fyj，Fzj——鋼球慣性力在鋼球坐標系y，z軸分量，N

Gyj，Gzj——慣性力矩的y，z軸分量，kg·mm2

h0——流體動壓最小油膜厚度，mm

Jx，Jy，Jz——轉動慣量x,y,z軸分量，kg/mm2

l——表面諧波數

L——保持架定心表面寬度，mm

Mcx——流體動壓油膜的分布壓力引起的摩擦力矩，N·mm

ni，ne，nb，nc——內圈、外圈、鋼球、保持架的轉速，r/min

O1——外溝曲率中心(靜止不動)

O20——位移前內溝曲率中心

O2——位移后內溝曲率中心

Ob——鋼球中心(位移后)

Pd——軸承裝配、溫度變化、轉速引起的徑向方向的游隙變化量，mm

PRηj，PRξj——保持架兜孔作用于鋼球表面滾動摩擦力在η，ξ方向的分量，N

PSξj，PSηj——保持架兜孔作用于鋼球表面的滑動摩擦力在η，ξ方向的分量，N

q——總諧波數

Q1j，Q2j——鋼球與外、內溝道作用力，N

Qcj——鋼球與保持架兜孔間的法向接觸力，N

R1——保持架定心表面半徑，mm

t——時間，s

Tη1j，Tη2j——鋼球-溝道接觸面上的拖動力在接觸面η方向的分量，N

Tξ1j，Tξ2j——鋼球-溝道接觸面上的拖動力在接觸面ξ方向的分量，N

u1——潤滑油拖動速度，mm/s

v1——引導表面與定心表面相對滑動速度，m/s

β1l，β2l——外、內溝道表面波紋度在徑向平面內的初始相位角，rad

γjl——鋼球表面波紋度在徑向平面內的初始相位角，rad

ψc——保持架運動時的方位角，rad

η0——大氣壓力和環境溫度下潤滑油的動力黏度，N·s/mm2

ε——保持架偏心率

ωi，ωe，ωb，ωc——內圈、外圈、鋼球和保持架的角轉速，rad/s

ωxj，ωyj，ωzj——第j個鋼球角速度的x，y，z軸分量，rad/s

當采用組成數據，通過專用軟件計算天然氣的烴露點時，GB/T 30492-2014《天然氣 烴露點計算的氣相色譜分析要求》要求對于C+6組分的定量分析，當按碳數歸類有交叉的情況時，應將苯、甲苯、環己烷、甲基環己烷等組分進行單獨定量分析[15]。

Δyc，Δzc——保持架質心相對軸承中心的偏心量，mm

α0——初始接觸角

α1j，α2j——準動力學平衡條件下的工作接觸角，rad

θy，θz——內圈偏轉角度，rad

φj——方位角，rad

Δx，Δy，Δz——內圈質心移動量，mm

δ1(2)j——鋼球與套圈的彈性趨近量，mm

高速角接觸球軸承的動態性能分析始于20世紀60年代，文獻[1]提出的滾道控制理論解決了軸承動態性能分析問題。文獻[2]結合彈流潤滑理論首次建立了高速球軸承擬靜力學分析方法，分析了高速球軸承的鋼球運動狀態和保持架公轉運動情況，但對鋼球與保持架之間的作用情況缺乏分析。文獻[3-4]修正了Harris的擬靜力學模型，考慮了滾動體與保持架之間的作用，但沒有考慮保持架瞬態特性。文獻[5-6]先后建立了軸承動力學分析模型，通過引入運動微分方程來描述軸承任一時刻的運動狀態，并運用數值方法求出了球和保持架瞬態特性，但由于該動力學模型復雜，還有許多常數需要通過試驗來確定，并且需要花費大量的求解時間，因此該模型很難得到實際應用。文獻[7-8]建立了角接觸球軸承的動力學模型，但對球運動約束做了假設，忽略了球的徑向運動；隨后文獻[9]改進了這一模型，但模型相對簡單，對軸承內部各零件的流體作用力分析較少。文獻[10-14]建立了軸承的數值仿真模型，研究了滾子或球與保持架的接觸狀態的改變以及受力的計算。文獻[15]建立了僅受軸向載荷作用的高速球軸承運動特性的擬動力學分析模型，模型中忽略了慣性力的影響。文獻[16-17]采用擬動力學法建立了任意受載的球軸承動力學分析模型，通過求解非線性方程組確定各軸承零件的運動狀態。上述對軸承的分析都是基于理想的軸承幾何形狀，并沒有考慮加工工藝誤差，鑒于此，在考慮軸承零件加工表面波紋度特征基礎上，對角接觸球軸承進行了動態特性分析，著重分析軸承零件工作表面波紋度對軸承動力學特性的影響。

1 工作表面波紋度數學模型

由于角接觸球軸承加工過程中的溝形偏差、圓度偏差、球相互差、表面波紋度和表面粗糙度等制造誤差，軸承零件的工作表面不可能是幾何真圓，內、外溝道以及鋼球表面都不同程度存在圓度誤差，并且這些誤差也是隨機的。對于內、外圈，主要考慮內、外溝道在自身法向平面內的表面波紋度(圖1)。圖中為在軸承固定坐標系下進行的分析。內、外溝道接觸處的表面波紋度可以用余弦函數來表示[18]。設定內、外溝道表面波紋度“凸出”為正，“凹進”為負。

圖1 溝道表面波紋度模型

外溝道接觸處表面波紋度[18]

1)/Z+β1l]。

(1)

內溝道接觸處表面波紋度[18]

β2l]。

(2)

鋼球與外溝道接觸處的表面波紋度[18]

γjl]}。

(3)

鋼球與內溝道接觸處的表面波紋度[18]

(4)

2 擬動力學分析模型

在研究角接觸球軸承內部各零件相互運動和相互作用關系以及潤滑劑特性基礎上，全面考慮了包括切向慣性力在內的所有慣性項、入口剪切發熱與運動學缺油兩次修正的集中接觸面的彈流油膜厚度、表面粗糙度影響的部分彈流潤滑及潤滑油流變特性引起的拖動力和保持架兜孔作用力等因素，通過建立角接觸球軸承擬動力學微分方程組，利用數值計算方法對其進行求解，得出角接觸球軸承動力學性能參數[19]。

圖2為接觸面坐標系，當兩彈性體發生點接觸時，接觸部位將發生接觸變形，接觸面為一橢圓，圖中Oh為接觸面的中心，ξ軸始終與接觸橢圓的短軸重合，其方向指向接觸物體的滾動方向，η始終與接觸橢圓的長軸重合，其方向指向受壓元件的內部。保持架的受力情況如圖3所示。鋼球與溝道相互作用后接觸角、變形和位移的幾何關系如圖4所示。鋼球受力圖如圖5所示。下標1表示外溝道；2表示內溝道。

圖2 接觸面坐標系

圖3 保持架受力圖

圖5 鋼球受力圖

根據鋼球、保持架的受力情況，可建立軸承擬動力學方程。

2.1 球平衡方程

Q2jsinα2j-Q1jsinα1j+Tη2jcosα2jTη1jcosα1j-FRη2jcosα2j+FR1jcosα1j+FHη2jcosα2j-FHη1jcosα1j+PSξj+PRξj=0，

(5)

Q2jcosα2j-Q1jcosα1j-Tη2jsinα2j+Tη1jsinα1j+FRη2jsinα2j-FRη1jsinα1j-FHη2jsinα2j+FHη1jsinα1j+Fyj-PSηj-PRηj=0，

(6)

Tξ1j-Tξ2j-FRξ1j+FRξ2j+FHξ1j-FHξ2j+Qcj-FDj-Fzj=0，

(7)

0.5(Tξ1j-FRξ1j)Dwcosα1j-0.5(PSηj+PRηj)·

(8)

0.5(FRξ1j-Tξ1j)Dwsinα1j-0.5(PSξj+PRξj)Dw+

(9)

(10)

2.2 保持架平衡方程

(11)

(12)

(13)

(14)

2.3 位移(Δ)-變形(δ1(2)j)相容條件

由圖4可得

Axj=[(fi+fe-1)Dw]sinα0+[Δx+F(θy·sinφj+θzcosφj)]=[(fe-0.5)Dw+δ1j]sinα1j+

[(fi-0.5)Dw+δ2j]sinα2j，

(15)

Ayj=[(fi+fe-1)Dw]cosα0+[Δycosφj+Δzsinφj]-Pd=[(fe-0.5)Dw+δ1j]cosα1j+[(fi-0.5)Dw+δ2j]cosα2j。

(16)

由(15)～(16)式可得

(17)

0.5)Dw，

(18)

(19)

(20)

2.4 套圈平衡方程

cosα2j)=0，

(21)

cosφj)=0，

(22)

sinα2j)sinφj=0，

(23)

cosα2j)-fiDwTη2jcosα2j+fiDwFRη2j]cosα2j·

sinφj=0，

(24)

cosα2j)-fiDwTη2jcosα2j+fiDwFRη2jcosα2j]·

cosφj=0，

(25)

3 擬動力學性能分析

以B7004CTN3/HV/P4角接觸球軸承為例進行分析，工況對該軸承的摩擦力矩和波動性都有要求，有關參數見表1。軸承為內圈旋轉，外圈靜止，保持架材料為多孔聚酰亞胺，內、外圈及鋼球材料為9Cr18。使用開發的角接觸球軸承擬動力學分析程序，可求出軸承在某工況條件下的動力學特征參數。文中主要研究了軸承零件工作表面波紋度對溝道接觸應力，內、外接觸角和保持架與鋼球間作用力的影響。

表1 軸承相關參數

3.1 表面波紋度階次對軸承動力學性能的影響

3.1.1 溝道表面波紋度階次的影響

圖6～圖10為外溝道在不同表面波紋度階次(對應的表面波紋度幅值均為0.5 μm)下軸承的動力學特征參數圖。軸承其他零件表面波紋度加工參數視為理想狀態，下同。

由圖6～圖10可知：在純軸向力作用下，外溝道為理想幾何形狀時，其動力學特征參數恒為定值，不隨鋼球的位置發生變化。當外溝道存在表面波紋度誤差時，內、外溝道接觸應力，實際接觸角以及鋼球-保持架兜孔間作用力都隨著外溝道表面波紋度階次的變化呈周期性變化，且隨著其階次的增加，變化頻率加快，而這些動力學特征參數的變化幅值與外溝道表面波紋度階次無關。

圖6 外溝道接觸應力與表面波紋度階次的關系

圖7 內溝道接觸應力與表面波紋度階次的關系

圖8 外接觸角與外溝道表面波紋度階次的關系

圖9 內接觸角與外溝道表面波紋度階次的關系

圖10 鋼球-保持架兜孔間作用力與外溝道表面波紋度階次的關系

同理，內溝道表面波紋度不同階次對軸承動力學特征參數的影響具有相同規律，這里不再贅述。

3.1.2 鋼球表面波紋度階次的影響

圖11～圖15為鋼球不同表面波紋度階次(對應的波紋度幅值均為0.5 μm)時的軸承動力學特征參數圖。

圖11 外溝道接觸應力與鋼球表面波紋度的關系

圖12 內溝道接觸應力與鋼球表面波紋度的關系

圖13 外接觸角與鋼球表面波紋度階次的關系

下，鋼球為理想幾何形狀時，軸承動力學特征參數由圖11～圖15可知：軸承在純軸向力作用為恒定值，不隨鋼球的位置發生變化。當鋼球表面存在表面波紋度誤差時，內、外溝道接觸應力，實際接觸角以及鋼球-保持架兜孔間作用力等動力學特征參數都隨著鋼球表面偶次波紋度階次變化呈周期性變化，且變化頻率隨其階次的增加而加快；鋼球表面奇次波紋度階次變化對軸承動力學特征參數沒有任何影響。

圖14 內接觸角與鋼球表面波紋度階次的關系

圖15 鋼球-保持架兜孔間作用力與鋼球表面波紋度的關系

3.2 表面波紋度幅值對軸承動力學性能的影響

3.2.1 溝道表面波紋度幅值的影響

圖16～圖20為不同外溝道表面波紋度幅值(表面波紋度階次均為4)時的軸承動力學特征參數圖。由圖可知：軸承在純軸向力作用下，外溝道為理想幾何形狀時，軸承動力學特征參數恒為定值，不隨鋼球的位置發生變化。當外溝道存在表面波紋度誤差時，內、外溝道接觸應力，實際接觸角以及鋼球-保持架兜孔間作用力等動力學特征參數值均隨其幅值的增大而增大，但這些動力學特征參數的變化頻率不受其幅值的影響。

圖16 外溝道接觸應力與外溝道表面波紋度幅值的關系

圖17 內溝道接觸應力與外溝道表面波紋度幅值的關系

圖18 外接觸角與外溝道表面波紋度幅值的關系

圖19 內接觸角與外溝道表面波紋度幅值的關系

圖20 鋼球-保持架兜孔間作用力與外溝道表面波紋度幅值的關系

同理，內溝道表面波紋度不同幅值對軸承動力學特征參數的影響具有相同規律，這里不再贅述。

3.2.2 鋼球表面波紋度幅值的影響

圖21～圖25為鋼球表面不同偶次波紋度幅值(波紋度階次均為4)下的軸承動力學特征參數圖。鋼球表面奇次波紋度對軸承動力學特征參數沒有影響。

從圖21～圖25可知：在純軸向力作用下，鋼球為理想幾何形狀時，軸承動力學特征參數為恒定值，不隨鋼球的位置發生變化。當鋼球表面存在偶次波紋度誤差時，內、外溝道接觸應力，實際接觸角以及鋼球-保持架兜孔間作用力等動力學特征參數值均隨鋼球表面偶次波紋度幅值的增大而增大，但這些參數的變化頻率不受其影響。

圖21 外溝道接觸應力與鋼球表面偶次波紋度幅值的關系

圖22 內溝道接觸應力與鋼球表面偶次波紋度幅值的關系

圖23 外接觸角與鋼球表面偶次波紋度幅值的關系

圖24 內接觸角與鋼球表面偶次波紋度幅值的關系

圖25 鋼球-保持架兜孔間作用力與鋼球表面偶次波紋度幅值的關系

由上述分析可知：軸承在純軸向力作用下，內、外溝道表面波紋度對其動力學特征參數影響較大，使這些參數呈周期性波動；鋼球表面偶次波紋度使其動力學特征參數呈周期性波動，而鋼球表面奇次波紋度對其動力學特征參數沒有影響。軸承動力學特征參數與摩擦力矩有著直接的關系，軸承動力學特征參數的波動也將引起摩擦力矩的波動。

4 結論

內、外溝道表面波紋度及鋼球表面偶次波紋度對軸承動力學特征參數有著直接的影響，表面波紋度幅值的變化使軸承動力學特征參數值的大小發生變化，而其階次的變化影響參數的變化頻率；在軸承承受純軸向力下，鋼球表面奇次波紋度對軸承動力學特征參數沒有影響。