高職數學中微分的教學探究

繆燁紅

（健雄職業技術學院，江蘇 太倉 215400）

高職數學中微分的教學探究

繆燁紅

（健雄職業技術學院，江蘇 太倉 215400）

微分的思想在高等數學中具有重要地位，而目前高職數學教學中對微分的教學不夠重視，導致學生對微分的概念和應用不甚了解，對后續知識的學習產生較大阻礙.本文從教學設計的角度，探究了微分的教學課堂實施方案，將微分的兩定義相結合，旨在解決微分概念教學的抽象性，增強微分應用性的教學.

微分；微分教學；線性近似

1 微分的核心地位

微分在高等數學中處于核心地位，其思想貫穿于整個高等數學.現在教材采用的大都是先將導數，再講微分.導數與微分是從不同的側面處理函數的變化問題，導數是從變化率的角度處理函數的變化，而微分是從增量的線性主部的角度處理函數的變化.導數往往通過切線或變化速度來分析問題，而微分是通過微小量的近似處理，得到線性主部.高職數學強調“以應用為目的，以必需和夠用為度”的原則，因此教學過程中應強化微分教學，使學生掌握微積分的精髓-微元法，提高學生應用微積分的能力.同時微分方法在工程上應用廣泛，因此微分教學對后續課程的學習非常重要.

2 微分教學目前的現狀

以健雄職業技術學院為例，我院目前開設應用數學課程課時64課時，微分的內容涉及較少，只有兩個學時，由于微分的運算可以由導數的運算直接得來，所以學生對微分的理解非常模糊，認為是可有可無的概念，影響了后面對積分的理解.學生認為只要掌握好導數的概念和算法，就可以進行微分的運算，從而忽視對微分概念的理解.很多學生不知道為什么要引入微分的概念，有何應用更不清楚.另一方面，教師對于微分這部分內容的考核，目前也是僅局限于微分的計算，對微分概念和應用的考核很少.

目前處理微分的教學一般采用以下兩種方案：一、通過正方形面積的改變量這個經典案例，導入概念（用增量的線性主部定義微分），推出可導和可微的等價關系，給出微分的運算法則、基本公式等，讓學生能熟練計算微分，最后回歸實際，講解微分的應用—近似計算；二、在教學過程中直接用導數定義微分，得出微分計算公式，最后講解微分的近似計算，該方案簡化了微分教學的諸多環節.在兩個方案的教學過程中，筆者發現前者微分的概念描述比較抽象，學生很難抓住微分的本質，對概念是一知半解，教學內容較多較抽象，諸多理論證明對于高職學生來講很難掌握.而在后者方案中，學生只學會了計算，對微分的理解和應用僅僅停留在表面.在實際考核過程中，學生也只會微分的計算，機械地記住了微分的形式，記住了可導、可微、連續三者的關系，但是對微分的本質和應用不甚了解，不知道介紹微分究竟有何意義.

高職數學教學講究是必需、夠用，那么如何應用微分是我們在教學過程中應該處理的重點和關鍵，在教學過程中如何強化微分思想和應用，是我們需要思考和探討的問題.

3 微分教學新的設計思路

根據高職學生的現狀，以及為后續知識（級數、多元函數微積分等內容）的學習作鋪墊，我們設計了以下教學方案.

3.1 首先給出微分的簡單定義，讓學生先了解微分的形式

定義1 設y=f(x)是一個可導函數，則稱f'(x)dx為函數y=f(x)的微分，記作dy，即dy=f'(x)dx.

注：微分dx是一獨立變量，即可以是任意一個數.若給定dx一個特殊值，x是f的定義域中的特殊點，那么dy即可確定，也就是說變量dy是因變量，它既依賴于x，又依賴于dx.

3.2 根據導數的計算公式讓學生推導得出相應的微分公式如

其中u和v都是關于x的函數.

注：這部分內容可以將側重點放在微分的逆運算上，為后面積分的計算打下基礎.

3.3 用微分討論函數的改變量，讓學生參與討論、思考

問題引入：假設可導函數y=f(x)，a是定義區間內一點，現將點a移動到點處a+dx，函數值的改變會有多大？

特殊情況：對于函數y=f(x)=x，將a移動到a+dx，函數值的改變量為Vy=Vx=dx，這說明自變量的微分就是自變量的改變量.

圖1

如圖1，曲線y=f(x)上點a，由導數的幾何意義知，y=f(x)在x=0處的切線為L，則直線L的方程是L(x)=f(a)+f'(a)(x-a).易見直線L在點a的附近與f的圖形很接近，L(x)給出了f(x)很好的近似，也就是L(x)是f(x)在a處的線性化，是f(x)在a處的線性近似.

注：如果函數f(x)在x=a處可導，那么近似函數

就是f(x)在x=a處的線性化.

從而得出微分的幾何意義：當dx(Vx)很小時，df就是f線性化的變化，即Vf≈df.因此從幾何角度來講，在點a的鄰近，我們可以用切線段來近似代替曲線段，這是高等數學中非常重要的以直代曲的思想.

3.4 現考查微分近似中的誤差

對于函數f(x)，當x從a變化到a+dx時會有兩個量描述變化：

精確的改變量：Vf=f(a+dx)-f(a)，近似變化：df=f'(a)dx，那么df近似Vf究竟有多好？也就是兩者的誤差有多少？

3.5 最后結合教材中給出微分的定義，兩定義實現統一

定義2 設函數y=f(x)在某區間內有定義，a及a+Δx在這區間內，如果函數的改變量Δy=f(a+Δx)-f(a)可表示為Δy=AΔx+o(Δx)，其中A是不依賴于Vx的常數，而o(Δx)是比Vx高階的無窮小，那么稱函數y=f(x)在點a可微，而AVx稱為函數y=f(x)在點a相應于自變量改變量Vx的微分，記作dy，即dy=AVx

注：當A≠0，且|Vx|很小時，dy稱為Vy的線性主部，即Δy≈dy

而由前面分析得Vf=df+εVx，εVx是一個高階無窮小量，定義2中的A就是f'(a)，這樣微分的兩個定義就實現了統一.

3.6 新的設計方案的特點

在整個教學過程中鼓勵學生直觀形象、解析和數值地思考和討論問題，按照循序漸進的原則，從形象到抽象，將微分的兩種定義相結合，解決了之前的矛盾，讓學生更深刻地理解微分的概念和以直代曲的數學思想，并能充分了解微分的應用，將應用蘊含整個教學過程中，同時數值計算的思想為后面級數的學習奠定一定的基礎，線性近似的思想為二元函數微積分中全微分的學習、概念的理解及其應用作了很好的鋪墊.

在高職數學教學中，目前還是側重于介紹一些解題技巧和解題訓練，比如極限計算、導數計算、積分計算，教學中比較重視形式化與程序化的知識，對概念的圖像和數值的表征方式重視不夠，學生的計算能力在中學中已經有了比較多的訓練，因此在高職教學中應側重核心概念的教學和加強應用方面能力的培養，更深刻地理解某些重要的概念，從而讓學生能利用微積分的思想去解決一些實際問題.

〔1〕陸宗斌.高職應用數學（第二版）[M].大連理工大學出版社，2010.

〔2〕芬尼，韋爾，焦爾當諾.托馬斯微積分[M].葉其孝等譯.高等教育出版社，2003.

〔3〕黃非難，王巧云.高職高等數學中的微分教學探討[J].中國西部科技，2009，8（35）.

〔4〕高雪芬，鮑建生.大學生對微分概念的理解及認知方式分析[J].數學教育學報，2013，22（1）.

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