機床通用誤差模型的建立及應用

黃 強 李青鋒

重慶理工大學，重慶，400054

0 引言

誤差防止和誤差補償是提高機械加工精度的兩條途徑，其有效實施均以掌握誤差源的作用規律為基礎［1］。誤差建模與分析是目前實現這一目的的主要技術手段。早在20世紀60年代初，Mcclure［2］就開始了機床熱效應的建模和實驗研究；1992年，Chen等［3］建立了適用于非剛體條件的系統運動模型，用于分析機床幾何誤差、熱誤差及其綜合效應；Lin等［4］在1993年提出了一種直接空間誤差分析方法，用于評價多軸機床工件的位置和方向誤差。目前，以多體系統理論結合齊次坐標變換原理的機床誤差建模與分析方法已得到廣泛應用。應用誤差建模與分析技術，我國的天津大學、上海交通大學、華中科技大學、浙江大學和重慶大學等院校在機床精度控制方面取得了一系列進展［5－7］。不同種類和型號的機床具有不同的空間結構、尺寸及相對運動方式，所以目前的機床誤差建模與分析通常只針對特定的目標機床。針對這一問題，本文提出了一種采用數字化編程方式來提高機床誤差模型通用性的方法。

1 機床誤差分析與建模

零件的加工精度取決于工藝系統的精度，具體體現為刀具與工件的相對位置精度、姿勢精度（以下合稱為位姿精度）和運動精度，其中，機床精度占有很大的比重。機床最終執行部件的輸出精度是各個部件精度的綜合作用結果。機床誤差建模與分析的目的，就是為了掌握各個部件誤差與機床輸出誤差之間的規律，為機床設計與制造中的誤差防止與補償提供可靠的依據。機床誤差分析工作一般包括下列內容：

（1）單元誤差的敏感性分析。機床各個部件的誤差對機床最終輸出誤差都有影響，但其影響程度（敏感性）則各不相同。通過分析掌握機床輸出誤差對各個單元誤差的敏感性，可以在合理成本下對機床輸出誤差進行高效控制。敏感性分析方法為分析各個單元誤差對機床輸出誤差的作用權重提供了方便。

（2）單元誤差的作用規律分析。研究單元誤差的作用規律是為分析和掌握各個單元誤差對機床輸出誤差的映射（插值）規律，為精度控制與調整提供定量依據。機床精度控制的主要手段為公差設計，因此，單元誤差分析也可延伸為單項公差的控制效果預測。

（3）各個單元誤差的累積效應分析。掌握各個單元誤差在機床輸出誤差上的累積效應，可以為機床精度分配、檢驗及調整提供直接的指導。

要完成上述定量分析工作，必須依托一個數字化的機床誤差模型，該模型應能準確反映機床各個部件的誤差與機床輸出誤差之間的關系。目前，機床誤差建模與分析往往只針對一種特定的目標機床，因此，尋求一種具有較好通用性的數字化機床誤差建模與分析方法，對提高機床誤差的分析效率和準確性是十分必要的。

2 機床拓撲結構的共性

不同種類和型號的機床具有不同的空間結構、幾何尺寸及運動方式。一個通用的機床誤差模型，首先是一個面向任意拓撲結構的機床模型。該模型應具備如下特征：①機床可以具有多個運動軸；②相鄰部件之間可以是固聯也可以存在相對運動；③各部件的相對運動方式不受限制，可以是移動、轉動、平面運動和空間運動。

金屬切削機床均需要通過刀具和工件之間的相對切削運動來實現工件的加工，因此，除并聯機床外，切削機床在拓撲結構上應存在共性。圖1為一臺臥式車床的結構示意圖，其拓撲結構如圖2所示。機床以基礎支承件床身7為基點，各個相關部件分成兩支，一支從床身7到工件10，另一支為床身7至刀具1。所以，不同結構的機床具有相同的拓撲結構特征：任意一臺金屬切削機床的部件鏈均由一系列相鄰的部件串接而成。部件鏈分成兩個部分——工件鏈和刀具鏈，連接點為床身。部件鏈中的各相鄰部件之間的關系可以是固聯、移動或轉動。

圖1 機床結構示意圖

圖2 機床拓撲結構示意圖

3 部件鏈關系的數學描述

機床部件鏈由一系列相鄰的部件串接而成，部件鏈起始兩端部件的相對位姿、運動及其誤差關系是各個相鄰的部件的相對位姿、運動方式及其誤差關系的綜合作用結果。在機床的各個部件上分別設置各自的局部坐標系，則各個部件坐標系在6個自由度上的變動可準確地表征機床各部件的相對位姿、運動方式及其誤差關系。

3.1 兩個相鄰部件

在機床中選取兩個相鄰的部件i和j進行無誤差狀態和有誤差狀態分析。

（1）無誤差狀態分析。該狀態下，部件j相對于部件i的位姿和運動關系可用兩個部件坐標系的齊次坐標變換矩陣表示為［8］

式中，T ijp為兩部件的位姿變換矩陣，T ijs為運動變換矩陣；x ijp、yijp、zijp分別為坐標系j相對于坐標系i在x、y、z方向上的相對位置；xijs、yijs、zijs分別為坐標系j相對于坐標系i沿x、y、z軸的相對直線運動量；α、β、γ分別為2個坐標系的x、y、z軸之間的夾角或角位移。

在上述三式中，當兩部件間沒有相對運動時，T ijs為單位矩陣。

（2）有誤差狀態分析。該狀態下，部件j與部件i之間至少存在相對位姿誤差，其總誤差矩陣的原始形式與式（2）和式（3）相似（將x ijp、y ijp、zijp、αijp、βijp、γijp分別置換為誤差參量Δx ijp、Δy ijp、Δzijp、Δαijp、Δβijp、Δγijp）。由于 Δαijp、Δβijp、Δγijp均為微小量，故在忽略高階誤差項后兩個部件之間總的位姿誤差矩陣可表示為

如果兩個部件之間存在相對運動，則其運動誤差矩陣ΔT ijs可用與式（4）相同的形式表示（下標換為ijs）。因此，部件j相對于部件i的關系可完整地表示為

式中，T ij為部件j相對于部件i的特征變換矩陣［8］。

3.2 完整部件鏈

切削加工誤差可直觀地描述為刀具與工件偏離理想的相對位姿和相對運動的誤差，因此，為分析機床各個部件誤差對加工精度的作用效應以及累計效應，部件鏈一般應表示為：刀具—部件1—中間部件2—…—中間部件n—工件。其總特征變換矩陣應為部件鏈中各相鄰部件間特征變換矩陣的順序連乘，即

式（6）中的“刀具－工件”鏈總特征變換矩陣完整地描述了刀具與工件之間的相對位姿、運動方式和誤差來源及相互關系。

4 數字化機床誤差模型的建立

上述分析結果顯示：盡管不同種類和型號的金屬切削機床具有不同的空間結構、幾何尺寸以及運動方式，但刀具與工件之間的相對位姿、運動方式及其誤差關系均可用式（6）的特征變換矩陣表征，而該特征變換矩陣又取決于部件鏈中各個相鄰部件之間的相對位姿、運動方式及其誤差矩陣，如式（5）中的T ijp、T ijs、ΔT ijp、ΔT ijs統一具有固定格式的4×4形式，這就給建立通用的機床誤差模型提供了條件，即設計一個交互式的計算機軟件，就可以實現不同機床的數字化誤差建模與分析。

數字化機床誤差建模與分析的基本原理及結構如圖3所示，其中建模工作包括下面3個部分：

圖3 數字化機床誤差建模與分析的基本原理及結構

（1）建模準備。針對一臺目標機床，首先需要人工分析其拓撲結構，理清該機床從刀具到工件的部件順序，并按“刀具－工件”鏈順序對機床部件進行編號和建立部件坐標系；然后根據目標機床的設計資料確定“刀具－工件”鏈上各個相鄰部件間的相對位置、姿勢和運動參數，即先確定兩個局部坐標系在x、y、z軸方向上的相對位置x ijp、y ijp、zijp以及這兩個局部坐標系的三個坐標軸的夾角αijp、βijp和γijp；再確定局部坐標系j相對于坐標系i的相對運動，亦即在x、y、z軸方向上的相對直線運動x ijs、y ijs、zijs以及繞著這三個坐標軸做相對轉動的αijs、βijs和γijs。

（2）機床部件相對位姿和運動參數輸入。將上述機床參數從軟件的輸入界面逐一輸入。計算機首先將這些參數轉換為對應的4×4矩陣并儲存，然后按照式（2）和式（3）計算并儲存各個相鄰部件間的相對位姿關系矩陣T ijp和運動矩陣T ijs。根據通用化需求，程序的原始設置為兩個相鄰部件間同時存在六自由度的相對位姿關系和六自由度的相對運動關系。輸入實際的關系值后，其余關系參數自動置零。

（3）誤差矩陣設置及其初始化。在實際狀況下，兩個相鄰部件的相對位姿和運動均存在誤差，所以程序預置兩個相鄰部件的相對位姿和運動均存在式（4）所示的六自由度誤差ΔT ijp和ΔT ijs。由于誤差參量是被分析參量，故兩個誤差矩陣中的相關誤差項均初始化為零，即此時ΔT ijp和ΔT ijs均為單位矩陣。

完成上述三項工作后，目標機床的部件層誤差模型自動在計算機中建立并儲存在對應的數據庫中。目標機床各相鄰部件之間的關系如式（5）所示，刀具與工件的關系如式（6）所示。完成建模后即可進行相應的分析工作。

5 建模及分析方法示例

下面以圖1機床為對象，以部件為誤差單元，采用示例方式介紹機床誤差建模及分析的基本方法，包括機床建模、單元誤差的敏感性分析及作用規律的分析。本文所用原型軟件采用MATLAB編程，并使用其建模和進行模塊分析。

5.1 機床誤差建模

在圖2的“刀具－工件”鏈示意圖中，部件的連接順序為：刀具—刀架—小托板—小托板導軌—中托板—z向導軌—床身—主軸箱—主軸—工件。對各個部件進行編號并建立各自的局部坐標系后，確定各個相鄰部件的局部坐標系關系如表1所示。

表1 各個相鄰部件局部坐標系的相對坐標系

將表1參數通過軟件界面輸入，檢查確認后，由計算機建立目標機床的誤差模型。各個相鄰部件間的誤差矩陣在參數輸入確認后自動初始化。

5.2 單元誤差的敏感性分析

各個部件單元誤差沿部件鏈傳遞到最終執行部件，其方向和大小都可能發生變化。根據加工誤差敏感方向的概念，那些傳遞到加工誤差敏感方向上被放大的單元誤差可稱之為敏感誤差。該項分析工作的目的，是識別各個單元誤差的敏感性。

該項分析為靜態分析，各個相鄰部件之間的運動關系矩陣T ijs及運動誤差矩陣和ΔT ijs保持初始化值，即相關誤差項均為零；然后依次分別設置各個部件的位姿誤差矩陣中的Δx ijp、Δy ijp、Δzijp、Δαijp、Δβijp、Δγijp為單位誤差。本次示例分析中單位誤差的取值為：轉角誤差取1/100°，線位移誤差取1/100mm。在計算一個誤差項時，其他誤差項為零。最后由計算機分別計算這些單元誤差均為單位誤差時對機床輸出誤差的影響。對機床輸出誤差的影響用刀尖點在三個坐標方向上偏離理想位置的量Δx、Δy、Δz進行評定。

圖4所示為中托板5的誤差敏感性分析結果。其詳細數值如表2所示。總體而言，中托板的3個線誤差將分別等值反映在最終輸出誤差的一個特定方向上，而3個角誤差將分別產生兩個方向的輸出誤差。由于車床只有x方向為加工誤差敏感方向，所以圖4中的Δx輸出是主要關心對象（圖4中陰影填充的柱狀線）。分析結果顯示：中托板單元的Δx65和Δγ65是需要重點控制的誤差項。

圖4 中托板單元誤差的敏感性分析

表2 中托板單元誤差為單位誤差時的輸出誤差

5.3 單元誤差的作用規律分析

研究單元誤差的作用規律是為分析和掌握各個單元誤差與機床輸出誤差之間的映射（插值）規律。分析方法是讓各個單元的誤差項Δx ijp、Δy ijp、Δzijp、Δαijp、Δβijp、Δγijp分別在給定范圍內變化時，觀察其在最終輸出端的變化規律，尤其是在加工誤差敏感方向x上的變化規律。例如，中托板的敏感性分析結果表明其Δx65和Δγ65是敏感誤差源，現將 Δx65取值范圍規定為 ［－0.01，0.01］mm，誤差變化步長取0.002mm；Δγ65取值范圍規定為［－0.01°，0.01°］，誤差變化步長取0.002°，則可計算得到這兩個誤差項在輸出誤差x向上的作用規律。這一分析結果十分有利于對機床的輸出誤差進行目標控制：在機床輸出誤差超差時，可以根據超差大小通過插值方式獲得具體的單元誤差控制量。

6 結論

（1）不同種類和型號的金屬切削機床具有不同的空間結構、幾何尺寸及運動方式，但其拓撲結構具有串行的“刀具－工件”鏈特征。刀具與工件之間的相對位姿、運動及其誤差關系由部件鏈中各個相鄰部件之間的特征矩陣表征，而這些特征矩陣具有統一的數學表達形式。因此，設計一個交互式的計算機軟件，就可以實現不同機床的數字化誤差建模與分析。

（2）基于機床的數字化誤差模型，可以對機床的單元誤差進行敏感性分析、作用規律分析以及各個誤差單元的積累效應分析，為機床的公差設計、裝配調整以及誤差補償提供可靠的數值依據。

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