超聲切割刀動力學分析和結構優化設計

周勝利 姚志遠 沙 金

南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京，210016

0 引言

超聲切割是利用超聲發生器使切割設備做超聲頻率的振動，通過刀頭將碰撞和沖擊能量傳遞到被切介質，致使被切介質材料疲勞破碎而達到切割目的的一項新型工藝技術。超聲切割可更有效、更精確地加工如碳纖維、玻璃纖維、凱夫拉纖維、各種蜂窩材料等航空制造領域所用的復合材料和硬脆材料如光學玻璃、硅晶體、陶瓷等［1－2］。另外，由于與生物組織接觸的金屬刀頭以一定的超聲頻率振動時可使生物組織內水汽化、蛋白氫鍵斷裂、細胞崩解、組織被切開、凝固和封閉小血管，所以超聲切割技術又可運用到手術工具上，制成切割止血刀，已在國內外得到了廣泛的應用［3－5］。

現階段超聲切割技術的研究多在于新型切割設備的設計和實驗研究，以及利用有限元軟件進行仿真分析等。在國外，Andreas等［6］設計并研究了一種新穎的多刀片切割裝備；Nath等［7］做了超聲切割低合金鋼的實驗研究；Eggers等［8］做了超聲切割應用在骨切割和面部手術上的實驗研究。在國內，郭玉泉等［9］進行了超聲切割用壓電換能器的理論研究及有限元仿真；劉井權等［10］進行了超聲刀切割系統的模態分析；沙金等［11］研制了一種新型的超聲切割刀，并研究了刀頭材料對切割力的影響等。

目前，超聲切割刀的動力學理論建模研究落后于其結構設計。超聲切割刀的結構主體是蘭杰文振子［12－15］。對于蘭杰文振子，現階段多是利用ANSYS等有限元軟件進行仿真分析，得不到其解析解，因而不能定性地分析結構的物理和幾何因素對其輸出性能的影響規律。另外，ANSYS計算比較花費時間，對計算結果還需進行模態識別，并且對非線性變截面體進行網格劃分時的效果也不太理想，有時甚至會造成程序無法運行。為放大刀頭處的振幅，切割刀的結構中引入了變幅桿。變幅桿的聲學特性已得到了廣泛的研究，并有許多行之有效的計算方法，如傳統解析法、等效電路法、替代法、傳輸矩陣法和有限元法等［16－18］。超聲切割刀至少具有兩種材料，即壓電陶瓷和金屬材料，工作時壓電陶瓷是激勵源，存在著機電耦合問題。因此，切割刀的動力學理論建模還有待于進一步完善。

為優化切割刀性能，有必要對切割刀進行結構優化設計。以往的優化設計也是借助于有限元分析完成的，一樣存在著諸如計算時間長，非線性變截面不易處理等問題。本文針對沙金研制的超聲切割刀，建立了其振動的動力學模型，得到解析解；在解析解的基礎上設計了切割刀的結構優化算法，利用MATLAB編寫程序并設計可視化界面。該優化程序運行速度快，優化結果準確，方便了該型切割刀的結構設計。

1 超聲切割刀結構

該超聲切割刀結構如圖1a所示，各部分由45鋼建立的螺栓連接在一起。以后端塊底部中孔的圓心為原點，建立的該切割刀整體坐標系如圖1b所示。

圖1 切割刀結構及整體坐標系

其中，第（2）部分壓電陶瓷的橫截面是帶有中孔的矩形，第（6）部分采用了指數截面型變幅桿的設計。忽略電極片，則切割刀可分為六部分，其各部分的截面坐標如圖2所示。其中Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ為45鋼構成的長方體，Ⅱ、Ⅳ虛線部分是半徑為r的45鋼螺栓，外圍是壓電陶瓷，Ⅵ在寬度（z）方向為變截面體，沿高度（y）方向是等高度的，其高度為h。Ⅵ在寬度方向的曲線函數為

圖2 切割刀各部分截面圖

2 結構動力學分析

2.1 結構動力學模型

式中，ρ和E分別為45鋼的密度和彈性模量；c為切割刀單位體積的等效黏性阻尼系數。

Ⅱ、Ⅳ部分的振動微分方程為

式中，ρt、s11、e33和lt分別為壓電陶瓷的密度、彈性柔度矩陣元素、壓電常數矩陣元素和厚度。

Ⅵ部分的振動微分方程為

由自由初始條件及切割刀在振動過程中各截面兩端位移、應力相等有下列邊界條件：

2.2 一階縱振模態求解

本文切割刀采用一階縱振為工作模態，在不考慮阻尼和激勵的前提下，其式（1）、式（2）、式（4）變為

式（6）的解都可寫成

由式（5）和式（7）可得一個由12個方程組成的方程組，寫成矩陣形式和稀疏矩陣形式則有

式（8）有非零解的充要條件是如下的頻散方程：

由式（9）即可求得本文切割刀的一階縱振頻率。

本文超聲切割刀的結構參數如表1所示。其45鋼和壓電陶瓷的材料性能參數如表2所示。

表1 超聲切割刀的結構參數 mm

表2 材料的性能參數

將上述參數代入式（9），即可得到一階縱振頻率為52.5k Hz，利用 ANSYS計算的結果為52.3k Hz，利用德國Polytec公司PSV2300F2B型高頻掃描激光測振系統測定的結果為53.5k Hz。由此驗證了本文算法是準確的。利用本文算法，用MATLAB編程計算一階縱振頻率僅需2s左右，而利用ANSYS計算一階縱振頻率需要數分鐘。在計算出縱振頻率的基礎上，很容易按最大振幅歸一化畫出切割刀一階縱振振型圖并找出節面所在位置，如圖3所示，圖中A為振幅，Amax為最大振幅。

圖3 切割刀一階縱振振型圖

3 結構優化設計

3.1 結構優化數學模型

為使壓電陶瓷的激振效果達到最大和使夾持件對切割刀振動的影響達到最小，需將壓電陶瓷和夾持件放置在切割刀的節面處［19］。由于該切割刀壓電陶瓷對稱分布在夾持件的兩側，所以該切割刀結構優化目標為

式中，lc為夾持件中心位置；ld為切割刀節面位置；ε為允許偏差。

由振動理論可知，對切割刀節面位置影響最大的因素為前后端塊和變截面部分的長度，考慮到前后端塊較易加工，選取前后端塊長度作為優化參數，分別設為lq和lh。綜上，本文切割刀結構優化設計的數學模型可描述為

滿足條件：

為了滿足超聲要求，規定切割刀一階縱振頻率fgz≥20 000Hz。

3.2 結構優化程序

利用MATLAB編寫程序，算法如下：

（1）輸入參數，設定總長度的搜索步長ΔL。

（4）若Pc（k，j）＝｜lc（k，j）－ld（k，j）｜≤ε，輸出L（k）、lq（k，j）、lh（k，j）、fgz（k，j）、Pc（k，j）和振型圖；若Pc（k，j）＞ε，則j←j＋1。

（5）若對固定的k，一切lq（k，j）都有Pc（k，j）＞ε，則k←k＋1。

（6）若對一切的k、j都有Pc（k，j）＞ε，則輸出；無合適的尺寸，則更改總長度范圍或允許偏差。

為 加 工 方 便， 取 ΔL＝ 0.2mm，Δlq＝0.1mm。算 法 第 （2）步 中 估 計lq（k）、lh（k）及fgz（k）的范圍是為了減少循環的步數，以節省計算時間。其估計的方法如下：

（1）若變截面部分為等截面長方體，則根據振動理論，節面位置應在切割刀中心處，故有

式中，nt為壓電陶瓷片數；ljc為夾持件厚度。

（2）若變截面部分對切割刀的振動無影響，則節面位置應在除去變截面部分以外部分的中心處，故

式中，lb為變截面部分長度。

（3）由步驟（1）、步驟（2）易知lh的取值范圍為

（4）因為lq＝L－lh－ntlt－ljc－lb，所以lq的取值范圍為

利用MATLAB的GUIDE工具設計人機交互界面并對以上切割刀進行結構優化，選取的總長度區間為［50，52］mm，允許偏差為1μm，優化結果如圖4所示。

圖4 優化結果

經優化，切割刀總長度為51.4mm，前端塊長度為13.7mm，后端塊長度為17.7mm，一階縱振頻率為50.8k Hz，偏差為0.78μm，達到了優化目標，計算時間約為100s。以上述結構尺寸加工的樣刀的一階縱振頻率為50.6k Hz，在相同的80V正弦信號的激勵下，優化后的切割刀諧振阻抗為320Ω，振幅為1.4μm，而優化前的切割刀振幅為1.1μm，振幅提高約27%。

4 結語

利用振動理論，建立了超聲切割刀的動力學模型，并據模型整理得到其一階縱振頻率和振型的解析式。據解析式計算得到的振動頻率52.5k Hz與ANSYS計算的52.3k Hz及實驗測試的53.5k Hz相吻合，驗證了本文算法的有效性。建立了超聲切割刀的優化模型，提出了結構優化算法，并利用MATLAB設計了人機交互優化界面。利用本文算法進行結構優化設計，運行速度快，所耗機時少，優化結果良好，節面位置與夾持件中心位置的偏差在1μm之內，在相同的80V正弦信號的激勵下，優化后的切割刀振幅比優化前的切割刀振幅提高了約27%，解決了結構優化難題。本文算法稍作修改后，亦可用于解決具有錐形變截面、雙曲線變截面的切割刀的動力學分析及結構優化設計問題。并對超聲電機的定子設計具有參考借鑒作用。

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