以題破“題”——例談教材中習題的拓展和改進

☉浙江省嵊州市城關中學 范浙楊

☉浙江省嵊州市教研室 蔡建鋒

一、多年數學教學實踐中“問題”不斷

“問題”一：過多的作業數量一直降不下來

2011學年初，筆者的辦公桌上放著8疊差不多高的試卷，這是特意向我校2009年入學的八年級學生要來的（選取試卷保存得最完整的學生），分別來自不同的班級（所教數學老師不一樣），目的是想比較確切地統計一下八年級學生一學年的作業數量.稱了一下，結果大吃一驚，整整12千克，平均每位學生1.5千克；數了一下，總共1584份試卷，平均每位學生198份試卷.估算了一下，完成每張試卷，學生平均要花去60分鐘左右的時間.當然，這還不包括教材中的習題和《作業本》，因為這些試卷只是老師找來的，根本不是這位學生的全部數學作業.而九年級這種作業的數量只會更多.事實上，多年的數學教學實踐，早就使得數學老師形成了這樣一種定勢：誰的作業量降得多，誰的成績就降得多.

“問題”二：學生的學習興趣總是提不上去

在嵊州市內，我校學生整體的數學成績要比絕大多數學校好得多.但就在這樣所謂的好學校里，仍有不少學生對學習數學缺乏興趣.對此，筆者于2011年初、2012年初，連續二次對所任教班級學生學習數學興趣的現狀進行了調查，二次調查結果比較一致：只有約三成同學對數學感興趣，還有約五成的同學對學習數學感覺一般，約二成的同學明確表示不喜歡學習數學；數學在所有學科中，按喜愛程度，排在第一的只有一成，排在第二的有二成，排在第三或以下的倒有七成.學生普遍認為學習數學不好玩，不停地做題目很枯燥無味.

“問題”三：自身的授課方式通常一成不變

例題、習題的教學是數學教學環節中不可缺少的部分，但由于自身對教材例題、習題的重要作用認識不到位，以題論題.如在講解例題時，通常的方法有二種：一是教師先讀題，然后分析，講完后問學生聽懂了沒有，并在部分學生肯定、部分學生無語中結束例題的講解；二是教師讀題后，給學生時間思考，讓有思路的學生講解思路，并在老師的幫助下完成解答.而對教材習題則更加容易忽視，方法比較簡單：要么布置習題，沒有下文；要么布置習題，之后快速校對答案.這種對例題、習題的簡單操作持續一定的時間后，通常會給學生起一個負面的示范作用：學生不會去重視教材中的例題和習題，只把它們當成自己完成的眾多題目中的一個，根本不會去設疑、提煉、固化，平時面對的每一個題目還是那么“似曾相識”.

針對上述突出問題，筆者從2011學年起，嘗試在完成教材中例題基本性質的講解，學生掌握基本知識點的基礎上，對教材中的習題進行了拓展改進.通過對教材中習題的“二次開發”，即利用教材中習題的潛在價值，再創新教材中習題的背景、條件、結論、基本圖形、知識的整合等，將教學目標落實在教材中習題的拓展改進這個點上，試圖讓學生覺得這同單純的做題目不同，感到好玩、有意思，從而專注地投入進去，達到“做一題、通一類、會一片”的解題境界.

二、教材習題拓展改進的典型做法

浙江省初中數學學科教學建議中指出“對例題、習題作適當的變式，讓學生練習，嘗試舉一反三”.數學教學中離不開習題，而教材中的許多習題都具有典型性、示范性和探索性，所蘊含的內容相當豐富，對它們不能簡單地以題論題，而應進行適當的變化、引伸與挖掘，提示有價值的新結論，這樣做不但能改進數學教師的授課方式，而且還能減少學生數學作業數量，激發學生學習數學的興趣.下面以浙教版八年級上冊P47習題第2題為例，介紹筆者在拓展改進教材中習題的典型做法.

教材原題 如圖1，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD上一點，且AP=PC，AP⊥PC，則△ABP≌△PDC.請說明理由.

說明：這是教材中的一道習題，根據已知條件，學生容易證得結論，但這道習題蘊藏著豐富的內容和背景，對它作進一步的挖掘、引伸和探索，對提高學生的數學素養、發展學生的學習能力都能起到事半功倍的作用.

圖1

（一）做法一：改變背景，隱藏模型

拓展改進題1如圖2，四邊形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，邊長分別為a、b、c.A、B、N、E、F五點在同一直線上，則c=______（用含有a、b的代數式表示）.

圖2

說明：本拓展改進題把原題中單一的數學模型，放到以正方形為主體的背景中，不僅使題目具有新意，而且要運用正方形的性質，構造出原題中的一個數學模型，使題目更具有綜合性和靈活性.

拓展改進題2如圖3，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm.以BC上一點O為圓心的圓經過A、D兩點，且∠AOD=90°，則圓心O到弦AD的距離是（ ）.

圖3

說明：本拓展改進題把原題中的數學模型，放到以圓為主體的背景中，挖掘同圓半徑相等的隱含條件，得出原題中的數學模型.再結合點到直線的距離和勾股定理等知識來解決問題，使題目具有新意.

拓展改進題3如圖4，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1、l2、l3上，且l1、l2之間的距離為2，l2、l3之間的距離為3，則AC的長是（ ）.

圖4

說明：本拓展改進題設置了以三條平行線為主體背景，需要添加輔助線從點A、C分別作l3的垂線，構造得出原題中的數學模型，這樣使題目更具有新意，同時也增加了學生的思維量.

（二）做法二：弱化條件，變化引伸

1.第一次弱化

弱化原題中的“兩邊相等”的條件，使原題中的三角形全等弱化為三角形相似.

拓展改進題4如圖5，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BC的中點，且AC⊥CE，ED=1，BD=4.那么AB=_____.

圖5

說明：本拓展改進題把原題中的條件AC=CE去掉，使原題中的△CAB≌△ECD模型改變為△CAB∽△ECD的數學模型，這樣把原題目中的全等三角形知識轉變為利用相似三角形的性質來解決問題.

拓展改進題5如圖6，四邊形ABCD為矩形紙片，把紙片ABCD折疊，使點B恰好落在CD邊的中點E處，折痕為AF，若CD=6，則AF等于（ ）.

圖6

說明：本拓展改進題設置以矩形紙片為試題的背景，并通過幾何圖形的折疊，構造出一個相似三角形的數學模型，再根據折疊中所蘊含的數學規律，結合幾何性質來解決問題.這樣拓展改進題不僅使題目具有新意，而且使學生在操作中挖掘圖形中所蘊含的幾何性質，提煉出所需要的數學模型.

拓展改進題6已知A、D是一段圓弧上的兩點，且在直線l的同側，分別過這兩點作l的垂線，垂足為B、C，E是BC上一動點，連接AD、AE、DE，且∠AED=90°.

圖7-1

圖7-2

（1）如圖7-1，如果AB=6，BC=16，且BE∶CE=1∶3，求AD的長.

（2）如圖7-2，若點E恰為這段圓弧的圓心，則線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關系？請寫出你的結論并予以證明.再探究：當A、D分別在直線l兩側且AB≠CD，而其余條件不變時，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關系？請直接寫出結論，不必證明.

說明：本拓展改進題設置以圓為試題的背景，通過動點和開放性問題構建數學模型，使題目更具有新意、靈活性和開放性.當點E恰為這段圓弧的圓心，則由原題模型得AB+CD=BC，當A、D分別在直線l兩側且AB≠CD時，則有如下等量關系：

2.第二次弱化

弱化原題中的“兩邊相等”和“直角”條件，把三個直角相等的條件弱化為三個角相等，由直角三角形全等弱化為一般三角形相似.

圖8

A.3 B.4

C.5 D.6

說明：把原模型中的三個直角相等和斜邊相等，弱化∠B=∠APD=∠C=60°，使△ABP≌△PCD變為△ABP∽△PCD.這種變式和拓展在中考命題中有著廣泛應用.

拓展改進題8如圖9，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G.

（1）寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對.

（2）連接FG，如果α=45°，AB=4，AF=3，求FG的長.

說明：本拓展改進題設置一般圖形使∠DME=∠A=∠B=α，根據上述數學模型，得出△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM.再把α取一個特殊值45°，利用相似三角形和等腰直角三角形的性質來解決問題.

3.第三次弱化

弱化原題中的三角形的形狀，變“三角形”為“等腰梯形”，條件仍為三個角相等，構造出兩個三角形相似的數學模型.

圖10

拓展改進題9如圖10，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，點E、F分別在線段AD、DC上（點E與點A、D不重合），且∠BEF=120°，設AE=x，DF=y.

（1）求y與x的函數表達式.

（2）當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？

說明：本拓展改進題把原題中的直角三角形弱化為等腰梯形，并使∠A=∠BEF=∠D=120°，易得△ABE∽△DEF，通過動點把幾何圖形與函數問題結合起來，利用函數的性質來求y的最大值.

（三）做法三：動靜結合，分類討論

拓展改進題10若從矩形一邊上的點到對邊的視角是直角，則稱該點為直角點.例如圖11的矩形ABCD中，點M在CD邊上，連AM、BM，∠AMB=90°，則點M為直角點.

（1）若矩形ABCD一邊CD上的直角點M為中點，問該矩形的鄰邊具有何種數量關系？并說明理由.

圖11

（2）若點M、N分別為矩形ABCD邊CD、AB上的直角點，且AB=4，BC=，求MN的長.

說明：本拓展改進題給出了一個矩形的“直角點”的新概念，從圖形中易得兩個三角形相似的數學模型，運用數學模型，對點M的位置設置不同的條件，需要用分類討論的思想來解決問題，本拓展改進題不僅具有新意，而且具有較強的靈活性和開放性.

拓展改進題11如圖12-1，把一張標準紙一次又一次對開，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙……已知標準紙的短邊長為a.

（1）如圖12-2，把這張標準紙對開得到的“16開”紙按如下步驟折疊.

第一步：將矩形的短邊AB與長邊AD對齊折疊，點B落在AD上的點B′處，鋪平后得折痕AE.

第二步：將長邊AD與折痕AE對齊折疊，點D正好與點E重合，鋪平后得折痕AF.

則AD∶AB的 值 是______，AD、AB的 長 分 別 是_______、_______.

（2）“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙的長與寬之比是否都相等？若相等，直接寫出這個比值；若不相等，請分別計算它們的比值.

（3）如圖12-3，由8個大小相等的小正方形構成“L”型圖案，它的四個頂點E、F、G、H分別在“16開”紙的邊AB、BC、CD、DA上，求DG的長.

（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M=90°，MN=MQ=2PQ，且四個頂點M、N、P、Q都在“4開”紙的邊上，請直接寫出兩個符合條件且大小不同的直角梯形的面積.

圖12-1

圖12-2

圖12-3

說明：本拓展改進題以生活中的實際問題為背景，通過一張標準紙的折疊引出問題，設置8個大小相等的小正方形構成“L”型圖案放置在矩形中，使圖12-3中隱藏著兩個數學模型，△EBF≌△FCG和△HGD∽△GFC，通過這兩個數學模型的應用使問題解決.

（四）做法四：結合函數，綜合應用

拓展改進題12如圖13，在平面直角坐標系中，OB⊥OA，且OB=2OA，點A的坐標是（－1，2）.

（1）求點B的坐標.

（2）求過點A、O、B的拋物線的表達式.

（3）連接AB，在（2）中的拋物線上求出點P，使得S△ABP=S△ABO.

圖13

說明：本拓展改進題以拋物線為問題的背景，通過設置OB⊥OA這個條件構造“L”型圖形放置在坐標系中，添加過A、B分別作x軸的垂線構造出兩個三角形相似的數學模型，通過數學模型與拋物線的有機結合增加了試題的靈活性和綜合性.

拓展改進題13如圖14，經過x軸上A（－1，0）、B（3，0）兩點的拋物線y=ax2+bx+c交y軸于點C，設拋物線的頂點為D，若以DB為直徑的⊙G經過點C，求解下列問題.

圖14

（1）用含a的代數式表示出C、D兩點的坐標.

（2）求拋物線的解析式.

（3）如圖，當a＜0時，能否在拋物線上找到一點Q，使△BDQ為直角三角形？若能找到，試寫出Q點的坐標；若不能，請說明理由.

說明：本拓展改進題以拋物線和圓為問題的背景，通過設置直徑所對的圓周角構造“L”型圖形放置在坐標系中，添加過D作y軸的垂線構造出兩個直角三角形相似的數學模型，通過數學模型與拋物線、圓的知識的有機整合，增加了試題的新穎性和綜合性.

三、教材習題拓展改進的初步經驗

通過近兩年的初中數學教材中習題的拓展改進實踐，筆者初步形成并積累了一些看法和經驗，主要有以下幾點.

（一）從總的理念層面來說

1.方向要明

對教材中的習題進行拓展改進可以跳出教材，但不能跳出《數學課程標準》和當年的《考試說明》，更不能“拓”出一些“繁、難、雜”的習題來浪費學生寶貴的學習時間和挫傷學生學習數學的興趣.

2.本質要抓

教師可不斷更換命題中的非本質特征：變換問題中的條件或結論，轉換問題的內容和形式，配置實際應用的各種環境.但應保留好對象中的本質因素，從而使學生掌握數學對象的本質屬性.

3.情感要顧

要充分照顧到學生的年齡、性格、生活閱歷和解題經驗，找到那些學生喜歡、感興趣、可接受、樂于主動參與的點來進行拓展改進.

4.方式要活

拓展改進后的習題訓練的方式要靈活多樣，力求使學生獨立練習和教師啟發引導下的半獨立練習相結合.有時可分散訓練，有時可集中訓練，有時一個教材習題下拓展改進后的題目可分幾次完成，促使學生的多種感官參與學習.

5.題量要減

教材中的習題進行拓展改進后，題量有一定增加.因此，先前數學教學中大量的題型復制、繁難的習題求解演示和解題方法的記憶與重復等活動必須大幅減少.

（二）從具體的操作層面來說

1.吃透是基礎

數學教材中的習題往往聚集了大量的專業智慧和實踐經驗，拓展改進時教師要盡可能“吃透”并“利用”現有的教材習題：一是“調整”教材習題，即保持總量不變，只是變換教材習題在各個教學章節的順序；二是“整合”教材習題，將教材習題中的各個知識點綜合起來，使各個知識點之間相互照應，融合為新的習題；三是“解構”習題，即教師引導學生盡量解釋和發掘教材習題背后的意義，或者以懷疑、批判的方式使原有的教材習題顯現另外的意義.

2.補充是關鍵

教材習題往往比較單薄，教師要不斷尋找和發現現有的教材習題之外那些相關的有意義的材料，并將它們有選擇地引入課堂，使現有的教材習題與課外的習題材料相互補充.

3.替換是選項

如果教師發現現有浙教版教材某個章節的習題絕大部分內容比較過時、落后或者不適合學生學習時，那么教師就可以考慮用另外的教材版本中的相關習題進行適當替換.

四、教材習題拓展改進的初步成效

（一）數學作業數量大幅下降，但學業成績沒有下降

以2011學年我校八年級為例，《作業本》每個班級都完成，區別是筆者所教班級的每位學生平均只加做了23份試卷，其他作業主要是數學教材中的習題和拓展改進后的習題，其他班級的每位學生平均則加做了162份試卷.2011學年兩個學期的期末考試，我校八年級的20個班級中，筆者所教班級數學成績的“三率一平”與其他班級平均水平相比如下.

1.2011學年第一學期期末考試差別不大

優秀率約高5個百分點，合格率約高3個百分點，低分率約高7個百分點，平均分約少1分.

2.2011學年第二學期期末考試略有優勢

優秀率約高7個百分點，合格率約高5個百分點，低分率約高3個百分點，平均分基本持平.

“誰的作業量降得多，誰的成績就降得多”的局面基本打破，所教班級基礎相對較好的學生的數學成績甚至還有點長進.

（二）學生學習興趣不斷上升，但學習壓力沒有上升

教材中習題拓展改進后，雖然我們師生經常一節課只研究一個問題（進行一題多解和一題多變），有時到下課了還沒有研究結束，但這樣的教學效果較好，學生得到的是思想方法、情感體驗和個性發展，學生對數學知識理解深刻，獨立性高，知識遷移能力強.它改變了學生對數學解題的恐懼心理，開始從相似度很高、非常機械的試卷練習中解脫出來，激發了學習數學的興趣，在一定程度上體會到了“在多樣的變化中領略數學的魅力，在層層的演變中體會數學的快樂”.2013年初，筆者再一次對所任教班級學生學習數學興趣的現狀進行了跟蹤調查，結果顯示：約七成同學對數學感興趣，還有約二成的同學對學習數學感覺一般，只有約一成的同學明確表示不喜歡學習數學；數學在所有學科中，按喜愛程度，排在第一的已有三成，排在第二的有四成，排在第三或以下的下降至三成.“趣學”、“樂學”、“輕松地學”的良好氛圍逐漸形成.

（三）自身授課方式逐漸改變，但成長趨勢沒有改變

在教材中習題的拓展改進過程中，筆者在兩個方面有明顯變化：一是課堂授課方式有了明顯的改變.延續了十幾年的講講練練的常見方式筆者已很少使用，而是經常通過精選教材中典型的習題，充分挖掘、延伸、改造，用拓展改進后的習題進行教學，注重剖析破題思路，溝通知識間的聯系，展示知識的形成、演變過程.目前這種授課方式現已逐漸成型，并得到提煉和固化.二是析題和編題的能力有了明顯提升.數學專業知識日趨扎實，編題時注重以教材中的習題為基礎，對原題根據不同的要求進行拓展改進，還學會充分了解學生，學習數學試題的命制技術，編寫出了相當數量的具有新意又符合學生實際的拓展改進習題，基本能覆蓋整個初中階段.另外，筆者先后獲得紹興市首屆初中數學教師基本能力比武一等獎（第一名）和嵊州市學科帶頭人稱號，自身個人專業成長的趨勢沒有停止和改變.

當然，在近兩年的初中數學教材中習題的拓展改進實踐中，還暴露出了以下突出問題：一是有時為了拓展改進而拓展改進，不注重拓展改進的典型性；二是拓展改進后的習題不能完全覆蓋基本知識；三是拓展改進后的習題跨度不合適，難以循序漸進；四是不同課型中習題的拓展改進在差異上把握明顯不足.這有待于今后在數學教學改革實踐中進一步探討和解決.