“借”——解題的一種有效策略

☉廣東省東莞市厚街湖景中學 畢道松

這則故事啟示我們在解決數學問題時，如果也能夠運用“借”的藝術，則可以使問題得到簡捷而巧妙的解決.

一、借“物”

例1 已知4個礦泉水空瓶可以換礦泉水一瓶，現有15個礦泉水空瓶，若不交錢，最高可以喝礦泉水（ ）瓶.

A.3 B.4 C.5 D.6

解析：假設有3個礦泉水空瓶，再向店主借一瓶礦泉水，喝了以后，連同原來的3個空瓶共4個空瓶換喝下去的礦泉水.本題的本質就是有3個空瓶，就能喝礦泉水一瓶，所以15個礦泉水空瓶能喝礦泉水5瓶，故選C.

二、借“體”

例2 如圖1，已知該物體的左、右側的高分別為4cm和6cm，直徑為4cm，則這個物體的體積為______.

圖1

圖2

解析：再“借”一個同樣大小的物體，把兩個拼接成一個高為10、底面直徑為4的圓柱（如圖2），則V圓柱=S·h=4π·10=40π.

原物體的體積等于該圓柱體的體積的一半，為20π.

三、借“數”

解析：借數“1”來解決問題.

四、借“項”

解析：b－c=（b－a）+（a－c）.

由（b－c）2－4（a－b）（c－a）=0，

得［（b－a）+（a－c）］2－4（a－b）（c－a）=0.

即（b－a）2+（a－c）2－2（a－b）（c－a）=0.

所以［（b－a）－（a－c）］2=0.

五、借“元”

曾有中考的“閱讀理解題”考過下面的解方程：

解得y1=2，y2=3.

得2x=1+y=1+5，所以x=3.

經檢驗：x=3是原方程的解.

六、借“線段”

例6 如圖3，在梯形ABCD中，AD∥EF∥GH∥BC，AE=EG=GB，AD=18，BC=32，求EF+GH的值.

解析：取AB的中點P，CD的中點Q，連接PQ.

圖3

根據題意，得PQ是梯形ABCD的中位線，也是梯形EGHF的中位線.

所以EF+GH=AD+BC=18+32=50.

七、借“圓”

例7 將5個相等的圓板按圖4所示放置，要想一刀把它分成面積相等的兩部分，應該怎樣切才行？

解析：借一個等圓來解決問題：把借來的圓如圖4所示擺放，然后沿圖中直線一刀切就可以了.

圖4

八、借“公式”

例8 如圖5，已知扇形OAB，點C在OA上，以O為圓心、OC為半徑畫弧，交OB于D，若弧AB的長為8π，弧CD的長為6π，AC=4，求陰影部分的面積.

解析：因為陰影部分的形狀與梯形類似，可以借用梯形的面積公式來求陰影部分的面積.

圖5

九、借“圖形”

數形結合是學習數學的一個極為重要的思想，很多問題借用圖形來解決較為方便.

例9 （1）若方程ax2-2x+1=0（a＞0）的兩根滿足：x1＜1，1＜x2＜3，求a的取值范圍；

（2）已知a、b均為正數，且a+b=2.求的最小值.

解析：（1）畫出與方程對應的二次函數y=ax2-2x+1（a＞0）的草圖（如圖6）.

圖6

由圖6可知：當x=1時，y＜0；當x=3時，y＞0.

即a×12－2×1+1＜0；a×32－2×3+1＞0.

圖7

（2）如圖7，作線段AB=2，在AB上截取AE=a，EB=b，過A作AC⊥AB，且AC=2，過B作BD⊥AB，且BD=1.由勾股定理，得，原題即求CE+ED的最小值.

延長CA至G，使AG=AC，連接GE、DE.由三角形兩邊之和大于第三邊，得G、E、D三點共線時，GE+ED=DG最短.作出圖形，延長DB至F，使BF=AG，連接GF.

在Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=2.

所以CE+DE的最小值是

小結：此題由式子的特點聯想到勾股定理，構造圖形解決問題.

十、借數學“模型”

例10 如圖8，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，P為BC上任一點，PM⊥AB，PN⊥CD，BE⊥CD，垂足分別為M、N、E.求證：PM+PN=BE.

解析：我們曾經學習過一個模型：“等腰三角形底邊上的任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高”，可以借用這個模型來解決問題.

圖8

延長BA、CD交于一點F.

由梯形ABCD為等腰梯形，

得∠ABC=∠C，則△FBC為等腰三角形.

所以FB=FC.

連接PF.

即PM+PN=BE.

運用“借”的藝術，不僅可以解決數學問題，而且能夠通過“借”培養學生的知識遷移能力，對學生潛能的發展頗具意義.