圓錐曲線統(tǒng)一定義的探索歷程

☉江蘇省連云港市新浦中學(xué) 李 萌

新課標(biāo)人教A版《數(shù)學(xué)》選修教材2-1中只介紹了橢圓、雙曲線、拋物線的第一定義，也就是說學(xué)生只知道拋物線準(zhǔn)線的概念及準(zhǔn)線方程，而不知道橢圓、雙曲線準(zhǔn)線的概念及其準(zhǔn)線方程.但近年來無論是各地市的調(diào)研題、模擬題，還是全國高考題在解析幾何考題上都或多或少的涉及到與橢圓、雙曲線的準(zhǔn)線相關(guān)的問題.面對這種情形，我們大多數(shù)一線教師（包括筆者）的做法就是將圓錐曲線統(tǒng)一定義強(qiáng)行推銷給學(xué)生，并通過大量習(xí)題的練習(xí)強(qiáng)化鞏固，這樣的做法一方面違背了新課程理念，新課程在圓錐曲線章節(jié)中刪去了圓錐曲線的統(tǒng)一定義，而我們又毫不保留的推銷給學(xué)生并通過重復(fù)習(xí)題的練習(xí)強(qiáng)化、深化，無疑加重了學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)；另一方面，由于學(xué)生接受新知識，形成新概念需要有一個經(jīng)歷的過程，直接的推銷等于把新知識灌輸給學(xué)生，那么學(xué)生真的懂了嗎？真的接受了嗎？回首展望，冷靜反思，留給學(xué)生更多的是這個定義怎么來的？

基于上述原因，筆者進(jìn)行仔細(xì)斟酌、認(rèn)真的思考研究，認(rèn)為應(yīng)從橢圓、雙曲線的第一定義出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生來探索圓錐曲線的統(tǒng)一定義，或者從拋物線的定義出發(fā)來探索圓錐曲線的統(tǒng)一定義更加切合學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，消除學(xué)生之前的種種疑惑.

一、從橢圓、雙曲線的定義出發(fā)去探索圓錐曲線的統(tǒng)一定義

1.從橢圓的第一定義出發(fā)探索橢圓的第二定義

如何從上述定義中找出橢圓的準(zhǔn)線，探索出橢圓的第二定義呢？我們可以引導(dǎo)學(xué)生從建立橢圓方程開始.

設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點，橢圓的焦距為2c（c＞0），那么焦點F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0）.又設(shè)M與F1，F(xiàn)2的距離的和等于2a.由橢圓的定義知a＞c.

由橢圓的定義得方程

對方程①的左邊施行分子有理化得

對上式化簡整理得

由①與②聯(lián)立

由于上面兩個方程式是從方程①等價轉(zhuǎn)換來的，所以橢圓的定義等價敘述為：平面內(nèi)到定點F的距離和它到定直線l（點F不在直線l上）的距離之比是常數(shù)e（0＜e＜1）的點的軌跡是橢圓.類比拋物線的定義，點F是焦點，直線l是準(zhǔn)線，e是離心率（橢圓的第二定義）.

2.從雙曲線的第一定義出發(fā)探索雙曲線的第二定義

對于雙曲線，我們可引導(dǎo)學(xué)生類比橢圓的探索方法，將新課標(biāo)教材A版《數(shù)學(xué)》選修2-1第52頁給出雙曲線的定義等價的敘述為：平面內(nèi)到定點F的距離和它到定直線l（點F不在直線l上）的距離之比是常數(shù)e（e＞1）的點的軌跡是雙曲線.點F是焦點，直線l是準(zhǔn)線，e是離心率（雙曲線的第二定義）.

這樣，我們結(jié)合拋物線的定義及橢圓、雙曲線的第二定義，會得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點F的距離和它到定直線l（點F不在直線l上）的距離之比是常數(shù)e的點的軌跡是圓錐曲線，其中F是焦點，直線l是準(zhǔn)線，e是離心率.（Ⅰ）當(dāng)0＜e＜1時，圓錐曲線是橢圓；（Ⅱ）當(dāng)e＞1時，圓錐曲線是雙曲線；（Ⅲ）當(dāng)e=1時，圓錐曲線是拋物線.

二、從拋物線的定義出發(fā)來探索圓錐曲線的統(tǒng)一定義

新課標(biāo)教材A版《數(shù)學(xué)》選修2-1在第65頁給出了拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l（點F不在直線l上）距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.

那么，橢圓、雙曲線是否也能通過到定點的距離與到定直線的距離之間的關(guān)系來定義呢？我們引導(dǎo)學(xué)生做如下的探索.

類比拋物線的定義先進(jìn)行合理猜想：平面內(nèi)到一個定點F的距離是它到一條定直線l（點F不在直線l上）距離的λ（λ＞0）倍的點的軌跡是圓錐曲線，F(xiàn)叫做焦點，直線l叫做準(zhǔn)線.

這個猜想是否成立？需要大家去驗證.

驗證：為了和拋物線方程的建立相一致，我們?nèi)〗?jīng)過點F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合，建立直角坐標(biāo)系.

（ⅰ）若λ=1，方程③表示拋物線y2=2px（p＞0）.

（ⅱ）若0＜λ＜1，則方程③可化為

（ⅲ）若λ＞1，則方程③可化為

綜上可知，猜想成立.于是我們就得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點F的距離和它到定直線l（點F不在直線l上）的距離之比是常數(shù)e的點的軌跡是圓錐曲線，其中F是焦點，直線l是準(zhǔn)線，e是離心率.（Ⅰ）當(dāng)0＜e＜1時，圓錐曲線是橢圓；（Ⅱ）當(dāng)e＞1時，圓錐曲線是雙曲線；（Ⅲ）當(dāng)e=1時，圓錐曲線是拋物線.

三、結(jié)語

維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)理論”，認(rèn)為學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平，另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平.兩者之間的差距就是最近發(fā)展區(qū).因此我們的教學(xué)，只有針對學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)的教學(xué)，才能促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.

圓錐曲線統(tǒng)一定義的探索是在學(xué)生已有的圓錐曲線第一定義的知識基礎(chǔ)上進(jìn)行的教學(xué)，通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生的參與探索，使他們零距離的感受到圓錐曲線統(tǒng)一定義的形成不是“無本之木，無源之水”，而是在已有知識的基礎(chǔ)上自然形成的，這樣的教學(xué)能促使學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.