用線性插值公式證明一類高考題

☉江蘇省啟東市匯龍中學 朱健忠

題目：1.（2009年湖北文）過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點F的直線與拋物線相交于M，N兩點，自M，N向準線l作垂線，垂足分別為M1，N1.記△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面積分別為S1、S2、S3，試判斷4S1S3是否成立，并證明你的結論.

2.（2009年湖北理）過拋物線y2=2px（p＞0）的對稱軸上一點A（a，0）（a＞0）的直線與拋物線相交于M，N兩點，自M，N向準線l：x=-a作垂線，垂足分別為M1，N1.記△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面積分別為S1、S2、S3，是否存在實數λ，使得對任意的a＞0，都有S22=λS1S3成立.若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.

為了節省篇幅，直接將上面兩題一般化或類比到橢圓與雙曲線，有下面兩個結論：

上面兩個性質都是圓錐曲線共有的性質，性質1突出過焦點作直線，而性質2將條件進一步放寬.證明它們的方法比較多，可以用解析法，也可以用平面幾何法.筆者仔細研究后，覺得性質1用線性插值公式證明顯得十分簡單.而性質2只需適當轉化，可迅速轉化為性質1的證明方法.

證明：如圖1，連接AC交EF于G，由AD∥EF∥BC得：

說明：（1）當E，F在AB，DC延長線上時，m∶n為有向線段AE，EB的數量比，才能使公式成立；

圖2

下面給出性質1的證明.

證明：如圖3，若圓錐曲線C為拋物線、橢圓或雙曲線且M、N在同一支上時：

設過焦點F的直線交圓錐曲線于M、N，自M、N向相應準線作垂線，垂足分別為M1、N1，FM=m，FN=n，∠FMM1=θ，則

圖3

若過F的直線交雙曲線的兩支于兩點，可類似證明：

圖4

而對于性質2的證明，受其形式聯想，可考慮找到一個伸壓矩陣變換，若能使點A與直線l在此矩陣作用下，所得的點與直線恰好為變換后橢圓的焦點與準線，那么可直接轉化為性質1的證明方法.探索后發現事實確實如此.下面以橢圓為例加以闡述性質2的證明.

若橢圓①的焦點恰為A′，則m2a2-b2=m2q2，

此時橢圓①的準線方程恰為：

由于在解決圓錐曲線上點到焦點的距離常轉化到相應準線的距離，因此過焦點的弦被焦點分成的兩條線段長度轉化為到相應準線距離時，需要作準線的垂線，恰好與x軸構成三條平行線，如果合理運用線性插值公式，能達到事半功倍的效果.

1.代銀．一道高考題的探究［J］．中學數學雜志，2010（11）．

2.徐道．一道高考題引起的聯想［J］．數學教學，2010（11）．