對共頂點橢圓（圓）與雙曲線的辯證認知

☉江蘇省海門市包場高級中學 錢 斌

解析幾何中有一些問題是比較獨特的，比如圓系知識必需是在兩圓有交點的前提下才能運用，否則圓系是沒有意義的；共頂點的橢圓、雙曲線和拋物線恰好存在著實虛根之間的巧妙轉化，筆者對這些虛虛實實、實實虛虛的問題做過一些探究，現將此整理成文請讀者一起來化虛為實，探索虛根的含義．

一、圓與雙曲線的辯證認識——兩圓無交點時的圓系

例1（人教A版數學必修2習題A組第10題）求經過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓方程.

變式： 求經過兩圓C1：x2+y2=1，C2：（x-4）2+y2=1的交點，并過（0，0）點的圓方程.（注意：此兩圓是無交點的）

誤解：設所求圓方程為：

圖1

總結：經過筆者驗證，發現兩圓內含時，也存在上述現象.通過上述分析，當兩圓無交點時（相離、內含），此時圓系方程不能表示實體圓存在，但此時共頂點雙曲線系方程必過此（虛）交點，從復數范圍來說，代數方法將虛和實統一在二元二次方程中了！筆者將上述現象稱為虛圓系.因此，筆者總結了下列定理（虛圓系定理）：

二、橢圓與雙曲線的辯證認識——對一個離心率問題的探索

解析：這是非常普通的一道離心率定值問題，但其背后隱藏著對圓錐曲線辯證統一的認知.先看兩個解法：

圖2

分析：很明顯，解法2是錯誤的！因為x1x2=-a2可知兩根異號，但實際圖中兩根均為正根，所以解法2是錯誤的.對于這類問題，很多教師都是用幾何法處理的，但有些學生選擇的是代數法，教師該如何闡釋緣由呢？為了解釋清晰，筆者先引入一個定義和引理.

引理：實系數方程ax2+bx+c=0與ax2-bx+c=0的根互為相反數.

證明：（1）a=0時，引理顯然成立；

圖3

（1）雙曲線與拋物線的交點.

（2）橢圓與拋物線的交點.

綜合上述（1）和（2），對“共頂點橢圓雙曲線”來說，它們與拋物線y2=2px（p>0）的交點恰好是實根與虛根的互換.

辨析：現在可以解釋為什么例2的解法2是錯誤的：

三、系統高度辯證認知

（1）從學生的角度而言，筆者認為學生的思維往往比較直接，給什么做什么是大部分學生解決數學問題的基調.以本文第2個問題而言，有些學生解決本題的思維傾向于代數方式，采用聯立方程和韋達定理，殊不知二元二次方程中虛根的存在，在問題的背后深深隱藏著學生對“以數解形”完備性認知的缺乏，同時也讓學生深刻理解“以數解形”在這樣問題中的優越性，值得教師教學多加滲透和予以關注.

（2）從教師的角度而言，這樣的問題有利于開拓學生的視野和培養其創新的思維，值得在這樣的探究性問題上多下功夫，平時教學中，筆者覺得“以形輔數”（幾何法，使用相對較多）很輕快、較簡潔、便于教學，但是不足之處在于只能就題論題；而“以數解形”（代數法）往往站在了系統的高度，很完美、較復雜、但散發出問題的本質；傳授知識時，我們應該毫無疑問的多選擇幾何法，但對于自身優秀的學生而言，也要注重“以數解形”對圓錐曲線是一個統一體的本質理解！

（3）筆者想起人教A版中圓錐曲線的章頭圖，何為“圓錐曲線”呢？當然是用一個截面截圓錐而成的！通過特定角度切割圓錐體表面得到圓、橢圓、拋物線、雙曲線這四種曲線.其實用統一的眼光來看，它們本身是一個整體.其差別在于用截面的角度帶來了圓錐曲線離心率的不同，但是e＞1和0≤e＜1之間有著完美的對稱.用統一的代數語言——方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0就是對他們最完美的詮釋！

（4）從思想方法的角度而言，圓錐曲線問題滲透出的主要數學思想方法便是數形結合思想.有時形優于數，有時則恰恰相反，這需要教師通過各種問題對學生進行經驗的積累.

將文中的例1用二次曲線系闡述：過兩圓錐曲線A1x2+B1y2+C1xy+D1x+E1y+F1=0和A2x2+B2y2+C2xy+D2x+E2y+F2=0交點的曲線系方程，設為：A1x2+B1y2+C1xy+D1x+E1y+F1+λ（A2x2+B2y2+C2xy+D2x+E2y+F2）=0，這樣我們就站在系統的高度認識了圓系！其實圓系就是二次曲線系的一種特殊情形.雙曲線系也在其中，文中的虛圓系正是如此！難怪，兩圓無交點，圓系也能求解了！通過文中的兩個問題的探索，多方聯系，渾然一體，虛實結合，妙探虛知！