解題教學(xué)——想說愛你不容易

☉浙江省杭州市余杭高級(jí)中學(xué) 曹鳳山（特級(jí)教師）

筆者曾從學(xué)生“學(xué)”的角度，對(duì)數(shù)學(xué)解題的感受、認(rèn)識(shí)等做過專題調(diào)查，調(diào)查報(bào)告《數(shù)學(xué)解題——想說愛你不容易——關(guān)于高中生數(shù)學(xué)解題的調(diào)查分析》發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2005年第5期，后被中國人大《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》（原《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》）轉(zhuǎn)載、被知網(wǎng)等收錄，被不少同行參考、引用.本文換一個(gè)角度，從教師“教”的角度看，解題教學(xué)——想說愛你不容易.

“中學(xué)數(shù)學(xué)課程的主要目的之一是發(fā)展學(xué)生的解題能力”（波利亞），從現(xiàn)實(shí)需要看，解題教學(xué)的重要性毋須贅言.對(duì)于解題教學(xué)，雖有眾多大家、名師諸多成功的實(shí)踐與經(jīng)典研究，但如何搞好解題教學(xué)仍然沒有公式可循.一千個(gè)讀者就有一千個(gè)哈姆雷特！一千個(gè)數(shù)學(xué)老師就有一千個(gè)解題教學(xué)的模式.

這里簡錄以解題教學(xué)為主的一節(jié)課，通過具體的案例和課堂教學(xué)環(huán)節(jié)，就解題教學(xué)中一些問題談?wù)勛约旱乃伎寂c實(shí)踐，以作引玉之磚.為便于表達(dá)對(duì)解題教學(xué)的一些認(rèn)識(shí)，分成幾個(gè)段落.

例題 （2012年浙江高考理科第17題）設(shè)a∈R，若x>0時(shí)，均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，則a=_____.

一、選好題才有好效果

課堂例題就像磨刀石，只有好的磨刀石才能更快、更好地磨出鋒利的刀刃.本文簡錄的是高三第一輪復(fù)習(xí)接近尾聲的一節(jié)課，筆者以“三個(gè)二次”為核心，選擇了兩道2012年的高考題（浙江省理科第17題、北京理科第14題），其中第一題學(xué)生充分參與，老師詳盡分析，第二題做課上反饋演練.不同教學(xué)階段有不同的選題考慮，這里主要考慮了以下幾個(gè)方面：

1.體現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，重心在思維.不在細(xì)枝末節(jié)上做文章，解題過程中突出知識(shí)的系統(tǒng)性、網(wǎng)絡(luò)化、組織良好，突出提升思維能力的主題.

2.具有一定挑戰(zhàn)性.試題新穎，兩題都沒有套路，解題過程蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，而思想方法是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是高三復(fù)習(xí)過程中提升學(xué)生思維能力的必選項(xiàng)、著力點(diǎn).

3.適合的就是最好的.適合學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，適合學(xué)生的解題基礎(chǔ)，適合學(xué)生的解題需要，題不在難，有意則靈.

4.以質(zhì)取勝，體現(xiàn)通性通法.題不在多，有法則行，不追求一節(jié)課做題的數(shù)量，以高質(zhì)量的試題實(shí)現(xiàn)“一題多解”、“多題一解”.法不在巧，變化則靈，凸顯通性通法的重要作用，體現(xiàn)思維的高度參與.

5.完整體現(xiàn)解題的全過程，有效檢驗(yàn)、提升學(xué)生的解題技能.學(xué)生學(xué)有所思、所悟，解透一題通解一類，對(duì)解題有更深的理解，對(duì)解題程序有更熟練的操作，特別是強(qiáng)化學(xué)生比較薄弱的方面，如審題、目標(biāo)意識(shí)以及反思能力.

二、練熟解題程序，體驗(yàn)解題成功與失敗歷程

解題教學(xué)一定要有學(xué)生充分參與的過程，思路的產(chǎn)生不能玩“魔術(shù)”，要讓學(xué)生體驗(yàn).課堂生成與預(yù)設(shè)要相輔相成，要結(jié)合具體情境，通過適時(shí)的有針對(duì)性的啟發(fā)、引導(dǎo)，適度的歸納、概括，幫助學(xué)生體驗(yàn)“審題——制訂計(jì)劃——實(shí)施——反思”的過程；落實(shí)學(xué)生先行，教師斷后的教學(xué)模式，引導(dǎo)、調(diào)動(dòng)學(xué)生的“正能量”參與解題，充分暴露、展示不同層次的思維模式、不同的思維過程，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題的關(guān)鍵點(diǎn)、基本的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用等做必要的歸納、反思，讓學(xué)生體驗(yàn)審題對(duì)思路的決定作用，反思對(duì)模式積累的催化作用，注重由特殊案例提升到解題經(jīng)驗(yàn)，改變解題教學(xué)“掐頭、去尾、燒中段”的做法，改良為“虎頭、豹尾、將軍肚”的解題教學(xué)模式.

三、滲透共性的引導(dǎo)，啟發(fā)問題個(gè)性、解法的形成發(fā)現(xiàn)

出示題目，學(xué)生自己讀題（不干擾學(xué)生自己讀題，不幫助學(xué)生讀題.本題題干相對(duì)短小，學(xué)生用時(shí)不多）.適時(shí)給出提示語，給學(xué)生做出反應(yīng)、思考的時(shí)間.

師：這是什么問題？求什么？你能猜測(cè)到結(jié)果是什么形式嗎？（目的：引導(dǎo)學(xué)生確定問題范疇，調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)，強(qiáng)調(diào)目標(biāo)意識(shí)、問題意識(shí)，進(jìn)入問題情境）

生眾：三次不等式，也有學(xué)生說“三個(gè)二次”，求參數(shù)；結(jié)果應(yīng)該是一個(gè)（或者兩個(gè)）常數(shù).

師：用你的語言如何具體表述這個(gè)問題？你能聯(lián)想到什么？有現(xiàn)成的方法嗎？（目的：不僅強(qiáng)調(diào)審題的重要性，還要給出審題可以操作的方法.心理學(xué)研究表明，問題的表述對(duì)怎樣解決問題有極大的影響.對(duì)審題跟進(jìn)提醒，引導(dǎo)學(xué)生從文字、符號(hào)、圖形等多角度審題，通過觀察、對(duì)比、分析、判斷，聯(lián)想、調(diào)動(dòng)所學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生深入理解問題情境，對(duì)解題過程做出合理的預(yù)測(cè)，初步醞釀、設(shè)計(jì)從已知到目標(biāo)的可能途徑，誘導(dǎo)好“念頭”的出現(xiàn)）

學(xué)生自己獨(dú)立思考、探究，動(dòng)手解題.巡視發(fā)現(xiàn)，因?yàn)槭巧弦荒甑母呖荚囶}，有學(xué)生已經(jīng)知道答案，但是，詳細(xì)的解題方法、策略，深層次的思考還沒有，解題方法不完整，還有部分學(xué)生找不到思路.

生1：我是根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則，降次，轉(zhuǎn)化為一個(gè)一次、一個(gè)二次不等式，分以下兩種情況：

師：生1同學(xué)注意到了關(guān)系式的符號(hào)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，把高次化低次、不等式轉(zhuǎn)化成不等式組，再通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求最值的問題，思路很流暢，可是解不出，問題出在哪兒呢？（審題表面化，考慮了問題的轉(zhuǎn)化，模仿套路的痕跡比較明顯，但是，對(duì)題目理解上出現(xiàn)偏差）

回到原點(diǎn)，再次讀題，同學(xué)們對(duì)條件的形式、含義和生1同學(xué)的理解一致嗎？（目的：引導(dǎo)學(xué)生再次審題，從條件的形式、代數(shù)意義、幾何意義等方面讀題，養(yǎng)成“慢審、快做”的習(xí)慣，優(yōu)秀的解題者一半時(shí)間審題，一半時(shí)間做題，但有些學(xué)生可能“下筆千言，離題萬里”.以上提示語問法不同、角度各異，但基本上都指向?qū)忣}、啟發(fā)解題思路）

生2：生1的理解不對(duì).x＞0時(shí)均有［（a-1）x-1］（x2-ax-1）≥0，意思不一定是x＞0時(shí)兩個(gè)因式的值一直是正數(shù)或者是負(fù)數(shù)，只要兩個(gè)因式同號(hào).下面求解還沒有寫好.

師：對(duì)關(guān)系式的理解不一樣，哪個(gè)是正確的？

全體：后一個(gè)！

師：對(duì)，后一個(gè)，注意關(guān)鍵詞，若x＞0時(shí)均有……，讀對(duì)題是解對(duì)題的必要條件！解給出的問題而不是你認(rèn)為的問題！不然肯定是“出師未捷身先死”啊！審題，就要讓試題自己講出“真實(shí)的情況”，繼續(xù)！

生3：我沒有看成兩個(gè)因式乘積，我理解的是函數(shù)值符號(hào)問題，就是兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）的每一點(diǎn)上函數(shù)值符號(hào)一致，這樣必須有相同的零點(diǎn).

師：打斷一下，怎么出現(xiàn)的函數(shù)？不是不等式問題嗎？（讓思維過程看得見，充分暴露思維過程是學(xué)生學(xué)會(huì)思維，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維的必然途徑，特別是在一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)上）

生2：因?yàn)椤驗(yàn)椤總€(gè)不等式都對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)，不是可以轉(zhuǎn)化嗎？

師：很好，從不同的角度去推敲！不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，繼續(xù)！

師：好！分解問題、數(shù)形結(jié)合是重要的解題思想，從不同角度理解條件是審題的重要形式、解題的突破口之一，也是找到“好念頭”的捷徑.

答案出來了，有學(xué)生表示還可以優(yōu)化.

圖1

教室內(nèi)一片贊賞之聲！

師：很好！問題的求解要像生2同學(xué)一樣力求完善、直觀，函數(shù)、方程、不等式聯(lián)動(dòng)，同時(shí)充分發(fā)揮了圖形的優(yōu)勢(shì)，數(shù)形結(jié)合，分類討論，讓我們看到了數(shù)學(xué)思想方法的威力！

圖2

師：很好，改變條件的形式，換個(gè)角度理解問題，避開了分類討論.

圖3

生5：老師，還可以再更簡潔，只要再深入挖掘“個(gè)性”！

同學(xué)們的興趣再次被激發(fā)，怎么再挖掘“個(gè)性”呢？

教室內(nèi)一片掌聲！

不過，有學(xué)生提出，保證f（1）≥0，f（2）≥0就能保證x＞0時(shí)均有f（x）≥0嗎？邏輯上明顯有缺陷！

師：好，根據(jù)題型特征我們可以選擇“個(gè)性化”的解題方法，思維靈活，體現(xiàn)了特殊性存在于一般性之中的哲學(xué)思想，解客觀題不妨試試特殊值法，當(dāng)然也要注意邏輯的嚴(yán)密性.

不過也有同學(xué)提出為什么恰好取x=2呢？

生6：開始老師不就是讓我們猜測(cè)結(jié)果是什么形式嗎？因?yàn)榻Y(jié)果是求a的值，只有一個(gè)未知數(shù)，只要建立一個(gè)方程就可以了.

師：真有才！充分考慮目標(biāo)的意義，對(duì)解題的方向會(huì)起到很好的啟發(fā)作用，不能僅僅把目標(biāo)當(dāng)成未知數(shù)，它也是已知條件之一，是試題的“個(gè)性”之一.當(dāng)然，為什么只取到2呢，要靠一點(diǎn)運(yùn)氣，不過，我們?cè)囼?yàn)一般會(huì)取比較特殊的數(shù)，比如0，1，2等，再說了，我們是天之驕子一定會(huì)有好運(yùn)氣的，只要想得到，一定做得到！

我們發(fā)現(xiàn)，只要換個(gè)角度問題就可能得到解決，往往就是沒有找到合適的角度.再次讀這道題，a=1時(shí)顯然不成立，它明顯的特征是一個(gè)三次不等式，或者說三次函數(shù)問題，我們?cè)趯W(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)內(nèi)容時(shí)反復(fù)接觸過三次函數(shù)以及它的圖像、性質(zhì)，能不能直接通過三次函數(shù)的視角求解呢？我們猜想三次函數(shù)圖像會(huì)有什么特點(diǎn)？

圖4

四、適時(shí)引導(dǎo)反思、歸納，讓學(xué)生積累個(gè)體成功經(jīng)驗(yàn)

師：相當(dāng)漂亮！對(duì)問題理解的透徹，解起來就得心應(yīng)手！上面已經(jīng)給出了不少好的解法，同學(xué)們也許還有其他想法，時(shí)間關(guān)系，暫告一段落，課下繼續(xù)探討！反思一下我們這道題的求解歷程，從不懂到懂，從不會(huì)到會(huì)，從復(fù)雜到簡單，我們經(jīng)歷了什么？對(duì)我們以后解題有什么借鑒意義？（引導(dǎo)學(xué)生做好解題反思，而不僅僅是找到答案，這也是解題與解題教學(xué)不同之處.解題關(guān)心結(jié)果，而解題教學(xué)關(guān)心解題的全過程，只要反思審題操作性的方法、解題突破口的發(fā)現(xiàn)、解法優(yōu)劣及原因等）

學(xué)生七嘴八舌：審題、從不同角度看條件、改變條件的結(jié)構(gòu)形式、畫個(gè)圖，把待求納入已知考慮、找到它的“個(gè)性”、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等.

師：同學(xué)們的總結(jié)綜合起來就很全面了！我們通過這道題的求解，再次體驗(yàn)到，知識(shí)要熟練、組織良好，無知便無能；審題要全面、深入，注意對(duì)已知條件（包括題型、待求、待證）從不同角度、不同形式的理解，充分把握其“個(gè)性”；改變問題的形式、意義、結(jié)構(gòu)就可能意味著一種解法的出現(xiàn)，要注意捕捉這時(shí)冒出的一些“好念頭”；我們也會(huì)體驗(yàn)到，對(duì)于一些綜合性、非常規(guī)問題，數(shù)學(xué)思想方法的自覺運(yùn)用絕對(duì)功不可沒，如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論等.基礎(chǔ)題靠知識(shí)（扎實(shí)），中檔題靠思想（靈活），高檔題靠能力（素質(zhì)）.同時(shí)，從這道試題也可以看出高考試題的特點(diǎn)，知識(shí)與能力綜合考查，體現(xiàn)了“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”的命題理念，需要我們?cè)诮忸}過程中真切體會(huì).（小結(jié)不一定都要放在下課鈴響之前，要適時(shí)、合理地給出概括，有背景、有案例，學(xué)生更容易理解，更容易納入自己的經(jīng)驗(yàn)范疇）

五、強(qiáng)化變式練習(xí)，鞏固成果

下面再給出一道題，再一次體驗(yàn)如何成功解題！

練習(xí) （2012年北京高考理科第14題）已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2x-2，若同時(shí)滿足條件：①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②?x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0，則m的取值范圍是______.

選題的思考：本題和例題有異曲同工之妙，對(duì)學(xué)生熟練兩個(gè)基本函數(shù)性質(zhì)，熟練基本思想方法的運(yùn)用，鞏固上面例題中的一些思路、形成解題經(jīng)驗(yàn)大有裨益.

學(xué)生經(jīng)過思考，速度明顯比例題加快.

生8：目標(biāo)求m的取值范圍，就是拋物線f（x）=m（x-2m）（x+m+3）開口方向與對(duì)應(yīng)的根滿足的條件（m=0明顯不成立），“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”，等價(jià)于，對(duì)于任意的x，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)至少有一個(gè)在x軸下方，在（-∞，-4）上，有圖像在x軸上方，有圖像在x軸下方.

圖5

師：太給力了！由于時(shí)間關(guān)系，對(duì)其他解法課下再繼續(xù)探索.

通過這兩道高考題，相信每個(gè)同學(xué)對(duì)解題都有自己的感悟，也會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在哪些方面還需要加強(qiáng)，希望同學(xué)們?cè)偻ㄟ^以下三道課下練習(xí)題認(rèn)真反思、總結(jié).

選擇課下練習(xí)題的思考：解題是學(xué)會(huì)的，不是教會(huì)的，必須在游泳中學(xué)會(huì)游泳，特別是突出思維，體現(xiàn)思想方法運(yùn)用的問題，學(xué)生必須有自己的體驗(yàn)，感悟，有操作程序，能設(shè)計(jì)已知到目標(biāo)的合理途徑，面對(duì)高考“活而不難，巧而不怪”的特點(diǎn)，必須在合適的情境下選擇高質(zhì)量、符合學(xué)生實(shí)際的問題.選題知識(shí)上有一定綜合性，試題題目不追求絕對(duì)難度，主要是知識(shí)的綜合應(yīng)用、靈活應(yīng)用；體現(xiàn)基本數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，這是學(xué)生解題的一塊“短板”，當(dāng)知識(shí)的積累達(dá)到一定程度，學(xué)生解題能力提高的加速劑就是思想方法，它是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，特別是重要的數(shù)學(xué)思想如轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論等，數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用到復(fù)習(xí)階段必須給學(xué)生明確揭示，讓學(xué)生在運(yùn)用中體驗(yàn)、感悟.

1.（2012年北京高考文第14題）已知f（x）=m（x-2m）·（x+m+3），g（x）=2x-2.若?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，則m的取值范圍是_________.

2.（2008年江西高考理科第12題改編）已知函數(shù)f（x）=2mx2-2（4-m）x+1，g（x）=mx，若對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，f（x）與g（x）至少有一個(gè)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______.

3.（2011年江蘇高考第19題）已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù).若f′（x）g′（x）≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間I上單調(diào)性一致.

（1）設(shè)a＞0，若f（x）和g（x）在區(qū)間［-1，+∞）上的單調(diào)性一致，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

1.［美］波利亞，著.怎樣解題［M］.閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.

2.羅增儒，著.中學(xué)數(shù)學(xué)解題的理論與實(shí)踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2012.

3.［英］S.Ian Robertson，著.問題解決心理學(xué)［M］.張奇，等，譯.北京：中國輕工業(yè)出版社，2004.