一道課本探究題的推廣與應用

☉江蘇省鎮江中學 蔣景景

蘇教版必修4第23頁拓展·探究22題：“若α為銳角（單位為弧度），試利用單位圓及三角函數線，比較α，sinα，tanα之間的大小關系.”該題結構美觀、證法巧妙、內涵豐富、應用廣泛.現擷取其中的一部分，供大家參考.

一、推廣

1.結論

Ⅰ.當k∈［1，+∞）時，sinx≤kx；

2.圖示

上述結論可以從圖1中得到直觀的解釋.

3.證明

圖1

當k≥0時，令h（x）=kx-sinx，則h′（x）=k-cosx.

綜上可知結論成立.

二、應用

例1（2008年普通高等學校招生全國統一考試全國卷（理科）第22題）

（1）求f（x）的單調區間；

（2）如果對任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍.

解：（1）從略.

故a≤0不成立.

令g（x）=ax-f（x），則

又g（0）=0，所以當x≥0時，g（x）≥g（0）=0.

即（fx）≤ax.

（2）本題的基點之一即是對sinx≥kx的條件探求，如果對結論Ⅱ、Ⅲ有一定的了解，則無形中提高了學生的思維起點.

例2（2012年南通市、泰州市、揚州市高三第一次調研考試第19題）

已知函數f（x）=x+sinx.

（1）設P，Q是函數f（x）圖像上相異的兩點，證明：直線PQ的斜率大于0；

解：（1）從略.

（2）①當a≤0時，f（x）=x+sinx≥0≥axcosx恒成立.

②當a＞0時，令g（x）=f（x）-axcosx=x+sinx-axcosx，

g′（x）=1+cosx-a（cosx-xsinx）=1+（1-a）cosx+axsinx.

（ⅰ）當1-a≥-1，即0＜a≤2時，g′（x）=1+（1-a）cosx+axsinx＞0，

g（x）≥g（0）=0+sin 0-a×0×cos0=0，符合題意.

（ⅱ）當a＞2時，由結論Ⅰ知當x∈時，sinx≤x，

故g（x）=x+sinx-axcosx≤2x-axcosx=x（2-acosx），

存在x0∈，使得2-acosx＜0，即存在x0∈，使得x+sinx≤axcosx.

綜上所述，實數a的取值范圍為a≤2.

例3（2012年普通高等學校招生全國統一考試全國卷（理科）第20題）

設函數f（x）=ax+cosx，x∈［0，π］.

（1）討論f（x）的單調性；

（2）設f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍.

解：（1）從略.

（2）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，即aπ-1≤1，

所以f（x）≤1+sinx.

評注：（1）由特殊到一般，采用“逐步逼近”的方式大致定出a的取值范圍；