評五年命題 談教學啟示——江蘇近五年高考解析幾何命題的分析與啟示

☉江蘇省常熟市教育局教學研究室 江蘇省常熟市殷偉康特級教師工作室 陳志江

江蘇省從2005年全面實施高中新課程，2008年進行第一次新課程下的高考至今已五次．新課程下無論是教學方法還是教學內容，和以往相比都有較大的變化，尤其是平面解析幾何部分．由于該部分有關知識一直是高考的重點和熱點，對學生來說這部分內容一直是難點，對老師來說又往往感到這部分內容的教學效果總不如人意，教學中存在很多疑惑點，因此本文想通過對江蘇近五年高考解析幾何命題的分析來談一些對這塊內容的教學思考，以供大家參考，希望能讓大家對這部分內容的高考復習有所收獲．

一、試題概況

下表是江蘇近五年高考解析幾何命題的簡要情況，包括題號、題型、考查知識及能力、分值．

年份 題號及考查知識、能力 分數2008第9題（填空題）主要考查直線方程，解方程組求兩直線交點等基本知識，考查數形結合解決問題和運算求解能力．第12題（填空題）主要考查橢圓的基本性質，圓及其切線等基本知識，考查運用數形結合解決問題和運算求解能力．第18題（解答題）主要考查二次函數圖像與性質，圓方程的求法，動圓過定點問題等基本知識，運算求解能力．26分2009第13題（填空題）主要考查橢圓的基本性質（如頂點、焦點、離心率等），直線方程等基礎知識，運算求解能力．第18題（解答題）主要考查直線與圓的方程，點到直線的距離公式，數學運算求解能力、綜合分析問題的能力．第22題（附加題）主要考查直線、拋物線及兩點間的距離公式等基本知識，考查運算求解能力．21+10分26分2010第6題（填空題）主要考查雙曲線的方程和簡單性質、兩點間距離公式等基礎知識，考查運算求解能力．第9題（填空題）主要考查直線與圓的位置關系、點到直線距離公式等基礎知識，運用數形結合解決問題的能力．第18題（解答題）主要考查求簡單曲線的方程，考查直線與橢圓的方程等基礎知識，運算求解能力和探究問題的能力．

2011第14題（填空題）主要考查集合的表示與運算、圓環、二元一次不等式（組）表示平面區域等基礎知識，靈活運用數形結合、等價轉化的思想方法分析解決問題的綜合能力．第18題（解答題）主要考查橢圓的標準方程及幾何性質、直線方程、直線的垂直關系、點到直線的距離等基礎知識，運算求解能力和推理論證能力．21分2012第8題（填空題）主要考查雙曲線的方程及離心率等基礎知識，考查運算求解能力．第12題（填空題）主要考查直線與圓的位置關系、點到直線距離公式等基礎知識，運用數形結合解決問題的能力．第19題（解答題）主要考查橢圓方程的求解，直線與橢圓位置關系，兩點間距離公式等基本知識，運算求解能力和運用數形結合、等價轉化的思想方法分析解決問題的綜合能力．26分

二、試題分析

1.試題命制遵循《考試說明》，突出重點內容的考查

從上表各題考查的知識來看，大部分題目是圍繞直線、圓、橢圓來命制的，就解答題來說，2008、2009兩年考查的是圓為載體的問題，2010、2011、2012三年考查的是橢圓為載體的問題．對照江蘇高考《考試說明》解析幾何部分所示的2個C級考點、6個B級考點和3個A級考點，我們可以看出五年的試題命制是完全遵循《考試說明》的．對要求理解和掌握的內容作為重點考查的內容（如圓與橢圓），每年都考，且有一定的難度，可能以難題形式出現（例如2011年14題、2012年19題）；對要求了解的內容也要考查，不過考查次數少，難度較小，往往以容易題形式出現（例如2010年第6題、2012年第8題）．

2.試題命制體現解析幾何的本質，突出了對學生能力的考查

解析幾何的本質是用代數方法去解決幾何問題，即通過建立坐標系將幾何問題歸結為代數問題，然后通過對代數問題的研究去得到幾何結果．從表中可以看出，五年的試題很好地體現了這一點，例如2009年的第18題就淋漓盡致地體現了用代數的方法解決幾何問題的本質．

《數學課程標準》指出：高中數學課程應注重提高學生的數學思維能力，這是數學教育的基本目標之一．其中直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號辨識、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程，是數學思維能力的具體體現．不言而喻，從表中可以看出這些題目承載著對學生的運算求解、歸納類比、演繹證明等能力的考查．

3.試題的區分作用很好，對學生的考試成敗影響很大

從表中分數欄看，2009、2011兩年為21分，其余三年為26分，五年平均為24分，占試卷總分約為15%．解析幾何題目的難度總體應屬中上等，特別簡單的很少，從考試來看這些題目無疑有很好的區分度．以2010年為例，三個題目的全省平均得分和難度系數如下表：

題號 第6題 第9題 第18題平均得分 4.06 2.25 6.67難度系數 0.81 0.45 0.42

應該說學生是否能做好這些題目，盡量多的拿到這15%的分數對他們的考試成敗起著至關重要的作用．

三、教學啟示

1.解析幾何教學要遵循《教學要求》

江蘇普通高中《課程標準教學要求》指出：理解直線的斜率和傾斜角的概念，理解直線的斜率和傾斜角之間的關系，掌握直線方程的幾種形式的特點與適用范圍……；掌握圓的標準方程與一般方程，能根據問題的條件選擇恰當的形式求圓的方程……；掌握橢圓的定義和幾何圖形，掌握橢圓的標準方程，會求橢圓的標準方程；掌握橢圓的簡單幾何性質……

結合《考試說明》和五年的高考題可以看出，三者是非常吻合的，直線與圓是教學也是考查的重點內容，圓錐曲線部分橢圓是教學和考查的重點，雙曲線和拋物線要求較低．所以在教學中，我們一定要明確這些內容，要按《教學要求》進行教學，要把新課程的理念真正落實到位．

2.新課程下不能穿新鞋走老路，要讓學生真正減負

新課程下我們不能穿著新鞋走老路，要深入研究，給學生真正減負．例如隨著韋達定理的淡出，很多利用韋達定理求解的直線與圓錐曲線問題也應隨之退出舞臺，再加上雙曲線和拋物線教學要求的降低，那些不用韋達定理解決的直線與橢圓問題就是我們需要重點研究的問題了，因此這其實減輕了學生的學習負擔，所以教學中老師要把握好方向．再如軌跡問題，由于“曲線與方程”內容僅是理科學生的選學內容，所以在文理科學生同卷的數學Ⅰ試卷部分出現考查軌跡問題可能性不大，而作為理科考生考的數學Ⅱ試卷附加題部分出現軌跡問題還是很有可能的，不過由于對該內容的教學要求是：“了解求曲線方程的一般步驟，能求一些簡單曲線的方程”，所以即使考，難度應該也不會太大．因此我們老師在教學中要合理選擇有關題目，大膽舍棄那些難度很大的軌跡問題，讓我們的學生少做甚至不做無用功．

3.教學中要重點培養學生的數形轉化能力和運算能力

解析幾何題的解題過程大致可以歸結為：幾何條件——代數式子——運算求解——得出結論——還原幾何結論．在這個過程中，幾何不應該是考查的重點，它只是這個過程的開頭和結尾，重點應該是如何將幾何條件轉化為代數式子和對代數式子進行運算求解，這當然也是難點．

（1）注重數形結合培養學生的轉化能力

“數”和“形”是數學中的兩個基本概念，它們是對立又統一的．數學大師華羅庚說過：“數無形少直觀，形無數難入微．”而解析幾何題是考查數形結合思想方法的最好載體之一．

教學中我們首先要讓學生儲備好平面幾何的一些基本知識．例如與三角形相關的有三角形的三線，三角形面積的求法，三角形四心（外心、內心、重心、垂心）的性質；與圓相關的垂徑定理，切線長定理，圓的切線與弦，圓心角與圓周角等；與曲線位置關系相關的有兩直線的垂直與平行，直線與圓（橢圓）的相交、相切、相離，圓與圓的相交、相切、相離等．其次，要在數與形的相互轉化這點上進行專項訓練．例如2010年的第18題第三小問“設t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）”和2011年的第18題第三小問“對任意k>0，求證：PA⊥PB”，都要求先確定一個可以得到幾何結論的數學式子，然后再看由條件如何來求得這個數學式子．由此看出，能否將幾何條件（結論）與代數式子進行正確的相互轉化是解決解析幾何題的一大關鍵點．因此我們老師在平時的教學中要有意識地讓學生體會轉化過程，培養學生的轉化意識，最終提高學生的轉化能力．

（2）注重代數方法培養學生的運算能力

有效的轉化是解題的前提，但是能否解出題目，還在于學生的運算求解能力．從近五年高考解答題的具體求解來看，并沒有可用幾何法直接簡單獲證的題目，所以教學中我們要注重代數方法培養學生的運算能力，這是解答解析幾何題的另一大關鍵．筆者認為教學中要注意以下三點：第一要注意方程思想的應用．解析幾何題目往往條件較多，需要引入多個變量，得到多個方程，因此用方程（組）解決解析幾何題是不變的主題．由于涉及多個變量，所以學生往往感覺難以下手，教學中教師要重點分析如何處理方程（組），消元、整體代換、確定變量的主次轉化為恒成立問題等都是常用的處理方法，教學中應結合題目讓學生切身體會這些方法的應用；第二要注意培養學生耐心細致的運算習慣．由于韋達定理已不作要求，所以江蘇省高考解析幾何題的解題過程發生了變化，從“設而不求”轉變成“設而求之”，這樣就對學生的運算能力提出了更高的要求．例如2012年第19題第二問，解題思路很清楚，目標很明確，就是解出直線和橢圓的交點坐標，再利用兩點間距離公式求出線段長度，但運算量較大，學生往往難以一算到底．第三，要注意解題后的反思和總結．孔子曰：“學而不思則罔．”我們的功夫不能僅僅花在解題上，更要用在反思和總結上，只有這樣，我們才能實現新舊知識的同化和遷移，建構知識網絡，深化對知識的理解，才能積累解題經驗，優化解題方法，防止錯誤再犯，提高解題能力．

1.中華人民共和國教育部制訂．普通高中數學課程標準（實驗）［S］．北京：人民教育出版社，2003.

2.江蘇省教育考試院．2012年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）說明［M］．南京：江蘇教育出版社，2011.

3.江蘇省中小學教學研究室．普通高中課程標準教學要求［M］．南京：江蘇教育出版社，2006.