立足幾何模型 放飛空間想象——感悟2013年湖北省高考理科數學第19題

☉湖北省武漢市黃陂區第一中學 翁華木

一道好的高考試題，往往呈現出形式獨特、內涵深刻、給人啟迪的經典，凝聚了命題者的智慧.剛剛落下帷幕的2013年湖北省高考理科數學第19題就是這樣的一道好題，命題風格上保持適度創新，規避題型套路，既有探究結論關系的判斷，又有揭示數學本質的推理，吸引著解答者探究與思考.下面給出筆者對本道高考試題探究的親歷過程，與大家交流.

一、題目展現

如圖1，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC⊥平面ABC，E，F分別是PA，PC的中點.

（Ⅰ）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明.

圖1

初讀試題，創新的命題風格撲面而來：沒有了常見的棱柱體，也不是熟知的三棱錐.命題圖形的設計，給出的是一個組合體，其中下底面是一個圓形，圓形的上面是一個內涵豐富的三棱錐.問題求解的設計，一是判斷線面關系并加以證明，需要解答者結合圖形進行探究，增加了思維的難度；二是求證三角函數等式成立，即體現了立體幾何和三角函數知識的交匯，而頗具創意地將空間的三類角（即異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的平面角）融合在同一道題目之中，增添了解題的智慧.

二、解題探究

讀著題目的條件，盯著給出的圖形，想著解題的方向，兩個思維的疑點很快在腦海里浮現，揮之不去，成為突破問題解答的焦點.

1．涉及兩個平面相交的公共直線在哪里

本題第（Ⅰ）問是判斷直線l與平面PAC的位置關系，而直線l是平面BEF與平面ABC的交線，由命題者給出的幾何圖形我們看到，平面BEF與平面ABC只有一個交點B.解題者的第一個感覺是：平面BEF與平面ABC的交線l在哪里？

（1）回歸課本——尋源

展開思維聯想，搜索知識儲備，人教社教材《數學2·必修》（A版）第二章“點、直線、平面之間的位置關系”中的公理3立刻跳躍出來：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

根據公理3，我們找到了平面BEF與平面ABC的交線l，它是定位在過兩個平面的公共點B的一條公共直線.

（2）嘗試解答——判斷

面對幾何圖形，提取有效信息，由題設條件E，F分別是PA，PC的中點，可知EF是△PAC的中位線，在已有的解題經驗中，中位線知識給出的是平行信息.經過嘗試和推理，不難發現問題的結論：直線l∥平面PAC.

下面的解題思路就是利用空間的線面平行關系，推證這個結論的成立.

解析：（Ⅰ）直線l∥平面PAC，證明如下：

如圖2，連接EF，BE，BF.

因為E，F分別是PA，PC的中點，所以EF∥AC.

又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC.

而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l.

圖2

因為l?平面PAC，EF?平面PAC，所以直線l∥平面PAC.

2．關聯三角函數等式的幾何模型在哪里

本題第（Ⅱ）問是證明涉及三個空間角的三角函數等式sinθ=sinαsinβ成立，其中θ是直線PQ與平面ABC所成的角，α是異面直線PQ與EF所成的角，β是二面角E-l-C的平面角.解題者的第二個感覺是：三角函數等式涉及空間的三個角，那么關聯這三個角的空間幾何模型在哪里？

（1）定格幾何模型

立體幾何中關于空間角的三角函數等式的證明，常見的解題方法是在一個空間幾何模型中，每一個空間角都有一個對應的直角三角形（或任意三角形），通過三角形中三角函數關系式的對應邊之間的分拆與轉換，可以找到它們之間的恒等關系.例如下面的空間幾何圖形和結論是典型的：

如圖3，已知PA，PB分別是平面M的垂線和斜線，在平面M內，過斜足B引一條直線BC，且作AC⊥BC于點C，連接PC，設∠PCA=θ，∠PBA=α，∠PBC=β，∠ABC=γ，則有

圖3

不難發現，在這個幾何模型中，四面體P-ABC是一個特殊的幾何體，構成它的四個面都是直角三角形，有利于空間角對應的三角函數關系式的建立和線段間的轉換.

回到考題給出的圖形，結合對應的空間三個角，不難發現涉及三個空間角關聯的空間幾何體模型就是三棱錐F-BCD，它也是一個特殊的四面體，構成它的四個面同樣都是直角三角形.

（2）定位空間角度

找到了問題求解的空間幾何體模型之后，接下來的任務就是把題設條件給出的三個空間角定位在對應的空間幾何模型之中.這個解題的過程中必須做到兩點：一是準確作出對應的空間角，二是證明所作出的空間角符合題設條件的要求.

下面的解題過程就是作出對應的空間角，證明三角函數等式的成立.

解析：（Ⅱ）如圖4，連接BD，由（Ⅰ）可知交線l即為直線BD，且l∥AC.

因為AB是⊙O的直徑，所以AC⊥BC，于是l⊥BC.

已知PC⊥平面ABC，而l?平面ABC，所以PC⊥l.

圖4

而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC.

連接BE，BF，因為BF?平面PBC，所以l⊥BF，

故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角，即∠CBF=β.

連接PQ，DF，因為F是CP的中點，CP=2PF，所以DQ=PF.

從而四邊形DQPF是平行四邊形，PQ∥FD.

連接CD，因為PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC內的射影.

故∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角，即∠CDF=θ.

又BD⊥平面PBC，由BD⊥BF，知∠BDF為銳角，故∠BDF就是異面直線PQ與EF所成的角，即∠BDF=α.

于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分別可得

本題第（Ⅱ）問還可以用向量法給出證明，本文從略.

如果將上面（*）式的形式改寫成sinα=sinβsinθ，并將其中的空間角與高考題中的空間角作一個對應，可以發現它與高考題所要證明的三角函數等式其實是同一個結論.再回到圖形上，對比兩個空間幾何體，發現它們只是從不同的視角畫出的同一個空間幾何模型.至此，我們找到了2013年湖北省高考理科數學第19題的命題之源.

三、教學感悟

賞析2013年湖北省高考理科數學第19題，樸實中透視著鮮明的課改理念，平淡中顯示著明確的課改方向，為立足教學一線的教師，留下更多的回味與思考.

1.追求創新，為有效課堂引入活力

新課程教育理念給我們的課堂教學提出了創新的教學模式.高三的復習備考，傳統的“題海”戰術，“時間”加“汗水”的付出，在應對新課程理念指導下的新高考命題時已經顯出了力不從心的病態.“基礎與能力并重，穩定與創新兼顧，應用與文化并舉”是湖北省兩年來新課程高考數學命題的特色，我們必須從根本上反思教學行為，創新教學方法，真真切切地落實高效課堂，培養學生的創新能力，提升學生的數學素養.

高三數學復習課中，每一節課教師選用的例題不在多，經典就行.通過對經典數學問題背景的探究，力爭做到追根索源，對經典數學問題的解答，不僅強調結果，更要強調過程，揭示其數學問題的本質.正是由于平時教學中有對經典數學問題的探究習慣，才使我們在解題的過程中，挖掘出了2013年湖北省高考理科數學第19題的命題背景.

2.提煉信息，為有效思維指明方向

從信息論的觀點來看，求解數學問題的過程，首先是對源信息的提取，然后是對信息進行變換（處理、決策），最后是對信息的反饋進行處理.面對高考試題，解答者必須首先做到快速地提取有利于問題求解的條件信息、圖形信息，然后鎖定思維，聯想課本上歸納的性質、定理、公式，或相似的典型例題對應的解題思想與方法，這樣才能尋求問題解答的突破口.

在前面探求試題解答的過程中，由條件E，F分別是PA，PC的中點，聯想到了三角形的中位線性質，從而推理出了線面平行的判斷.在這個從信息提取到問題解答的思維過程中，由“中點”聯想到“中位線”，再推理出“線面平行”的判斷，得益于對有效信息的提煉.

3．積累經驗，為有效解題提供保障

新課標明確提出了使學生獲得數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗的目標要求.在高考高度緊張的情況下，如果沒有平時解題經驗的積淀，完全依靠考試時的“隨機應變”設計出解題方法，或者試圖通過觀察思考突發奇想得到特殊的“巧法妙招”，既無法對一個全新的試題解法以及在解答過程中出現的困難做出預測，又無法預知自己設計的方法是否能夠得到正確答案，往往會出現“做到哪里算哪里”的被動局面.因此，歸納解題范式，積累解題經驗是成功解答高考試題的有效做法.