函數(shù)問題尋解 以形助數(shù)逞能——以2013年江蘇卷第20題為例談以形助數(shù)“三好”

☉江蘇省錫山高級中學(xué) 吳寶瑩（特級教師）

☉江蘇省錫山高級中學(xué) 王良駿

數(shù)形結(jié)合是“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的研究策略，即把數(shù)量關(guān)系的研究轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，或者把圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，數(shù)形結(jié)合是重要的數(shù)學(xué)思想，又是常用的數(shù)學(xué)方法.顯然，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可分為兩種情形：第一種情形是借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”；第二種情形是借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”.第二種情形“以數(shù)解形”已經(jīng)形成一門成熟的學(xué)科——解析幾何，這里重點(diǎn)談?wù)劦谝环N情形“以形助數(shù)”的“三好”.

一、作圖好

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，“形”的廣義性以及學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中直覺形象思維的主導(dǎo)地位決定了大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)需要“形”的支撐.如數(shù)學(xué)概念的建立借助“形”的直觀、數(shù)學(xué)性質(zhì)的探索通過“形”的操作、數(shù)學(xué)規(guī)則的形成以“形”做材料、解題思路的獲得用“形”來幫助等.以形助數(shù)，作圖解決問題好處多多，亦即“作圖好”，下面以2013年江蘇高考數(shù)學(xué)卷第20題為例說明.

題目：設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a為實(shí)數(shù).

（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

解：（1）略.

當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0，h′（x）單調(diào)遞增且連續(xù)不斷；當(dāng)x＞e時(shí)，h′（x）＜0，h′（x）單調(diào)遞減且連續(xù)不斷.

圖1

f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，通過作圖解決，形象直觀，簡便可行.而函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，決定了函數(shù)圖像的變化走勢，導(dǎo)數(shù)又是研究函數(shù)單調(diào)性的有力工具，所以本題從導(dǎo)數(shù)入手，借助圖形，解決f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.

二、作好圖

圖2

三、好作圖

以形助數(shù)是借助形的幾何直觀性來研究代數(shù)問題，但是同一個(gè)代數(shù)問題有時(shí)不止用一種形來助數(shù)，好作圖即容易作圖，就是通過轉(zhuǎn)化，選擇容易作的圖形來助數(shù)，以達(dá)到研究代數(shù)問題的目的.

本例題第（2）問江蘇命題組給出的標(biāo)準(zhǔn)答案如下：

解：（2）當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）必為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）=ex-ax＞0，解得a≤ex.即x＞lna，因?yàn)間（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，類似（1）有l(wèi)na≤-1，即0＜a≤e-1.結(jié)合上述兩種情況，有a≤e-1.

（ii）當(dāng)a＜0時(shí)，由于f（ea）=a-aea=a（1-ea）＜0，f（1）=-a＞0，且函數(shù)f（x）在［ea，1］上的圖像不間斷，所以f（x）在（ea，1）上存在零點(diǎn).

當(dāng)0＜x＜a-1時(shí)，f′（x）＞0，

當(dāng)x＞a-1時(shí)，f′（x）＜0，所以，x=a-1是f（x）的最大值點(diǎn)，且最大值為f（a-1）=-lna-1.

①當(dāng)-lna-1=0，即a=e-1時(shí)，f（x）有一個(gè)零點(diǎn)x=e.

②當(dāng)-lna-1＞0，即0＜a＜e-1時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

實(shí)際上，對于0＜a＜e-1，由于f（e-1）=-1-ae-1＜0，f（a-1）＞0，且函數(shù)f（x）在［e-1，a-1］上的圖像不間斷，所以f（x）在（e-1，a-1）上存在零點(diǎn).

下面考慮f（x）在（a-1，+∞）上的情況，先證f（ea-1）=a（a-2-ea-1）＜0.

為此，要證明：當(dāng)x＞e時(shí)，ex＞x2.

設(shè)h（x）=ex-x2，則h′（x）=ex-2x.

再設(shè)l（x）=h′（x）=ex-2x，則l′（x）=ex-2.

當(dāng)x＞1時(shí)，l′（x）=ex-2＞e-2＞0，所以l（x）=h′（x）在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù).故當(dāng)x＞2時(shí)，h′（x）=ex-2x＞h′（2）=e2-4＞0，從而h（x）在（2，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，進(jìn)而當(dāng)x＞e時(shí)，h（x）=ex-x2＞h（e）=ee-e2＞0.即當(dāng)x＞e時(shí)，ex＞x2.

當(dāng)0＜a＜e-1，即a-1＞e時(shí)，f（ea-1）=a-1-aea-1=a（a-2-ea-1）＜0.又f（a-1）＞0，且函數(shù)f（x）在［a-1，ea-1］上的圖像不間斷，所以f（x）在（a-1，ea-1）上存在零點(diǎn).

綜合（i），（ii），（iii），當(dāng)a≤0或a=e-1時(shí)，f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，當(dāng)0＜a＜e-1時(shí)，f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

圖3

總而言之，通過適當(dāng)轉(zhuǎn)化，遵循好作圖的原則，準(zhǔn)確作圖，作好圖，才能凸顯作圖好的優(yōu)勢.但是，“形”雖具有形象直觀的優(yōu)勢，但也有其粗略、煩瑣和不便于表達(dá)的劣勢.只有以簡潔的數(shù)學(xué)描述、形式化的數(shù)學(xué)模型表達(dá)“形”的特性，才能更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象化與形式化的魅力，從而更準(zhǔn)確地把握“形”.正如我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授所說：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非.”數(shù)與形是辯證統(tǒng)一關(guān)系，“以形助數(shù)”與“以數(shù)解形”是數(shù)形結(jié)合的左膀右臂，不可偏駁.