試題探究三種“境界”——2013年高考江西卷第20題縱向、橫向、拓展探究及反思

☉江蘇省西亭高級中學 陸王華

2013年高考江西卷第20題為解析幾何題，它是一道考查了橢圓的方程、直線與橢圓的位置關系、直線的斜率等知識的綜合試題，看似常規，卻彰顯對常規數學思想方法以及通性通法的運用，突出“淡化層次內的區分，強化層次間的區分”的評價理念，考查了學生綜合應用知識及探究問題的能力，值得繼續學習與研究.

一、試題呈現

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

圖1

（Ⅱ）AB是經過右焦點F的任一弦（不經過點P），設直線AB與直線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.

二、試題探究

1.縱向探究

又因為y1x2+y2x1=2kx1x2-kc（x1+x2），y1+y2=k（x1+x2）-2kc，所以

上面的結論中，點F在x軸上，很自然聯想到，若將點F改在y軸上，情況如何？

筆者通過探究得到如下結論：

圖2

證明：由結論1的證明得

2.橫向探究

對于雙曲線和拋物線也有類似結論：

據圓錐曲線的對稱性，改變焦點F及相應準線的位置，上述結論也同樣成立.

于是得到圓錐曲線的一個統一定理：

定理：點P是圓錐曲線E上一點，準線為l，對應的焦點為F，PF⊥x軸，AB是經過焦點F的任一弦（不過P點），設直線AB與準線l相交于點M，記PA，PB，PM的斜率分別為kPA，kPB，kPM，則kPA+kPB=2kPM.

3.拓展探究

類比可得，雙曲線和拋物線也有下面結論：

在平時課堂教學中，我們不僅要得到問題的答案，更要讓學生知道問題的一般規律即數學本質.正確認識必然性與偶然性的辯證關系對于學習和研究數學有重要的指導意義.在新課改理念指引下，就是要培養學生透過大量的偶然性的表面現象去揭示其中蘊涵的一般規律，由現象認識本質，由個別到一般，由經驗上升為理論，這一點在新課改中顯得尤為重要.