透析“點(diǎn)差法”

楊鳳萍

所謂“點(diǎn)差法”是設(shè)圓錐曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入圓錐曲線方程，再作差。這種方法可速解以下三個(gè)重要題型。

題型1：已知弦中點(diǎn)坐標(biāo)，求弦所在的直線方程

例1.設(shè)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)x在軸上，且離心率為的橢圓與直線l交與A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的中點(diǎn)M（1，2）為，求直線l的方程.

解：由橢圓的離心率e=可設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2

設(shè)直線l與橢圓交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）代入橢圓方程得x12+2y12=2b2

x22+2y22=2b2

兩式相減得（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0

∴kAB==，又A，B中點(diǎn)為M（2，1）

∴=2 =1 ∴kAB=-1

∴l(xiāng)的方程為y-1=-（x-2） 即x+y-3=0

題型2：已知弦所在的直線的斜率，求弦中點(diǎn)的軌跡方程

例2.已知傾斜角為的直線交橢圓+y2=1與A，B兩點(diǎn)，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程.

解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）代入橢圓方程得x12+4y12=4

x22+4y22=4

兩式相減得（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0

因直線AB的傾斜角為，∴kAB=1

∴kAB==-=1

設(shè)AB的中點(diǎn)M（x，y），則x=，y=

代入上式得-=1，∴x+4y=0（橢圓內(nèi)部的部分）

題型3：已知弦所在的直線的斜率和弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，求圓錐曲線的方程

例3.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且它的一條弦

所在的直線方程為y=2x+5，弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解：設(shè)弦中點(diǎn)M（-3，y），代入直線方程為y=2x+5得y=2×（-3）+5=-1，即M（-3，-1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=ax，設(shè)直線與拋物線交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）則=2，y1+y2=-2，y12=ax1，y22=ax2.

兩式相減得（y1-y2）（y1+y2）=a（x1-x2），∴a=（y1+y2）=2×（-2）=

-4，y2=-4x.

總評(píng)：“點(diǎn)差法”解決的幾個(gè)題型充分體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的思想，使得復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

（作者單位 河南省信陽市新縣高級(jí)中學(xué)）