透析“點差法”

楊鳳萍

所謂“點差法”是設圓錐曲線上的點的坐標，然后代入圓錐曲線方程，再作差。這種方法可速解以下三個重要題型。

題型1：已知弦中點坐標，求弦所在的直線方程

例1.設中心在原點，焦點x在軸上，且離心率為的橢圓與直線l交與A，B兩點，且A，B兩點的中點M（1，2）為，求直線l的方程.

解：由橢圓的離心率e=可設橢圓方程為x2+2y2=2b2

設直線l與橢圓交點為A（x1，y1），B（x2，y2）代入橢圓方程得x12+2y12=2b2

x22+2y22=2b2

兩式相減得（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0

∴kAB==，又A，B中點為M（2，1）

∴=2 =1 ∴kAB=-1

∴l的方程為y-1=-（x-2） 即x+y-3=0

題型2：已知弦所在的直線的斜率，求弦中點的軌跡方程

例2.已知傾斜角為的直線交橢圓+y2=1與A，B兩點，求線段AB中點M的軌跡方程.

解：設A（x1，y1），B（x2，y2）代入橢圓方程得x12+4y12=4

x22+4y22=4

兩式相減得（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0

因直線AB的傾斜角為，∴kAB=1

∴kAB==-=1

設AB的中點M（x，y），則x=，y=

代入上式得-=1，∴x+4y=0（橢圓內部的部分）

題型3：已知弦所在的直線的斜率和弦中點的坐標，求圓錐曲線的方程

例3.已知拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上且它的一條弦

所在的直線方程為y=2x+5，弦中點的橫坐標為-3，求此拋物線的標準方程.

解：設弦中點M（-3，y），代入直線方程為y=2x+5得y=2×（-3）+5=-1，即M（-3，-1）設拋物線的標準方程為y2=ax，設直線與拋物線交點為A（x1，y1），B（x2，y2）則=2，y1+y2=-2，y12=ax1，y22=ax2.

兩式相減得（y1-y2）（y1+y2）=a（x1-x2），∴a=（y1+y2）=2×（-2）=

-4，y2=-4x.

總評：“點差法”解決的幾個題型充分體現了“設而不求”的思想，使得復雜問題簡單化。

（作者單位 河南省信陽市新縣高級中學）