項目化教學在微積分課程中的運用

李 靜

(貴州商業高等專科學校 計算機科學與技術系，貴州 貴陽 550004)

高等數學作為基本素質與能力的公共必修基礎課程，一直在高職高專院校的各專業課程體系中占據著不可或缺的基礎性地位。高等數學課程的開展不僅是各專業課程教學的基礎也是訓練學生的思維邏輯能力的有效方式。在現今，高職高專強調培養技能型應用人才的教學模式下，如何能更好的發揮高等數學課程在專業課程中的基礎作用，如何讓學生擺脫為了學習數學而學習的填鴨式學習方式，就是一個值得我們去研究和解決的問題。

本文以微積分課程中導數與微分的應用教學為例，詳細描述了這部分教學內容的實施過程。希望通過對一個知識點的學習過程的介紹，能對高等數學課程在高職高專中的開展提出一個有效的教學方式。

一 教學思路的設計

函數極值的教學是在學習了導數與微分的概念和計算以后涉及到的應用方面的介紹。其教學標準是在了解了極值與最值的判斷方法后對其加以應用。常規的數學教學中往往重視計算的過程和定理、法則的推算，雖然在一定程度上對學生的思維邏輯能力訓練起到作用，但因為過程過于枯燥，描述過于抽象，造成學生學習的積極性和主動性不足。容)、建立方程(引導、激發學生對問題的思考和分析)、解決方程(引入具體導數與微分應用中各個不同方面知識的介紹)。具體過程如下(圖2)。

圖2 導數與微分項目化教學過程

圖1 傳統導數與微分應用教學的過程

項目化教學是近年來高職高專學校對專業類課程提出的教學改進方向，其過程是基于實際工作環境和要求的項目化內容介紹。根據工作的不同階段對應實際的需求解決實際的問題，如:《數據庫基礎》課程，在教學初給出學生成績數據庫的實際需求，在教學過程中對數據庫的建立和管理過程圍繞這一要求來實施，學生明確學習的目標，將一個整體項目的不同部分具體實現，這就提高了學習的興趣和學生學習知識并加以應用的教學效果。我個人認為將項目化教學的方法適當的引入微積分教學中，不僅可以將零碎的知識統一，更主要的是讓學生了解學習知識的實際使用方向，加以提高他們對知識學習的主動性。

在介紹了導數與微分的概念及簡單的運算法則后，對導數與微分的運用就可以采用項目化的模式:先提出問題(明確實際要求，先入為主，抓住興趣點)、在分析問題(對問題中涉及的解決方法和思路進行梳理，進一步了解問題的具體內

二 課堂教學的設計

教學內容:導數與微分的應用;課時數:4節;教學項目名稱:春運票價問題。

1.問題提出

據鐵路局調查，在春運期間，火車票價會進行一定的上浮，相應客源會有所減少。通過分析得出當票價每上漲10元時，每趟列車旅客將減少30人。平時廣州到上海的列車每趟限坐1800名旅客。春運期間，廣州到上海的票價上浮25%，調整后的春運票價為480元/張，(1)問春運前的票價是多少?(2)春運期間，廣州到上海的票價定為多少元時，鐵路局能保證每列客車的收入最多?(3)在春運期間，應該如何對任意車次車票定價，才能保證每列客車的收入為最多?(4)試分析在票價發生變化時票價與收入之間的關系?

2.假設說明

(1)期間旅客流量為均勻分布。

(2)平時廣州到上海的列車每趟限做1800名旅客為統計的平均值。

(3)當票價每上漲10元時，每趟列車旅客人數將減少30人。

(4)每趟列車一般運載1800名旅客。

3.問題分析、建立數學方程及求解

問題一:

設春運前票價為q元。由于春運期間鐵路客流量太大，鐵路局一直都采用票價上浮方法減少客流。廣州到上海的票價上浮25%，調整后的票價為480元/張，

即(1+0.25)q＝480，解得 q＝384元。

由此可得，廣州到上海的票價在春運前為384元/張。

問題二:

由于春運期間，火車票的上浮，造成客流減少，當票價每上漲10元，每趟列車旅客數將減少30人，平時廣州到上海的列車每趟1800名旅客。

設票價上漲10x元，則每趟列車旅客將減少30x人，每列客車的收入為L元。

每列客車的收入＝票價×人數

則 L＝(384+10x)(1800-30x)，(0≤x＜60)

這是一個關于票價應上漲10元的多少倍，廣州到上海的列車收入最大的數學方程。

即求一元函數的最值問題。

求函數L＝-300x^2+6480x+691200 對x求導數

觀察函數的單調性問題:dL/dx＞0 得到x＜10.8

即L在(0≤x＜10.8)區間內單調增加

dL/dx＜0 得到 x＞10.8

即L在(10.8＜x＜60)區間內單調減少

觀察函數的極值問題:令dL/dx＝0，即x＝10.8

由于(dL)^2/(dx)^2＝-600＜0

由函數極值的充分條件知，在點x＝10.8處收入函數L取最大值，最大值L(10.8)＝726192元。

這時票價應定位為492(＝384+10×10.8)元/張。

得到，春運期間若以廣州到上海的列車為例，票價定為492元/張時，鐵路局的每列客車收入最多，達726192元。

問題三:

設任意車在春運前票價為q元，票價每上漲10x元，則該趟列車旅客數將減少30x人，每趟列車運載能力1800名旅客，每列客車的收入為L元，

則L＝(q+10x)(1800-30x)

求函數對x的導數，得:dL/dx＝-600x+18000-30q，(0≤x＜60)

觀察函數的單調性問題:dL/dx＞0 得到x＜30-q/20

即L在(0≤x＜30-q/20)區間內單調增加

dL/dx＜0 得到x＞30-q/20

即L在(30-q/20＜x＜60)區間內單調減少

觀察函數的極值問題:令dL/dx＝0，x＝30-q/20，

由于(dL)^2/(dx)^2＝-600＜0，由函數極值的充分條件知，在點 x＝30-q/20處(0≤x＜60，q

≤600)，收入函數L取最大值。

所以春運期間票價＝q+10(30-q/20)＝300+q/2。

鐵路局在春運期間，對任意車次的票價定價為(300+q/2)/張時，該列列車的收入最多。

問題四:

這是一個函數邊際的問題關系:

根據問題三得出 L＝-300x^2+(18000-30q)x+1800q (0≤x＜60)

求函數對x的導數，得:dL/dx＝-600x+18000-30q

要討論票價與收入的關系，假設春運時票價為p元，則x＝(p-q)/10，將其代入上式

dL/dx＝-600*(p-q)/10+18000-30q

＝30q-60p+18000

得到某趟列車春運前票價為q元后，但春運期間票價定價為p元時，每提高1元票價，收入增加30q-60p+18000元。

三 對今后教學的建議

微積分課程在專業課程體系中的定位為公共基礎性課程，其開設的目的是為后續專業課程的開設做的一個技術層面的鋪墊。而隨著計算機技術在學科中的拓展，學習中涉及到的數據量和復雜程度也超過以往的要求，這就使得學生常常在學習了微積分等基礎課程后，在學習專業課程中再次碰到類似的函數求解問題，老師需要重新復習基礎知識，學生需要重新針對性進行學習后才能使用。這些也是現今在高職高專學校提出項目化改革后，數學類基礎課程漸漸被專業基礎類課程所取代的主要原因。既如此，在基礎類課程開設時何不有針對性的對知識點進行取舍，將原來重求解、重計算過程的教學方式轉變為重應用，重解決問題的實際操作上。以此來培養學生在實際問題中解決問題的思維方式，而省略為了求解而進行的反復計算練習環節。

為此，在微積分課程中引入項目化思維進行教學，將原有課程體系取精去繁，注重學生解決問題思維方式的訓練，讓基礎類課程能更好的為后繼專業課程的開展做鋪墊是值得嘗試的教學研究。

文中對導數與微分部分教學的嘗試，就是在學習、認識導數與微分的概念及基本定理的基礎上，結合數學軟件(如:MATLAB等)進行計算方法介紹后，強化對知識點的應用能力培養。拋開原有教學中對不同類型函數計算方法的學習，將它交給計算機處理，轉而重視對概念的理解及定理的應用。從分析問題、建立函數關系方面培養學生的思維邏輯能力;從求解問題方面培養學生解決問題的能力，兩者相結合，真正意義上做到對學生學習能力的提高。

自古就有“師為傳到授業解惑者”之說，在教與學的關系上，教師應作為知識的傳授者(介紹基本概念、定理)、作為學習方法的介紹者(在分析問題，建立數學關系)、作為知識應用的引導者(項目化的教學模式中)。而學生作為學習的主體，只有將他們的主動性充分調動起來，才能真正達到教學的目的。

[1]《數學建模與數學實驗》張珠寶主編

[2]經濟數學.：少年時/曾文斗主編.—北京：高等教育出版社

[2]高職高專高等數學基礎特色教材系列：教育部高職高專推薦教材【微積分學習指導】第三版