例談化歸思想在數學解題中的應用

郭 靖

(陜西省山陽中學，陜西 山陽 726400)

我們知道整個中學數學內容，始終貫穿著數學知識和數學方法這兩條線。化歸方法是中學數學中的重要數學方法之一。所謂“化歸”就是轉化和歸結的簡稱。化歸方法是數學解決問題的一般方法。其基本思想是：人們在解決數學問題時，常常是將待解決的問題A通過某種轉化手段，歸結為另一個問題B，而問題B是相對較易解決或已有固定解決程式的問題，且通過對問題B的解決可得原問題A的解答。

下面就化歸思想在中學數學解題中的應用結合例題談幾點筆者的體會。

1 由此及彼，將陌生的問題熟悉化

將陌生的問題向已知熟悉的知識轉化，使之能用熟悉的知識和方法解決新的問題。這種轉化常常可達到事半功倍的效果，使一些陌生的新問題變得迎刃而解。例如，在一次作業批改過程中，我發現學生對下面一道題目做錯的特別多：

講評時，我并沒有直接就題講題，而是給出了下面一道題目：

對于變式題，同學們很快給出了正確解答——“1”的代換，再用基本不等式，這是同學們早已熟悉了的一種常用方法。接著，我又引導同學們比較兩題目的區別與聯系：顯然，在0＜x＜的條件下，sinx＞0，1-sinx＞0 且 sinx+（1-sinx）=1， 若令 a=sinx，b=1-sinx 則兩問題本質上完全相同。至此，同學們恍然大悟，感嘆道：“這真是：山窮水復凝無路，柳暗花明又一村”——此化歸之妙哉！

2 學會逆向思維，將復雜問題單化

復雜問題簡單化是數學解題中運用最普遍的思考方法，一個難以直接解決的問題通過對問題深入觀察和研究，轉化成簡單的問題迅速求解。例如：

【說明】（1）﹑（2）兩問較為容易，在此不再贅述。 （3）問標答所給的證明方法中學生接受起來有一定的困難，在一次高考復課研討會上，講課老師曾給出了多種證法，但所用到的知識均有超出中學所學知識范圍之嫌，在現行的新課標中，教材雖有所涉及，但均屬選修內容，且難度較大。事實上，我們圍繞目標分析，經過一系列的化歸不難解決。

又

又由數學歸納法容易證明，當n≥3時，3n＞2（n2+n）即

故原不等式成立。

這樣，使得一些表面看似很復雜的問題，通過一步一步的化歸轉化變得也不再十分復雜。

3 構造模型，使一些棘手問題簡單化

在新課程標準中，明確提出“讓學生學有用的數學”，把數學的實際應用能力提高到了一個非常重要的地位，函數、數列……中學課本所有內容無不體現這一重要思想，而要把一個實際問題用數學知識來解決，數學建模能力的培養也就自然成了重中之重，因此在日常的教學中，我們應該潛意識的注重培養學生一些基本的數學模型能力。例如：

例3 (07廣東高考理科第12題)如果一個凸多面體為n棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有_____條。這些直線中共有 f（n）對異面直線，則 f（4）=_____；f（n）＝_____。 （答案用數字或 n的解析式表示）

圖1

分析：因為n棱錐共有n+1個頂點，任意兩點可連一直線，故所有頂點所確定的直線共有

對于f（n）的計算可將問題化歸為過這n+1個頂點可構成多少個三棱錐，因為一個三棱錐中共有3對異面直線——這是我們所熟悉的問題。而n棱錐的n+1個頂點中，任選四個能構成三棱錐的必含棱錐頂點，再從底面的n個頂點中人選3個，故，進而易得 f（4）=12。

總之，在數學中化歸的思想與方法幾乎是無處不在，無時不在。化歸的思想在數學的研究和學習中應用十分廣泛，重視這種方法在數學解題教學中的運用，對學生思維的靈活性、廣闊性、敏捷性、創造性，及去發現問題、探索問題、解決問題的能力將有重要的意義。

從廣義上說，數學問題的求解都是運用已知條件對問題進行一連串恰當轉化歸結，進而達到解題目的一個探索過程，熟練、恰當的轉化可以迅速、準確地解決問題。靈活的轉化可以出方法、出速度。而數學問題中運用化歸思想解題的例子比比皆是，絕不是幾種類型可以加以概括的，平時教學中，只要我們教師具有化歸的思想意識，深入鉆研教材、挖掘和提煉中學數學內容的轉化矛盾思想，針對不同的問題，縝密思考，及時總結各種“轉化歸結”方法，有意識地加強化歸方法的教學，對于培養造就“發現”、“創新”型人才具有十分深遠的意義。

［1］張景斌，主編.中學數學教學教程[M].

［2］王子興.數學方法論[M].

［3］蘇炳堂.淺談化歸思想在中學數學中的應用[J].中小學教育，2010（11）.