一類分期付款亞式期權(quán)定價

李家華　周靜

【摘 要】分期付款嵌入到亞式期權(quán)構(gòu)造出分期付款亞式期權(quán)，針對固定執(zhí)行價格的連續(xù)幾何平均歐式看漲情形，利用kim積分分解定理得到價格函數(shù)和最佳停止邊界滿足的方程，然后利用梯形積分法獲得它們的遞歸式，并利用最小二乘原理求解最佳停止邊界，以此獲的看漲期權(quán)價格的數(shù)值算法.最后分析了分期付款率對期權(quán)價格、最佳停止邊界及套期保值策略的影響.

【關(guān)鍵詞】期付款； 亞式期權(quán)；套期保值策略

一、引言及介紹

亞式期權(quán)是一種強路徑依賴型期權(quán)，它的收益依賴于標的資產(chǎn)在整個期權(quán)有效期內(nèi)標的資產(chǎn)所經(jīng)歷的價格平均值（算術(shù)平均和幾何平均），可有效的減少到期日價格操縱的影響.它應用十分廣泛，特別在石油市場和債券市場非常流行.假設 是期權(quán)的路徑變量，表示初始時刻到時刻t的平均值，那么：，（1）

相應的亞式期權(quán)可分為算術(shù)平均亞式期權(quán)和幾何平均亞式期權(quán)，在到期日T的收益為：（3）

分期付款（Installment Paying）是一種廣泛應用于金融實際的支付形式，如住房按揭貸款、人壽保險、教育基金保險、重大工程項目、養(yǎng)老金計劃、醫(yī)療保健等都是分期付款，也可以投資.分期付款為投資者提供了方便靈活的投資策略，降低了投資者的投資風險.將分期付款引入到金融衍生工具中， 構(gòu)造出分期付款期權(quán)，可以為投資者提供靈活的進入與退出機制， 讓期權(quán)持有人有足夠的時間來評估標的資產(chǎn)的真實價值和未來走勢，為投資決策提供有利的依據(jù).而對于賣方來說， 當標的資產(chǎn)的價值下降時，也可以避免損失太大.Karsenty 和Sikorav[1]是最早介紹該期權(quán)的學者.對其定價的研究是最近幾年的工作，Davis[2] 等人在經(jīng)典Black-Scholes模型下分析了離散型分期付款期權(quán)，同時給出連續(xù)分期付款期權(quán)價值函數(shù)： （4）

在標的股票滿足經(jīng)典Black-Scholes 模型下，本文考慮連續(xù)分期付款支付方式嵌入到亞式期權(quán)的定價問題.設 是它在 時刻的價格，對 應用 公式可得到分期付款亞式期權(quán)滿足的非齊次偏微分方程：

其中q為分期付款率，為紅利率.

二、固定執(zhí)行價格分期付款連續(xù)幾何平均歐式亞式期權(quán)定價

現(xiàn)考慮到期日為T的固定執(zhí)行價格分期付款連續(xù)幾何平均歐式亞式看漲期權(quán)，它在t時刻的價格為。期權(quán)持有人在t時刻要獲得繼續(xù)持有此期權(quán)至到期日T，他必須支付期權(quán)金。但持有人也可以選擇在停時（是取值于 （）的停時集合）放棄該期權(quán)，獲得收益為，同時可以收回余下的期權(quán)金，那么在時刻的總收益為：。由風險中性定價原理知：

由（1）式可知，對，一定存在最佳停止邊界，將區(qū)域D分成：終止區(qū)域；繼續(xù)持有區(qū)域，其中.下面給出最佳停止邊界的性質(zhì).

性質(zhì)1：是上的非降連續(xù)函數(shù)，且.

證明類似于Jacka[3]中的命題2.1、2.4、2.5的證明.

定理1：對于固定執(zhí)行價格的分期付款連續(xù)幾何平均歐式亞式看漲期權(quán)，其價格函數(shù)的積分分解表達式為：

三、數(shù)值算法及結(jié)果

下面利用積分方程法對Kim方程（7）、（8）建立期權(quán)價格及最佳邊界函數(shù)的遞歸方程.

將時間區(qū)間分成等份，記及；記以及

考察S0和分期付款率q取不同值時，固定執(zhí)行價格分期付款歐式連續(xù)幾何平均亞式看漲期權(quán)的數(shù)值結(jié)果.執(zhí)行價格K=100，無風險利率r=0.04，紅利率，到期日T=0.6，波動率，M=200，數(shù)值結(jié)果如表1所示.

另外當q=5，S0=100時，分別畫出了固定執(zhí)行價格的分期付款連續(xù)幾何平均歐式亞式看漲期權(quán)的最佳停止邊界和q、S0取不同值時的△套期保值率，分別如下圖1、圖2所示.

從表1中可以看到分期付款率q越大，期權(quán)價值越小，越受投資者歡迎.但圖1反映出最佳停止邊界越高，表明在期權(quán)交易的初期，放棄該期權(quán)合約的概率相對較大，說明分期付款率q的選擇非常重要.另外從圖2中可以看到，隨著股票價格的增大，期權(quán)由價外期權(quán)變?yōu)閮r內(nèi)期權(quán)，套期保值率也在增大，并且不同分期付款率下差別逐漸減少.但價外狀態(tài)時，分期付款率越大，套期保值率越低.

四、結(jié)論及展望

本文主要討論了固定執(zhí)行價格分期付款連續(xù)幾何平均歐式亞式看漲期權(quán)定價、最佳停止邊界及套期保值策略，對于固定執(zhí)行價格分期付款連續(xù)幾何平均歐式亞式看跌期權(quán)定價和本文類似，這里就不再討論.本文方法也同樣應用于離散幾何平均情形.對于固定執(zhí)行價格的美式及浮動執(zhí)行價格的歐式和美式情形有待進一步研究。

參考文獻

[1] Karsenty F，Sikorav F.Installment pian，Over the rainbow[J].Risk publication，1996，141-206.

[2] Jailllet P，Lamberton D，Lapeyre B.Variational inequalities and the pricing of American options[J].Acta Applications Mathematics，1990，21：

263-289.

作者簡介：李家華，女，管理學碩士，講師， 研究方向：電子金融與物流

通訊作者：周靜，男， 金融學碩士，講師 ，研究方向：金融工程。