一類分期付款亞式期權定價

李家華　周靜

【摘 要】分期付款嵌入到亞式期權構造出分期付款亞式期權，針對固定執行價格的連續幾何平均歐式看漲情形，利用kim積分分解定理得到價格函數和最佳停止邊界滿足的方程，然后利用梯形積分法獲得它們的遞歸式，并利用最小二乘原理求解最佳停止邊界，以此獲的看漲期權價格的數值算法.最后分析了分期付款率對期權價格、最佳停止邊界及套期保值策略的影響.

【關鍵詞】期付款； 亞式期權；套期保值策略

一、引言及介紹

亞式期權是一種強路徑依賴型期權，它的收益依賴于標的資產在整個期權有效期內標的資產所經歷的價格平均值（算術平均和幾何平均），可有效的減少到期日價格操縱的影響.它應用十分廣泛，特別在石油市場和債券市場非常流行.假設 是期權的路徑變量，表示初始時刻到時刻t的平均值，那么：，（1）

相應的亞式期權可分為算術平均亞式期權和幾何平均亞式期權，在到期日T的收益為：（3）

分期付款（Installment Paying）是一種廣泛應用于金融實際的支付形式，如住房按揭貸款、人壽保險、教育基金保險、重大工程項目、養老金計劃、醫療保健等都是分期付款，也可以投資.分期付款為投資者提供了方便靈活的投資策略，降低了投資者的投資風險.將分期付款引入到金融衍生工具中， 構造出分期付款期權，可以為投資者提供靈活的進入與退出機制， 讓期權持有人有足夠的時間來評估標的資產的真實價值和未來走勢，為投資決策提供有利的依據.而對于賣方來說， 當標的資產的價值下降時，也可以避免損失太大.Karsenty 和Sikorav[1]是最早介紹該期權的學者.對其定價的研究是最近幾年的工作，Davis[2] 等人在經典Black-Scholes模型下分析了離散型分期付款期權，同時給出連續分期付款期權價值函數： （4）

在標的股票滿足經典Black-Scholes 模型下，本文考慮連續分期付款支付方式嵌入到亞式期權的定價問題.設 是它在 時刻的價格，對 應用 公式可得到分期付款亞式期權滿足的非齊次偏微分方程：

其中q為分期付款率，為紅利率.

二、固定執行價格分期付款連續幾何平均歐式亞式期權定價

現考慮到期日為T的固定執行價格分期付款連續幾何平均歐式亞式看漲期權，它在t時刻的價格為。期權持有人在t時刻要獲得繼續持有此期權至到期日T，他必須支付期權金。但持有人也可以選擇在停時（是取值于 （）的停時集合）放棄該期權，獲得收益為，同時可以收回余下的期權金，那么在時刻的總收益為：。由風險中性定價原理知：

由（1）式可知，對，一定存在最佳停止邊界，將區域D分成：終止區域；繼續持有區域，其中.下面給出最佳停止邊界的性質.

性質1：是上的非降連續函數，且.

證明類似于Jacka[3]中的命題2.1、2.4、2.5的證明.

定理1：對于固定執行價格的分期付款連續幾何平均歐式亞式看漲期權，其價格函數的積分分解表達式為：

三、數值算法及結果

下面利用積分方程法對Kim方程（7）、（8）建立期權價格及最佳邊界函數的遞歸方程.

將時間區間分成等份，記及；記以及

考察S0和分期付款率q取不同值時，固定執行價格分期付款歐式連續幾何平均亞式看漲期權的數值結果.執行價格K=100，無風險利率r=0.04，紅利率，到期日T=0.6，波動率，M=200，數值結果如表1所示.

另外當q=5，S0=100時，分別畫出了固定執行價格的分期付款連續幾何平均歐式亞式看漲期權的最佳停止邊界和q、S0取不同值時的△套期保值率，分別如下圖1、圖2所示.

從表1中可以看到分期付款率q越大，期權價值越小，越受投資者歡迎.但圖1反映出最佳停止邊界越高，表明在期權交易的初期，放棄該期權合約的概率相對較大，說明分期付款率q的選擇非常重要.另外從圖2中可以看到，隨著股票價格的增大，期權由價外期權變為價內期權，套期保值率也在增大，并且不同分期付款率下差別逐漸減少.但價外狀態時，分期付款率越大，套期保值率越低.

四、結論及展望

本文主要討論了固定執行價格分期付款連續幾何平均歐式亞式看漲期權定價、最佳停止邊界及套期保值策略，對于固定執行價格分期付款連續幾何平均歐式亞式看跌期權定價和本文類似，這里就不再討論.本文方法也同樣應用于離散幾何平均情形.對于固定執行價格的美式及浮動執行價格的歐式和美式情形有待進一步研究。

參考文獻

[1] Karsenty F，Sikorav F.Installment pian，Over the rainbow[J].Risk publication，1996，141-206.

[2] Jailllet P，Lamberton D，Lapeyre B.Variational inequalities and the pricing of American options[J].Acta Applications Mathematics，1990，21：

263-289.

作者簡介：李家華，女，管理學碩士，講師， 研究方向：電子金融與物流

通訊作者：周靜，男， 金融學碩士，講師 ，研究方向：金融工程。