排隊論在AGV系統性能指標分析中的應用研究

劉 洋，金亞萍，向光義，丁 瑩，曾銳南 （機科發展科技股份有限公司，北京 100044）

LIU Yang, JIN Ya-ping, XIANG Guang-yi, DING Ying, ZENG Rui-nan (Machinery Technology Development Co.,Ltd,Beijing 100044,China)

自動導引車（Automated Guided Vehicle，AGV）系統是指能按預先所規劃好的路徑和指定的任務要求，精確行走并停靠到指定的位置，并完成一系列作業任務的自動導引的無人駕駛自動化車輛系統。對AGV系統進行規劃的目的就是為了提高AGV系統和各種自動化加工設備的使用效率，最終表現為以最少數量的AGV小車完成物流系統所規定的物料搬運任務。因此，AGV系統中AGV小車數量的確定也是進行AGV系統規劃很重要的問題之一。

1 問題的提出

對于排隊問題來說，主要有“顧客”和“服務員”問題，顧客和服務員的含義完全是廣義的，可根據具體問題而不同，我們把得到服務的對象統稱為“顧客”，將提供服務的服務者稱為“服務員”，對于AGV系統來說，那些需要搬運的貨物稱為顧客，而提供搬運服務的AGV小車稱為服務員。下面假設在一個具體的物流系統中，有n個出庫站臺，各出庫站臺平均每小時有λ次搬運任務，單位時間內AGV小車服務搬運任務的次數為μ，分析此物流系統在包含一臺、多臺等不同AGV小車的情況下，物流系統中的平均貨物數L、等待搬運服務的平均貨物數Q、貨物在系統中的平均逗留時間W、貨物在隊列中的平均等待時間D以及相應的系統服務強度等各項系統性能指標。

2 AGV系統排隊論數學模型的建立

（1）排隊系統的模型框圖（見圖1）

由圖1可知，AGV排隊系統主要由搬運貨物到達過程、排隊規則和AGV服務規則三部分組成。

（2）物料搬運任務到達過程的確定

因為首先立體倉庫內各站臺出現搬運任務的事件流可以看作具有平穩性，在時間段τ內各站臺出現任何數量搬運任務的概率只與τ的長度有關，而與τ在時間軸上的位置無關；其次，我們認為各站臺出現搬運任務的事件流具有無后效性，因為每個站臺不可能同時約好在某一時刻同時出現搬運任務；同時我們還認為各站臺出現搬運任務的事件流具有普通性，在同一瞬時，多個站臺同時出現搬運任務的概率比一個站臺出現搬運任務的概率小到可以忽略的程度，各工位搬運任務的出現是逐個發生的；最后各工位出現搬運任務的事件流明顯具有有限性，因為在任意時間段內不可能出現無限個搬運任務。由以上分析可知，我們假設AGV需要搬運貨物的搬運任務到達的過程為泊松分布過程。

圖1 排隊系統的模型框圖

（3）AGV小車的服務事件流的確定

由于AGV小車的服務過程首先要從原先停留的位置行駛到搬運任務的起始站臺，裝上搬運貨物后，再由起始站臺行駛到目的站臺，然后再在目的站臺上卸下貨物。所以AGV小車服務的事件流就比較復雜，就工位裝卸貨物這一事件流來講，我們可以認為每次裝卸毫不相干，裝卸事件的發生具有無記憶性，可看作是一個泊松流，在每次搬運服務的過程中，為了簡化系統的建模，可以認為各個AGV小車運動的時間是相互獨立的，也可看成是一個泊松過程，因此，把AGV的服務時間也看作服從參數為μ的負指數的分布，依此來考察整個排隊過程。

（4）貨物排隊規則

貨物排隊規則采用先到先服務的規則。

3 利用數學模型分析AGV系統性能指標與系統中所含AGV數量的關系

在進行AGV系統設計時，由于單臺AGV小車系統與多臺AGV小車系統在理論計算方面有較大的差別，下面我們分別加以討論。

（1）單臺AGV小車系統的性能分析

建立單服務臺模型，即系統中各搬運站臺出現搬運任務的到達流為泊松流，所以到達的時間間隔服從參數為λ的負指數分布，而服務時間服從參數為μ的負指數分布，由于在系統中只有一臺車時，這一排隊過程屬于排隊論中的M/M/1型，各符號的含義為M表示負指數分布、1表示服務員的個數為1個，對于倉庫管理系統，假設物料的個數無限制但貨物的出庫站臺是有限制的（如為6個），則搬運任務的隊長有限制，則采用M/M/1/N型，我們用λ表示貨物的到達率，也就是說貨物相繼到達的間隔時間為獨立的指數隨機變量，其均值為1/λ，用μ表示AGV小車的服務率（μ為單位時間內AGV小車服務搬運任務的次數），小車的搬運時間也為獨立的指數隨機變量，其均值為1/μ。到達率與服務率之比，即：

ρ=λ/μ是一個很重要的參數，它稱為服務強度。設ρ＜1，也就是說AGV小車相繼搬運服務的間隔時間小于貨物相繼到達的間隔時間。相反地，假如ρ＞1，隊列將排至無限遠，這樣的排隊系統在實際中是絕不可取的。

AGV小車的利用率也可用服務強度來表征，服務強度大則AGV小車的利用率高。

下面列舉例子說明：

（2）多臺AGV小車系統的性能分析

多服務臺系統容量有限制的模型為M/M/s/K型，它是指貨物的相繼到達時間服從參數為λ的負指數分布，可進行搬運服務的AGV小車的個數為s，每個小車的服務時間相互獨立，且服從參數為μ的負指數分布，系統的空間為K。

根據上式可算得下面的物流系統的性能指標（ρ≠1時）。

下面列舉例子說明：

由上述公式知：

系統中等待搬運服務的平均貨物數Q：

其中：λ為各工位出現搬運任務的強度（單位時間內貨物到達站臺的次數），μ為小車的服務率（單位時間內AGV服務搬運任務的次數），c為系統中的小車數。

（3）單臺AGV車系統與多臺AGV車系統的性能比較

由上述計算可知，對于AGV系統中相同的貨物到達率λ，和相同的小車服務率μ，單臺車系統與多臺車系統的性能比較如表1所示。路部門不管是發生行車事故還是發生別的突發事故首先要考慮的是應急物資的調配，保證災區人民的基本生活。也就是說電力集團是保證電網的正常運轉，鐵路部門是保障應急物資的及時送達。這兩大集團在物資上面是不同的，但是物資調配的原理是相同的，都是要保障人民生活的正常運轉。

表1 救援點與受災點間的物資需求平衡表

在面對突發事故時，應急物資的調配，首先要考慮保證時間的及時性，其次要考慮物資調配的成本，不考慮成本就會浪費過多的人力、財力、物力，有時應急物資也不能夠及時運達災區。當事故發生時，不管是政府還是公益組織從全國各地甚至是世界各地調運應急物資時一定要根據實際情況在控制成本的情況下合理調配物資，建立一套合理運輸模型，然后及時地將應急物資運送到災區人民手中。

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