一類非對稱損失函數下幾何分布可靠度Bayes估計

張國林

(宜春學院數學與計算機科學學院，江西宜春 336000)

一類非對稱損失函數下幾何分布可靠度Bayes估計

張國林

(宜春學院數學與計算機科學學院，江西宜春 336000)

文章在一類非對稱損失損失函數下,討論了幾何分布可靠度的Bayes估計問題.在可靠度的先驗分布為貝塔共軛先驗分布下,得到了可靠度的Bayes估計、多層Bayes估計,最后給出了一個實際應用例子。

可靠度;Bayes估計;多層Bayes估計;幾何分布

隨著科學技術的進步,產品的可靠性越來越高,導致很多產品的壽命分布具有無記憶性的特點。而幾何分布由于其具有無記憶性而成為離散型分布中最為重要的一種分布,除在可靠性和應用概率模型中得到了廣泛的應用和研究外,近年來該分布在信息工程、控制論以及經濟學中也得到了很大的重視和應用。在貝努里試驗中,設R為每次試驗成功的概率(可靠度),若進行了x+1次試驗,前x次試驗成功但第x+1次試驗不成功的概率為

則稱隨機變量X服從幾何分布,其中參數R(0＜1＜R)稱為可靠度。

本文將在一類非對稱損失函數下研究幾何分布(1)可靠度的Bayes估計、多層Bayes估計以及E Bayes估計問題。

1 Bayes估計

基于過去的經驗或者以往試驗數據,我們可以得到關于參數的一些先驗知識,而這些先驗知識通常用參數的先驗概率密度函數來表示。對于幾何分布最常用的先驗分布為其共軛先驗分布-貝塔先驗分布Beta(a,b)：

其中a和b為超參數。

在Bayes統計推斷的討論中,損失函數是必不可少的,最常用的損失函數為平方誤差損失函數,該損失函數賦予了高估和低估于同樣的損失,然而在估計可靠性和失效率函數時高估往往會帶來更加嚴重的后果,這時對稱損失函數就顯現出不足之處,且我們最常使用平方誤差損失函數的另一個原因也僅是因為其在數學上通常更加容易處理。然而隨著計算技術的飛速發展,一些繁雜的積分運算已不是難事。于是近年來很多學者提出了一些比較有用的非對稱損失函數,如LINEX損失函數、熵損失函數就是其中最常用的兩種，本文將在如下一類非對稱損失函數[8]下

討論幾何分布可靠度的Bayes估計問題。

并且解是唯一的。

下證唯一性：由于損失函數(3)為嚴凸損失函數,故該Bayes估計是唯一的。

2 可靠度的估計

在這一部分我們將在非對稱損失函數

下,討論可靠度R的估計問題.

2.1 可靠度的Bayes估計

定理2.1在幾何分布（1）中,若R的先驗分布為Beta分布Be(a,b),在非對稱損失函數(5)下,可靠度R的唯一的Bayes估計為：

證明 在幾何分布（1）中,若R的先驗分布為Beta分布Be(a,b),得可靠度R的后驗概率密度函數為

則該后驗概率分布為貝塔分布Beta(a+x,b+1)從而在非對稱損失函數(5)下,由引理1.1得可靠度R的唯一的Bayes估計為：

2.2 可靠度的多層Bayes估計

在高可靠數據情況下,幾何分布可靠度R大的可能性大,小的可能性小,于是韓明提出了選取R的先驗分布的構造方法-增函數法[9]。即選取R的增函數作為R的先驗概率密度的核,它符合R大的可能性大,而R小的可能性小的要求。于是選擇較為合理的先驗分布成了我們關注的重點。在幾何分布(1)中,若設R的先驗分布為Beta分布Be(a,b),其中 a＞0, b＞0為超參數,并假設a與b相互獨立,如何確定a與b這兩個超參數呢？由于a與b取不同的值時,Beta分布曲線的差異較大,在a≠1或b≠1的情況下,Beta分布可分為以下四種情況(i) a＞1與b＞1,(ii) a＜1與b＜1,(iii) a＞1與b＜1,(iv) a＜1與b＞1,在這四類中只有第(3)類Beta分布的概率密度函數R的增函數,它符合R大的可能性大,R小的可能性小。這樣可以確定超參數a與b的范圍：a＞1,0＜b＜1,在Bayes估計(6)中,我們需要知道超參數a與b的值才能使用,但是如果我們不能根據自己的經驗較為準確的地給出a與b的值,那么得到的Bayes估計的穩定性較差,為改善這種情況,Lindley和Smith在文[6]中提出了多層先驗分布的想法,即在先驗分布中含有超參數時,可對超參數再給一個先驗分布。于是根據上面的討論我們選取超參數a與b的先驗分布。分別為：π2(a)=U(1,C),π3(b)=U(0,1),C為常數.考慮到Beta分布的性質,在0＜b＜1的情況下,a越大,Beta分布的密度函數的尾部越細,從多層Bayes估計的穩健性[11]的角度來看,尾部越細的先驗分布常使Bayes估計的穩健性差,因此,a不宜過大,應有一個界限.在計算中C在2至8中取值是適宜的（如可居中取C=5）。由此可得：

定理2.2設幾何分布(1)的可靠度R的先驗分布為Beta分布Beta(a,b),其中a＞1,0＜b＜1,并且a與b的先驗分布分別為：π3(a)=U(1,C),π4(b)=U(0,1),C＞1為常數,則R的多層Bayes估計為：

證明 在幾何分布(1)中,若R的先驗分布為Beta分布,密度函數為：

π1(R/a,b)=Ra-1(1-R)b-1/B(a,b), a＞1, 0＜b＜1為超參數,0＜R＜1,

其中π2(a)=U(1,C),π3(b)=U(0,1),C＞1為常數,則R的先驗分布為：

3 數值比較和結論

對某產品進行實驗,若在20次貝努里試驗中前19次成功而第20次不成功（失敗）,在非對稱損失函數(5)下,計算幾何分布可靠度的多層Bayes估計值。并將其與文[1]中得到的可靠度的多層Bayes估計R?HB1進行比較。見表1(其中2≤C≤6)。

表1 可靠度的估計結果

從表1知,當2≤C≤6時,非對稱損失函數（5）下得到的可靠度的估計的極差更小,從而估計結果更加穩健。并且19次成功,第20次不成功的頻率估計值為19/20=0.95,這與本文的結果也更接近,故建議采用本文提出的多層Bayes估計對高可靠性數據情形下幾何分布可靠度的計算方法。

[1]韓明,崔玉萍.幾何分布可靠度估計[J].運籌與管理,2001,10(4).

[2]趙喜林.幾何分布可靠度的截尾Bayes估計[J].武漢科技大學學報,2004,3(1).

[3]徐曉嶺,孫祝嶺,王磊.幾何分布參數的區間估計和統計貼近度研究[J].強度與環境,2005,32(2).

[4]徐曉嶺,王蓉華,費鶴良.幾何分布產品定數截尾場合下參數的點估計[J].強度與環境,2009,36(2).

[5]韓明.多層先驗分布的構造及其應用[J].運籌與管理,1997,6(3).

[6]Lindley,D.V.,Smith,A.F.Bayes Estimation for the Linear Model[J].Journal of the Royal Statistical Society，Series B.,1972,(34).

[7]Berger,J.O.Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis,(2ndEdition.)[M].New York:Spring-Verg,1985.

O212.1

A

1002-6487（2013）04-0069-02

張國林（1969-），男，江西豐城人,講師,研究方向:數據處理和統計決策。

（責任編輯/浩 天）