廣義度量空間弱壓縮映像下的不動點定理

劉 博，柴國慶

(湖北師范學院 數學與統計學院，湖北 黃石 435002)

1 引言及預備知識

Branciari[1]在2000年將原有的三角不等式中右端的兩項擴展為了三項，推廣了之前的度量空間，得到了廣義度量空間.并且在引入Hausdorff概念之后，證明了在廣義度量空間之中Banach壓縮原理依然成立.之后很多學者在這個空間之中進行了一系列的研究， 參照文獻[3～8].

在文獻[2]中， 作者在具有Hausdorff性質的廣義度量空間中，引入了一種推廣的Banach壓縮條件.本文主要是針對文獻[2]進行推廣，去掉原來條件中φ-函數的連續性，并且把原有弱壓縮條件中的元素由一個推廣為三個，我們的結果改進了原有結果.

定義1[1]X是一個非空集，映射d:X×X→[0，+∞)，使得對于所有的x，y∈X以及對于不同于x，y的所有相異的u，v∈X點 ，有：

i)d(x，y)=0 當且僅當x=y，

ii)d(x，y)=d(y，x) ，

iii)d(x，y)≤d(x，u)+d(u，v)+d(v，y) .

則稱(X，d) 為廣義度量空間.

定義2[1](X，d) 是廣義度量空間， {xn}是X中的一個序列，并且存在x∈X.在廣義度量空間中稱 {xn}收斂到x，當且僅當n→+∞ 時d(xn，x)→0；記為xn→x.

定義3[1](X，d) 是廣義度量空間， {xn}是X中的一個序列.稱{xn} 為廣義度量空間中的柯西列，當且僅當對于任意的ε>0，存在一個自然數N(ε) ，使得當n>m>N(ε)時，d(xn，xm)<ε.

定義4[1](X，d) 是廣義度量空間，若對于X中任意的柯西列都收斂到X，則稱 (X，d)是完備的廣義度量空間.

最近，Lakzian[2]引入了以下的定義：

定義5[2]令集合Ψ是函數ψ:[0，+∞) →[0，+∞)的全體所組成的集合，其中ψ滿足：

i)ψ連續非減， ii)ψ(t)=0當且僅當t=0.

定義6[2]令集合Φ是函數φ:[0，+∞)→[0，+∞) 的全體所組成的集合，其中φ滿足：

i)φ連續， ii)φ(t)=0當且僅當t=0 .

同時，他們獲得了下面的不動點結果：

定理1[2](X，d) 是Hausdorff的完備廣義度量空間，自映射T:X→X，若對于所有的x，y∈X，滿足條件：

ψ(d(Tx，Ty))≤ψ(d(x，y))-φ(d(x，y))

其中ψ∈Ψ，φ∈Φ，則T有唯一的不動點.

2 主要結果

我們首先給出如下的定義.

定義7 令集合Θ是函數θ的全體所組成的集合，其中θ:[0，+∞)→[0，+∞) 滿足：

現在給出我們的結果.

定理2 (X，d) 是Hausdorff的完備廣義度量空間，自映射T:X→X，若對于所有的x，y∈X，滿足條件：

ψ(d(Tx，Ty))≤ψ(a1d(x，y)+a2d(x，Tx)+a3d(y，Ty))-

θ(a1d(x，y)+a2d(x，Tx)+a3d(y，Ty))

(1)

其中a1+a2+a3≤1，ai≥0(i=1，2，3)，并且ψ∈Ψ，θ∈Θ，則T有唯一的不動點.

證明 取任意的x0∈X，定義序列{xn} ，其中

xn+1=Txn

(2)

先證明d(xn，xn+1)→0.利用(1)，有

ψ(d(xn，xn+1))=ψ(d(Txn-1，Txn))≤

ψ(a1d(xn-1，xn)+a2d(xn-1，Txn-1)+a3d(xn，Txn))-

θ(a1d(xn-1，xn)+a2d(xn-1，Txn-1)+a3d(xn，Txn))≤

ψ(a1d(xn-1，xn)+a2d(xn-1，Txn-1)+a3d(xn，Txn))=

ψ(a1d(xn-1，xn)+a2d(xn-1，xn)+a3d(xn，xn+1))

(3)

因為ψ連續非減，故

d(xn，xn+1)≤a1d(xn-1，xn)+a2d(xn-1，xn)+a3d(xn-1，xn)

即

(1-a3)d(xn，xn+1)≤(a1+a2)d(xn-1，xn)

(4)

因為d(xn，xn+1)=d(xn+1，xn)，而

ψ(d(xn+1，xn))=ψ(d(Txn，Txn-1))≤

ψ(a1d(xn，xn-1)+a2d(xn，Txn)+a3d(xn-1，Txn-1))-

θ(a1d(xn，xn-1)+a2d(xn，Txn)+a3d(xn-1，Txn-1))≤

ψ(a1d(xn，xn-1)+a2d(xn，Txn)+a3d(xn-1，Txn-1))=

ψ(a1d(xn，xn-1)+a2d(xn，xn+1)+a3d(xn-1，xn))

(5)

因為ψ連續非減，所以

d(xn+1，xn)≤a1d(xn-1，xn)+a2d(xn，xn+1)+a3d(xn-1，xn)

即

(1-a2)d(xn，xn+1)≤(a1+a3)d(xn-1，xn)

(6)

由(4)，(6)知

(2-a2-a3)d(xn，xn+1)≤(2a1+a2+a3)d(xn-1，xn)

(7)

不妨假設r>0，若a1=a2=a3=0，由(3)知ψ(d(xn，xn+1))≤0 ，又因為ψ(d(xn，xn+1))≥0 ，因此ψ(d(xn，xn+1))=0，即r=0，矛盾.

若a1+a2+a3>0，則

因此

(8)

由(3)知，

ψ(d(xn，xn+1))≤ψ(a1d(xn-1，xn)+a2d(xn-1，xn)+a3d(xn，xn+1))

-θ(a1d(xn-1，xn)+a2d(xn-1，xn)+a3d(xn，xn+1))

應用(7)，(8)對其求極限有

ψ((a1+a2+a3)r)≤ψ(r)

即ψ(r)<ψ(r)，矛盾. 因此假設不成立，即

(9)

同理可證

(10)

再次，我們證明T有周期點.

假設不成立，即T沒有周期點，則序列{xn} 中任意不同兩點相異，即：當n≠m時xn≠xm.

d(xni，xmi)≥ε

(11)

固定mi，由(9)，(10)知，可以取到滿足(11)的最小的ni，使得

d(xni-1，xmi)<ε

(12)

因此由(11)，(12)有

ε≤d(xni，xmi)≤

d(xni，xni-2)+d(xni-1，xni-2)+d(xni-1，xmi)<

d(xni，xni-2)+d(xni-1，xni-2)+ε

利用(9)，(10)對上式求極限，知

(13)

另一方面，因為

d(xni，xmi)≤d(xni，xni-1)+d(xmi，xmi-1)+d(xni-1，xmi-1)

d(xni-1，xmi-1)≤d(xni，xni-1)+d(xmi，xmi-1)+d(xni，xmi)

應用(9)，(13)對其求極限，知

(14)

由條件(1)知

ψ(d(xni，xmi))=ψ(d(Txni-1，Txmi-1))≤

ψ(a1d(xni-1，xmi-1)+a2d(xni-1，xni)+a3d(xmi-1，xmi))-

θ(a1d(xni-1，xmi-1)+a2d(xni-1，xni)+a3d(xmi-1，xmi))

(15)

若a1=0，利用(9)，(14)，則有

(16)

利用(13)，(16)對(15)兩邊求極限，有ψ(ε)≤0，又因為ψ(ε)≥ 0，因此ψ(ε)=0，即ε=0，矛盾.

若a1>0，利用(9)，(14)，則有

(17)

利用(13)，(17)對(15)兩邊求極限，則有

ψ(a1ε)≤ψ(ε)

(18)

ψ(d(xn+1，Tx))=ψ(d(Txn，Tx))≤

ψ(a1d(xn，x)+a2d(xn，Txn)+a3d(x，Tx))-

θ(a1d(xn，x)+a2d(xn，Txn)+a3d(x，Tx))≤

ψ(a1d(xn，x)+a2d(xn，Txn)+a3d(x，Tx))

因為ψ連續非減，因此有

d(xn+1，Tx)≤a1d(xn，x)+a2d(xn，Txn)+a3d(x，Tx)≤

a1d(xn，x)+a2d(xn，xn+1)+a3d(x，xn)+a3d(xn，xn+1)+a3d(xn+1，Tx)

即

(1-a3)d(xn+1，Tx)≤(a1+a2)d(xn，x)+(a2+a3)d(xn，xn+1)

(19)

同理

(1-a3)d(Tx，xn+1)≤(a1+a2)d(xn，x)+(a2+a3)d(xn，xn+1)

(20)

因此由(19)，(20)和2-a2-a3>0 有

(21)

對(21)兩邊求極限知

因為(X，d) 是Hausdorff的，因此

Tx=x

這與T沒有周期點的假設矛盾.因此T具有周期點，即存在u∈X，p≥1，使得

u=Tpu.

(22)

最后證明不動點的存在性和唯一性.

i) 存在性：若p=1，則u=Tu，即u就是所求不動點.

若p>1，我們可以證明b=Tp-1u為所求不動點，假設它不是不動點，則d(Tp-1u，Tpu)>0 .

ψ(d(u，Tu))=ψ(d(Tpu，Tp+1u))=ψ(d(T(Tp-1u)，T(Tpu)))≤

ψ(a1d(Tp-1u，Tpu)+a2d(Tp-1u，Tpu)+a3d(Tpu，Tp+1u))-

θ(a1d(Tp-1u，Tpu)+a2d(Tp-1u，Tpu)+a3d(Tpu，Tp+1u))

(23)

若a1=a2=a3=0，則d(u，Tu)=0，即u=Tu，這與p>1 矛盾.

若a1+a2+a3>0，因為d(u，Tu)>0，d(Tp-1u，Tpu)>0，知

θ(a1d(Tp-1u，Tpu)+a2d(Tp-1u，Tpu)+a3d(Tpu，Tp+1u))>0

由此應用(23)，以及ψ的性質易得

(1-a3)d(u，Tu)<(a1+a2)d(Tp-1u，Tpu)

(24)

同理

(1-a2)d(u，Tu)<(a1+a3)d(Tp-1u，Tpu)

(25)

因此由(24)，(25)我們有

(26)

同理，易證d(Tp-1u，Tpu)≤d(Tp-2u，Tp-1u)

如此進行下去，得到

d(u，Tu)

即d(u，Tu)

因此假設不成立，即b=Tp-1u為不動點.

ii) 唯一性：若存在兩個不動點s，t∈X，且s≠t，則

ψ(d(s，t))=ψ(d(Ts，Tt))≤

ψ(a1d(s，t)+a2d(s，Ts)+a3d(t，Tt))-θ(a1d(s，t)+a2d(s，Ts)+a3d(t，Tt))=

ψ(a1d(s，t))-θ(a1d(s，t))

若a1=0，則ψ(d(s，t))=0，即d(s，t)=0，則s=t，矛盾.

若a1>0，不妨假設d(s，t)≠0，則有

ψ(d(s，t))≤ψ(a1d(s，t))-θ(a1d(s，t))<ψ(a1d(s，t))≤ψ(d(s，t))

矛盾. 因此假設不成立，所以d(s，t)=0，即T具有唯一不動點.

推論1 設(X，d) 是具有Hausdorff性質的完備廣義度量空間，自映射T:X→X，若對于所有的

x，y∈X，滿足條件：

ψ(d(Tx，Ty))≤ψ(d(x，y))-θ(d(x，y))

其中，ψ∈Ψ，θ∈Θ， 則T有唯一的不動點.

推論2 (X，d) 是Hausdorff的完備廣義度量空間，自映射T:X→X，若對于所有的x，y∈X，滿足條件：

ψ(d(Tx，Ty))≤ψ(a1d(x，y)+a2d(x，Tx)+a3d(y，Ty))-φ(a1d(x，y)+a2d(x，Tx)+a3d(y，Ty))

其中a1+a2+a3≤1，ai>0(i=1，2，3)，并且ψ∈Ψ，φ∈Φ，則T有唯一的不動點.

注： 顯然推論1和推論2是定理1的推廣.

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