Airy方程的一類邊值問題的解的相似構造法

王芙蓉，李順初，許東旭

(西華大學 應用數學研究所， 四川 成都 610039)

0 引言

特殊函數[1]不僅是研究數學問題中所必須的，也是力學、物理學、大氣科學和海洋學以及工程技術研究中所不可缺少的.近年來的研究[2～4]表明，針對具有轉向點的奇攝動問題及流體線性穩定流動等問題的數學模型，可經變量替換轉化為Airy方程(z″-xz=0)來求解.

本文對Airy方程作適當的變量替換將其轉化為Bessel方程，而Bessel方程在解偏微分方程(滲流微分方程)的邊值問題中經常見到，因此對Bessel方程的求解問題的研究[5～13]就顯得極為重要.2004年提出的解的相似結構理論，即將微分方程的解析表達式進行整理和化簡，得到解式的相似結構形式，更精確地分析了邊界條件對微分方程邊值問題的解的影響[14～18].

本文在以上研究的基礎上，經觀察分析所求的Airy方程的一類邊值問題的解可知，此解具有類似于實數可表示為連分式的所謂式相似的性質.分析求解Airy方程的一類邊值問題的步驟可知，此邊值問題可以先由Airy方程的任意兩個線性無關的解和右邊界條件系數構造出相似核函數，再由左邊界條件中的系數決定的相似結構式進行組裝，得到Airy方程的一類邊值問題的解，從而獲得求解該類邊值問題的一個新方法——相似構造法.該方法不僅方便了工程模型的求解和分析，而且方便了相應工程分析軟件的編制.

1 問題的提出

本文研究如下Airy方程的一類邊值問題:

作者簡介:王芙蓉(1990～)，女，湖北荊門人，碩士生，研究方向為微分方程及其應用.

(1)

其中a，b，m，n，α，β，U均為實數，且U≠0，β>α>0，m2+n2≠0.

在下述第2部分給出四個有用的引理，第3部分論證兩個基本定理，第4部分給出相似構造法的步驟及舉例說明，最后歸納幾點認識.

2 預備知識

引理2 Airy方程的通解為

(2)

其中:d1，d2為任意常數;Ih(·)，Kh(·) 分別為h階的第一、第二類變型Bessel函數.

引理3 構造二元函數

ψm，n(x1，y1，t)=Km(x1t)In(y1t)+(-1)m-n+1Im(x1t)Kn(y1t)

(3)

則有

(4)

(5)

(6)

證 根據變型的Bessel函數的微分性質[19]:

則有

同理可證(5)、(6)式成立.

為便于Airy方程邊值問題(1)的解的構造，下面引入引解函數及解的生成函數.

引理4 由Airy方程的兩個線性無關的解z1(x) ，z2(x)來構造二元函數(稱為引解函數)。

從而得到

(7)

(8)

(9)

(10)

(7)～(10)式稱為解的生成函數.

證 同引理3，根據變型的Bessel函數的微分性質[19]，可得:

同理可證(9)、(10)式成立.

3 主要定理及其證明

定理1 邊值問題

(11)

(其中m，n，α，β均為實數，且β>α>0，m2+n2≠0)有唯一解：

(12)

證 由于 -x≤0，x∈(α，β)，則根據微分方程邊值問題解的唯一性定理[20]知，邊值問題(11)有唯一解.

根據引理2知， Airy方程的通解為(2)式 ，則

(13)

(14)

由于邊值問題(11)有唯一解，則關于待定系數d1，d2的線性方程(13)、(14)的系數行列式△≠0，

即

mφ1，0(α，β)+nφ1，1(α，β)≠0

(15)

由Cramer法則知：

(16)

(17)

將由(16)、(17)式確定的d1，d2代入(2)式中，即得邊值問題(11)的解:

再應用(15)式及引理3，即得(12)式.下面證明，它是邊值問題(1)的解的相似結構中的相似核函數.

定理2 邊值問題(1)有唯一解

(18)

此式稱為邊值問題(1)的相似結構式.

證 同定理1，由于-x≤0，x∈(α，β) ，則根據微分方程邊值問題解的唯一性定理[20]知，邊值問題(1)有唯一解.

(19)

(20)

△*=

(21)

由Cramer法則知：

(22)

(23)

再應用 (21)式和引理3，整理后即得(18)式.

由定理1和定理2，經觀察或簡易地運算，易得在實際應用中的幾個有用的推論.

推論1 在邊值問題(1)或(11)中，若右邊界條件為z(β)=0 (即m≠0，n=0 )，則相應的相似核函數為

(24)

推論2 在邊值問題(1)或(11)中，若右邊界條件為z′(β)=0(即m=0，n≠0)，則相應的相似核函數為

(25)

推論3 邊值問題(1)的解式(18)的結構中的第一個連分式有如下性質:

(26)

此式反映了解在左邊界處的本質性的特征，在實際應用中起著十分重要的作用.

4 利用相似構造法求解問題

對定理1和定理2進行分析，可得Airy方程邊值問題(1)的解的相似構造法步驟：

第一步:由第一、第二類變型的Bessel函數構造二元函數(3)式；

第二步:由Airy方程的兩個線性無關解構造引解函數φ(x，ξ)，對x，ξ求偏導及混合偏導可得到解的生成函數(7)～(10)式；

第四步:由左邊界條件 [az+(1+ab)z′]|x=α=U中的系數a，b，U進行組裝可得Airy方程邊值問題(1)的解(18)式.

例如，對邊值問題：

(27)

根據相似構造法，求解如下:

第一步:構造二元函數

第二步:由Airy方程的兩個線性無關解構造引解函數φ(x，ξ)，從而得到解的生成函數

5 結論與認識

1)Airy方程邊值問題(1)的解式(18)具有類似于實數可表為連分式的所謂式相似的性質.

2)由相似核函數和左邊界條件的系數組裝得到Airy方程的一類邊值問題的解，其中相似核函數φ(x)由Airy方程的任意兩個線性無關解和右邊界條件確定，而當右邊界條件的變化，只需要改變相似核函數即可，這更優于通解的功能，是對通解的深化和發展.

3)此方法方便了工程模型的建立和求解，有利于進一步地分析解的內在規律和編制相應工程分析軟件.

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