基于Kriging模型的發(fā)動(dòng)機(jī)罩多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

陳立娜 張維剛

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙，410082

0 引言

汽車安全是汽車產(chǎn)業(yè)的三大主題之一，行人保護(hù)也日漸成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)問題。據(jù)有關(guān)資料統(tǒng)計(jì)，在與行人直接相關(guān)的交通事故中17.3%的頭部傷害與發(fā)動(dòng)機(jī)罩相關(guān)，因此，合理設(shè)計(jì)發(fā)動(dòng)機(jī)罩的結(jié)構(gòu)與材料，可以大大降低行人在與車輛發(fā)生碰撞時(shí)所受的傷害。

在發(fā)動(dòng)機(jī)罩的設(shè)計(jì)過程中，研究者要綜合考慮安全性、剛度及輕量化等要求，而這些要求往往是相互沖突的，因此發(fā)動(dòng)機(jī)罩的優(yōu)化設(shè)計(jì)過程是一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問題。多目標(biāo)優(yōu)化即是在各個(gè)目標(biāo)之間反復(fù)考量，然后找到一個(gè)最優(yōu)折中方案。考慮到碰撞過程中的非線性及計(jì)算時(shí)間長的問題，在處理多目標(biāo)問題時(shí)引入近似模型，在保證一定精度的情況下，構(gòu)造一個(gè)計(jì)算量小、計(jì)算結(jié)果與實(shí)際仿真結(jié)果相似的數(shù)學(xué)模型代替實(shí)際仿真程序，并在優(yōu)化迭代過程中不斷更新模型、提高精度，使多目標(biāo)優(yōu)化更快更有效地達(dá)到收斂。

作為一種常用的近似模型，Kriging［1］模型起源于地理空間統(tǒng)計(jì)學(xué)，是一種估計(jì)方差最小的無偏估計(jì)模型，具有局部估計(jì)特點(diǎn)，可以較好地預(yù)估未知函數(shù)點(diǎn)處函數(shù)值的分布情況，進(jìn)而可以替代原有的目標(biāo)函數(shù)分析模型，在汽車零部件優(yōu)化設(shè)計(jì)上具有很大的應(yīng)用價(jià)值。

1 問題描述

1.1 頭部沖擊仿真模擬

取某轎車的發(fā)動(dòng)機(jī)罩為研究對象，主要包括內(nèi)板、外板、加強(qiáng)板和鉸鏈，如圖1a所示。按照歐洲EEVC／WG17［2］標(biāo)準(zhǔn)建立成人頭部沖擊器，由后蓋（back plate）、球體（sphere）、頭皮（skin）及包裹在外面的空材料殼單元（null shell）組成，如圖1b所示。整個(gè)頭錘質(zhì)量為4.8kg，頭皮厚度為14mm。

參照EEVC標(biāo)準(zhǔn)，建立的頭部撞擊發(fā)動(dòng)機(jī)罩有限元模型如圖2所示。頭部沖擊器與發(fā)動(dòng)機(jī)罩接觸時(shí)的速度為40km／h，撞擊角度為65°，撞擊點(diǎn)選擇包絡(luò)線范圍（WAD：1500～2100mm）內(nèi)靠近鉸鏈處位置。

圖1 仿真模型的組成

圖2 頭部撞擊發(fā)動(dòng)機(jī)罩有限元模型

以頭部傷害指標(biāo) HIC（head injury criteria）值作為頭部損傷的評價(jià)指標(biāo)：

式中，a為頭部質(zhì)心合成加速度；t為HIC值達(dá)到最大時(shí)的時(shí)間間隔，在行人事故中計(jì)算值最大為15ms。

在LS－DYNA中進(jìn)行模擬仿真，得到最大加速度值為119.5m／s2，計(jì)算所得頭部損傷值（HIC）為1099.51，大于法規(guī)規(guī)定的1000的安全限值。因此，該發(fā)動(dòng)機(jī)罩系統(tǒng)不能滿足法規(guī)要求，而且在CNCAP中得分為0，需要進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì)。

1.2 靈敏度分析

為確定發(fā)動(dòng)機(jī)罩各部件對頭部損傷的影響程度，對其進(jìn)行靈敏度分析。靈敏度分析是指對系統(tǒng)性能因設(shè)計(jì)變量的變化表現(xiàn)出來的敏感程度的分析，通常用導(dǎo)數(shù)信息來表示。在基于近似模型的優(yōu)化過程中，靈敏度是近似模型相對于設(shè)計(jì)變量的導(dǎo)數(shù)，這些導(dǎo)數(shù)信息反映了設(shè)計(jì)變量的改變對目標(biāo)函數(shù)或約束函數(shù)的影響。

本文以發(fā)動(dòng)機(jī)罩內(nèi)板 （t1）、外板（t2）、加強(qiáng)板（t3）和鉸鏈（t4）的厚度作為初始參量，運(yùn)用HIC值對其進(jìn)行評價(jià)，采用最優(yōu)拉丁方法試驗(yàn)選擇8組樣本點(diǎn)，構(gòu)造的一階響應(yīng)面模型為

根據(jù)式（2），通過響應(yīng)面系數(shù)大小比較可以發(fā)現(xiàn)，在各參量中，發(fā)動(dòng)機(jī)罩內(nèi)板對HIC值影響最大，基于此，下面將對發(fā)動(dòng)機(jī)罩內(nèi)板進(jìn)行結(jié)構(gòu)及材料改進(jìn)研究，使發(fā)動(dòng)機(jī)罩在滿足約束條件下達(dá)到性能最優(yōu)。

2 發(fā)動(dòng)機(jī)罩內(nèi)板改進(jìn)設(shè)計(jì)

2.1 結(jié)構(gòu)改進(jìn)

利用拓?fù)鋬?yōu)化方法在發(fā)動(dòng)機(jī)罩內(nèi)板上開孔挖槽改變原結(jié)構(gòu)的材料布置以降低發(fā)動(dòng)機(jī)罩剛度。拓?fù)鋬?yōu)化即是在給定的設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)尋求最優(yōu)材料分布。采用變密度法來定義材料的流動(dòng)規(guī)律，最常用的插值模型為固體各向同性懲罰材料插值模型 （solid isotropic material with penalization，SIMP），它假設(shè)設(shè)計(jì)材料的宏觀彈性常量與其密度是非線性關(guān)系，采用懲罰因子抑制介于0～1之間的單元，尋找具有某種度量的結(jié)構(gòu)材料最佳分布形式。

本文采用基于帶權(quán)重的折中規(guī)劃法［3］，將多工況載荷對應(yīng)的多目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題。依據(jù)SIMP密度函數(shù)插值模型，在OPTISTRUCT中建立彎曲和扭轉(zhuǎn)兩種工況下發(fā)動(dòng)機(jī)罩的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型，其表達(dá)式為

式中，ρ為單元相對密度；V、V＊分別為罩板材料總體積和給定的材料體積上限；m 為載荷工況總數(shù)；Ck（ρ）為第k個(gè)工況的柔度目標(biāo)函數(shù)分別為第k個(gè)工況柔度目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值；P為懲罰因子，P＝3，用以實(shí)現(xiàn)對材料中間密度的懲罰。

以彎曲和扭轉(zhuǎn)工況下發(fā)動(dòng)機(jī)罩的加權(quán)應(yīng)變能最小化為優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)，設(shè)定體積分?jǐn)?shù)上限值為0.45，施加對稱約束得到的拓?fù)鋬?yōu)化前后的發(fā)動(dòng)機(jī)罩內(nèi)板幾何模型如圖3所示。

圖3 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果前后對比圖

2.2 模型驗(yàn)證

將初始模型中的發(fā)動(dòng)機(jī)罩內(nèi)板替換為改進(jìn)后的內(nèi)板，在LS－DYNA中進(jìn)行數(shù)值仿真分析。改進(jìn)前后頭部質(zhì)心加速度曲線及碰撞力曲線對比如圖4所示。

由圖4可知，頭部質(zhì)心加速度曲線及碰撞力曲線在內(nèi)板改進(jìn)后的峰值加速度及峰值碰撞力分別下降了14.8%和16.79%，且曲線波形圖基本一致，由于外板的慣性質(zhì)量產(chǎn)生了第一個(gè)峰值，而后與內(nèi)板接觸產(chǎn)生了第二個(gè)峰值，因此，改進(jìn)后的模型是合理的，可以利用它進(jìn)行下一步的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。

圖4 改進(jìn)前后曲線對比

3 基于Kriging模型的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 樣本點(diǎn)選取

以發(fā)動(dòng)機(jī)罩內(nèi)板、外板、加強(qiáng)板及鉸鏈的厚度為設(shè)計(jì)變量t1、t2、t3、t4，初始值分別為0.8mm、0.7mm、0.75mm、2.0mm，根據(jù)工程上板料厚度規(guī)定選取各變量取值范圍如下［4－5］：t1，t2，t3∈［0.5，2.0］mm，t4∈［1.5，3.0］mm。利用最優(yōu)拉丁方法在整個(gè)設(shè)計(jì)空間中進(jìn)行20次全局采樣，然后通過有限元計(jì)算程序LS－DYNA及OPTISTRUCT進(jìn)行仿真計(jì)算得到質(zhì)量、HIC值及模態(tài)值。

3.2 Kriging近似模型

3.2.1 Kriging模型理論

Kriging模型假定的系統(tǒng)響應(yīng)值與自變量之間的關(guān)系為

式中，f（x）為關(guān)心的未知函數(shù)；g（x）為以x為自變量的多項(xiàng)式函數(shù)，稱為確定性漂移；z（x）為非零的隨機(jī)過程，稱為漲落。

z（x）非零過程漲落統(tǒng)計(jì)特征表達(dá)式為

式中，σ2為方差；R（xi，xj）為關(guān)于樣本中兩個(gè)任意樣本點(diǎn)xi、xj的相關(guān)函數(shù)；R為ns×ns維對角線為1的對稱正定矩陣，常用高斯函數(shù)作為核函數(shù)。

相比于其他傳統(tǒng)的插值技術(shù)，Kriging模型有兩方面的優(yōu)點(diǎn)：第一，Kriging模型以已知信息的動(dòng)態(tài)構(gòu)造為基礎(chǔ)，即只使用估計(jì)點(diǎn)附近的某些信息；第二，Kriging模型同時(shí)具有局部和全局的統(tǒng)計(jì)特性，使得其可以分析已知信息的趨勢和動(dòng)態(tài)。

3.2.2 Kriging模型的建立

由Kriging近似模型理論可知，一旦樣本點(diǎn)（xi，yi）確定，無約束非線性優(yōu)化器便被激活來尋求最大似然函數(shù)值θi。首先隨機(jī)確定一組θi值作為初始輸入，然后求出θi相關(guān)矩陣R、，進(jìn)而可以求出R和2，并得出一個(gè)最大似然值，該值被返回優(yōu)化循環(huán)來判斷是否取得最大值，當(dāng)取得最大值時(shí)，循環(huán)終止并記錄響應(yīng)的θ值。由此可建立關(guān)于頭部損傷值、質(zhì)量及模態(tài)的Kriging近似模型fH、fma、fmo。通過求解器求得的似然函數(shù)最大值（MLE）和相關(guān)系數(shù)θ分別如表2、表3所示。

表2 Kriging模型最大似然函數(shù)值

表3 Kriging模型相關(guān)系數(shù)值

為檢驗(yàn)近似模型的擬合精度，在設(shè)計(jì)空間任意選取設(shè)計(jì)方案外的3組樣本點(diǎn)進(jìn)行仿真模型與近似模型的對比，擬合情況如表4所示。

表4 近似模型擬合誤差

由表3可見，構(gòu)建的Kriging模型對質(zhì)量、HIC及模態(tài)的擬合誤差都控制在1.0%以內(nèi)，表明建立的近似模型可以高精度地?cái)M合設(shè)計(jì)變量與響應(yīng)之間的關(guān)系，可以用于進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3.3 多目標(biāo)優(yōu)化

確定優(yōu)化目標(biāo)為：

（1）頭部損傷值HIC反應(yīng)了行人頭部在碰撞過程中的損傷程度，要求越小越好［6］，根據(jù)歐洲NCAP規(guī)定，要達(dá)到四星標(biāo)準(zhǔn)，HIC值應(yīng)小于650。

（2）考慮到車身輕量化對節(jié)能環(huán)保的重要意義，質(zhì)量要求越小越好。

（3）模態(tài)分析的主要目的是避免結(jié)構(gòu)模態(tài)與激勵(lì)頻率耦合時(shí)產(chǎn)生過大的車內(nèi)噪聲，汽車行駛中因車輪不平衡引起的激勵(lì)頻率一般低于11Hz，而怠速為600r／min的四缸發(fā)動(dòng)機(jī)的爆發(fā)頻率為20Hz，因此，發(fā)動(dòng)機(jī)罩的固有頻率應(yīng)盡量避開這些激勵(lì)所產(chǎn)生的頻率。

基于以上分析，建立的發(fā)動(dòng)機(jī)罩多目標(biāo)優(yōu)化模型為

3.4 優(yōu)化求解

傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法如加權(quán)組合法、目標(biāo)規(guī)劃法等都是通過某種數(shù)學(xué)變換將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)進(jìn)行求解，這種方法在工程應(yīng)用中往往受設(shè)計(jì)人員主觀因素的影響，很難取得最優(yōu)解。Deb等［7］提出的NSGA－Ⅱ多目標(biāo)遺傳算法，是目前公認(rèn)的求解多目標(biāo)問題最有效的優(yōu)化算法之一。Zitzler等［8］對 MOGA（多目標(biāo)遺傳算法）、NSGA（非劣分層遺傳算法）、NPGA（小組決勝遺傳算法）進(jìn)行了系統(tǒng)的定量實(shí)驗(yàn)比較，發(fā)現(xiàn)NSGA算法的性能是最優(yōu)越的［9］。

本文利用NSGA－Ⅱ算法求解該多目標(biāo)優(yōu)化模型，選定的個(gè)體總數(shù)為30，經(jīng)過100次遺傳算法迭代得到多目標(biāo)Pareto最優(yōu)解集。

Pareto解集無論對于設(shè)計(jì)變量，還是目標(biāo)值，都為設(shè)計(jì)人員提供了很大的設(shè)計(jì)空間，設(shè)計(jì)者可以根據(jù)對目標(biāo)的期望來選取合適的設(shè)計(jì)變量。

3.5 優(yōu)化結(jié)果分析

考慮到行人安全在三個(gè)目標(biāo)中影響最大，選定內(nèi)板厚度為0.7mm，外板厚度為0.75mm，加強(qiáng)板厚度為0.8mm，鉸鏈厚度為2.5mm，采用數(shù)值分析的方法進(jìn)行仿真計(jì)算［10－11］。

改進(jìn)前的初始結(jié)構(gòu)質(zhì)量為20.63kg，改進(jìn)后的最優(yōu)結(jié)構(gòu)質(zhì)量為18.99kg，減少了7.95%；改進(jìn)前的結(jié)構(gòu)模態(tài)為11.81Hz，改進(jìn)后的結(jié)構(gòu)模態(tài)為13.07Hz，提高了10.67%，使發(fā)動(dòng)機(jī)罩的防振性能得以優(yōu)化；初始結(jié)構(gòu)在碰撞過程中的頭部損傷值為1099.51，改進(jìn)后的頭部損傷值為603.25，下降了45.13%，使其性能達(dá)到歐洲EEVC的四星標(biāo)準(zhǔn)，對碰撞過程中的行人頭部起到了更好的保護(hù)作用。

上述分析結(jié)果表明，發(fā)動(dòng)機(jī)罩內(nèi)板經(jīng)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化改進(jìn)后，不僅其系統(tǒng)安全性和防振性能得到提高，而且因其結(jié)構(gòu)輕量化更加節(jié)能環(huán)保。

4 結(jié)論

基于近似模型的靈敏度分析，針對發(fā)動(dòng)機(jī)罩內(nèi)板的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用建立的Kriging近似模型并結(jié)合NSGA－Ⅱ多目標(biāo)進(jìn)化算法對改進(jìn)后的模型進(jìn)行的優(yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化仿真結(jié)果表明，改進(jìn)后的發(fā)動(dòng)機(jī)罩HIC值下降了45.13%，能夠更好地提高轎車的行人保護(hù)性能，同時(shí)，質(zhì)量減輕7.95%、模態(tài)值提高了10.67%，兼顧了安全性、防振及輕量化三項(xiàng)指標(biāo)，為汽車發(fā)動(dòng)機(jī)罩的研究設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

［1］Simpson T W.Kriging Models for Global Approximation in Simulation－Based Multidisciplinary Design Optimization［J］.AIAA Journal，2001，12（39）：2233－2241.

［2］European Enhanced Vehicle－Safety Committee.Improved Test Methods to Evaluate Pedestrian Protection Afforded by Passenger Cars［R］.Brussels：EEVC Working Group 17Report，2002.

［3］范文杰，范子杰，蘇瑞意.汽車車架結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化方法研究［J］.中國機(jī)械工程，2008，19（12）：1505－1508.Fan Wenjie，F(xiàn)an Zijie，Su Ruiyi.Multi－objective Topology Optimization of Automobile Frame Structure［J］.China Mechanical Engineering，2008，19（12）：1505－1508.

［4］廖君.車用鋁合金輕量化材料［J］.汽車工藝與材料，2008（2）：8－10.Liao Jun.Vehicle Aluminum Lightweight Materials［J］.Automobile Technology ＆ Material，2008（2）：8－10.

［5］馮銀成.6061鋁合金熱變形及時(shí)效過程中的組織力學(xué)行為研究［D］.長沙：湖南大學(xué)，2010.

［6］Koki Ikeda，Hideki Ishitobi.Development of Aluminum Hood Structure for Pedestrian Protection［J］.AE Paper，2003（1）：537－542.

［7］Deb K，Pratap A，Agarwal S，et al.A Fast and Elitist Multi－objective Genetic Algorithm：NSGA－Ⅱ［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2002，6（2）：182－197.

［8］Zitzler E，Thiele L.Multi－objective Optimization Using Evolutionary Algorithms－a Comparative Case Study［J］.Parallel Problem Solving from Nature－PPSNV，1998，4（3）：292－301.

［9］王曉鵬.多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的Pareto遺傳算法［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2003，25（12）：1558－1561.Wang Xiaopeng.Pareto Genetic Algorithm for Multi－objective Optimization Design［J］.System Engineering and Electronics，2003，25（12）：1558－1561.

［10］李莉，楊濟(jì)匡.汽車與行人碰撞的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)仿真研究［J］.計(jì)算機(jī)仿真，2003，20（7）：49－51.Li Li，Yang Jikuang.Stimulation Study on Dynamic Response of Pedestrian in Vehicle Front Impact［J］.Computer Simulation，2003，20（7）：49－51.

［11］高云凱，孫芳，余海燕.基于Kriging模型的車身耐撞性優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.汽車工程，2010，32（1）：17－21.Gao Yunkai，Sun Fang，Yu Haiyan.Crashworthiness Optimization of Car Body Based on Kriging Surrogate Model［J］.Automotive Engineering，2010，32（1）：17－21.