空船壓載狀態優化計算的數學模型

邱文昌，張春燕，周云薇

(上海海事大學商船學院，上海 201306)

0 引言

散裝液貨船(油船、液化氣體船和液體化學品船)和礦砂船幾乎有一半航程在空船壓載狀態下航行，其他類型的船舶在營運中也常會遇到空船壓載下航行的情況.因此，研究各類船舶在不同海況下的空船壓載優化方案，對減小船舶阻力、提高船舶快速性和耐波性、實現船舶節能增效目標具有重要的意義.［1］

習慣上，多數船舶在空船狀態下采用本船《裝載手冊》中所推薦的壓載方案(簡稱推薦方案).實際上，推薦方案提供的壓載狀態常常在滿足船舶浮態、穩性和縱強度要求下，多數壓載艙滿載或接近滿載，適合船舶在限定航區各種海況下航行，但推薦方案并非是特定海況下的最佳方案.

本文在兼顧船舶浮態、穩性和總縱強度要求下，設計算法并建立求解船舶優化壓載方案的多目標數學模型，借助LINGO編程給出一個求解空船優化壓載方案的計算實例.

1 空船優化壓載方案的求解算法和模型

1.1 船舶浮態、穩性和縱強度要求

空船優化壓載方案不但應滿足船舶浮態、穩性和縱強度的最低要求，而且應同時優化船舶浮態、穩性和縱強度的指標值，并使壓載水的總量相對較小.

1.1.1 浮態

船舶在同一排水體積下處于不同的浮態，直接影響水下流線型船體的形狀和船體浸水面積，從而影響船舶的水下阻力.

對于最小艏吃水dFmin，上海船舶運輸科學研究所在分析國際海事組織(International Maritime Organization，IMO)浮態衡準后提出建議［2］為

式中:Lbp是船舶垂線間長.該項要求是為保持船舶球鼻首適度浸入水中，可以改善船體水下的流線型形狀、降低船舶興波阻力等.

最小艉吃水 dAmin應滿足使螺旋槳沉深比h/D≥0.625的要求，保證船尾螺旋槳浸沒水中一定深度，以提高螺旋槳的推進效率.

空船壓載狀態下通常要求吃水差

船舶在空載狀態下的平均吃水同時還影響到水線以上船體的受風面積和水線以下船體的浸水面積.不同海況(特別在惡劣海況)下萬噸級船舶的最小平均吃水dMmin通常要求超過其夏季滿載吃水50%.上海船舶運輸科學研究所提出建議為

筆者認為，大型船舶在海況良好時可適度減少船舶平均吃水，以降低船舶阻力、增加航速.

船舶在任一裝載狀態(包括空載)下，應滿足無初始橫傾角的要求.

1.1.2 穩性和縱強度

在空船壓載下船舶穩性通常都能滿足法定要求，但許多船舶在空載時的重心偏低，初穩心高度偏

式中:hGM和hGM0分別為船舶經自由液面修正和未經自由液面修正的初穩心高度，m;hGMC和hGM9s分別為船舶最小許用初穩心高度和橫搖周期9 s對應的船舶初穩心高度，m.船舶某浮態下的初穩心高度在滿足式(1)的條件下取優化值(可由軟件用戶修改)

在空船壓載下船舶縱強度通常也能滿足要求，但在空船壓載方案的求解中其縱強度指標存在較大的優化余量.設定具體的船體縱強度校核指標為:船舶每一校核縱強度的橫剖面上的切力比和彎矩比中最大值不大于100%，期望值小于50%;其各切力比和彎矩比的平均值不大于100%，期望值小于10%.

1.2 空船優化壓載方案的算法

空船優化壓載方案的算法［3－5］如下:

(1)獲取船舶相關壓載艙容積、壓載水密度、船體縱強度等數據.若設船舶共有nt個壓載艙，其艙容分別為 V1，V2，…，Vk，…，Vnt，壓載水密度為 ρ，則各壓載艙的最大壓載質量為mPmax1，mPmax2，…，mPmaxk(=Vk·ρ)，…，mPmaxnt;設船體強度校核ns個剖面最大允許切力值為 FSmax1，FSmax2，…，FSmaxi，…，FSmaxns，nb個剖面最大允許彎矩值為 MBmax1，MBmax2，…，MBmaxi，…，MBmaxnb.

(2)設置船舶初始壓載狀態.借助船舶裝載軟件，在某油水裝載狀態下，調整船舶各壓載艙的初始壓載質量(設初始壓載質量為 mP01，mP02，…，mP0k，…，mP0nt)，使之滿足船舶浮態要求(dF≥dFmin;dA≥dAmin;吃水差t等于設定最佳值topt(即t=topt);橫傾角θ等于0(即θ=0)下，使船舶排水量mΔ達到其最小值 mΔmin(即 mΔ=mΔmin).

(3)確定船舶各壓載艙壓載質量取值范圍.設mPmaxk為第k壓載艙最大壓載質量，它等于第k壓載艙艙容與壓載水密度之積;設ΔmPk為在初始壓載狀態下第k壓載艙壓載質量的改變值，則

(4)初始壓載狀態下獲取船舶切力、彎矩和吃水差，以及加載100 t船舶切力、彎矩和吃水差改變值.即獲取ns個強度校核剖面剪切力值FS01，FS02，…，FS0i，…，FS0ns;nb個強度校核剖面彎矩值 MB01，MB02，…，MB0i，…，MB0nb;各壓載艙加載100 t每一縱強度校核剖面剪切力改變值、彎矩改變值和吃水差大而搖擺周期偏小，需要在確定空船壓載方案時予以考慮.設定船舶穩性指標要求為改變值(如第k壓載艙剪切力改變值ΔFSk1，ΔFSk2，…，ΔFSki，…，ΔFSkns，彎矩改變值 ΔMBk1，ΔMBk2，…，ΔMBki，…，ΔMBknb和吃水差改變值 Δtk).

(5)借助數學模型(第1.3節)和LINGO編程并運行程序，求解船舶優化壓載方案.船舶的優化壓載質量為:mP01+ΔmP1k，mP02+ΔmP2k，…，mP0k+ΔmPkk，…，mPnk+ΔmPnk.

(6)將求解的優化壓載方案輸入裝載軟件進行驗算.即將第5步的優化壓載質量輸入裝載軟件，以獲取裝載軟件的計算結果.

(7)比對數學模型求算結果和船舶裝載軟件計算結果.①檢查裝載軟件計算結果中船舶橫傾角是否接近0，艏艉吃水、吃水差和排水量是否均達到設定的浮態要求值，核查船舶初穩心高度hGM是否滿足設定要求.②將數學模型求算結果中各強度校核剖面的剪切力比及彎矩比數據與船舶裝載軟件的相應計算結果進行比對.

(8)若對第7步比對結果不滿意，則調整數學模型中的權重或由優化方案給出的某艙實際壓載的改變量，修改加載100 t船體剪切力、彎矩或吃水差改變值，再轉至第5步.

(9)若對第7步比對結果滿意，則算法結束.

1.3 數學模型

空船狀態下通過壓載水調整船舶縱傾(吃水差)和橫傾的目標易于達到，因此將該兩項指標置于模型的約束條件內.鑒于通過壓載水調整船舶縱強度和穩性指標的難度較高，常常會出現顧此失彼現象，所以將其組合后置于數學模型的目標函數中.

空船優化壓載方案的數學模型［6］中的目標函數為

式中:wstr為縱強度效用值權重;wstb為穩性效用值權重.

定義縱強度效用值為

縱強度剪切力比和彎矩比(即船體某剖面實際剪切力或彎矩占其最大允許值之百分比)最大值PRSBmax的效用值被定義為

定義縱強度剪切力比和彎矩比平均數PRSBaves效用值為

第i剖面剪切力比

第j剖面彎矩比

定義船舶穩性調整的效用值為

式(2)中權重wstr和wstb用于反映對船體縱強度和穩性評價中的相對重要程度，需要依據不同船舶空船時縱強度和穩性的實際狀況或偏好確定;Ustr和Ustb是船體縱強度評價效用值和船舶穩性評價效用值，取值范圍［0，1］.

式(3)中umaxs和uaves是船體強度各校核橫剖面剪切力比和彎矩比(式(8)和(9))中最大值(式(5))和平均值(式(7))的效用值，其取值范圍［0，1］，計算公式見式(4)和(6).根據船舶縱強度校核橫剖面剪切力比和彎矩比最大值PRSBmax和平均值PRSBaves的實際狀況，兩者均不可能等于0，而當兩者之一超過100時，其效用值umaxs和uaves即為0.從式(3)可知，若umaxs和uaves兩者之一取0，則縱強度效用值Ustr為0，也即意味著縱強度不滿足要求.

式(4)是設定當校核強度剖面的剪切力比和彎矩比的最大值的效用值PRSBmax≤50%時，其效用值取1;PRSBmax＞100%，則取 0;當 PRSBmax在 50% ～100%之間時，依據前段PRSBmax在50% ～90%之間較平坦，后一段 PRSBmax在90% ～100%之間較陡峭，PRSBmax為90%的效用值取0.7(采用MATLAB擬合曲線方法獲得效用值計算公式).

式(6)是設定當校核強度剖面的剪力比和彎矩比平均值的效用值PRSBaves≤10%時，其效用值取1;PRSBaves＞100%，則取0;當 PRSBaves在10% ～100%之間時，依據設定接近直線的上凸曲線(采用MATLAB擬合曲線方法獲得效用值計算公式).

式(7)，(8)和(9)中設定的符號與前述算法中一致.其中，式(8)和(9)建立的條件是在船舶浮態不變條件下，將船上少量載荷縱向位置改變引起的每一剖面上剪切力和彎矩改變量近似看作呈線性關系［3］.

式(10)為調整船舶穩性的效用值計算公式，式中:下標 u={C1|1，2，…，k，…，nt}，其中，設定 C1條件為壓載艙中艙容中心高于船舶重心高度時壓載艙編號集合;下標 d={C2|1，2，…，k，…，nt}，其中，設定C2條件為壓載艙中艙容中心低于船舶重心高度時壓載艙編號集合.式(10)系數取0.8是考慮當上或下層壓載艙只配置50%壓載水時設置的效用值為0.6.mRBWu和mRBWd分別表示艙容中心高于和低于船舶重心高度時壓載艙的最大壓載量之和與船舶總壓載量的差值，當前者小于后者時取0.k1和k2是船舶重心高度調整系數，當期望提高船舶重心高度時，取k1=1，k2=0;當期望降低船舶重心高度時，取k1=0，k2=1;當不需要考慮船舶重心高度的調整時，取 k1=0，k2=0.

式(11)中yk表示第k壓載艙重心橫向距船中縱剖面距離，左舷取負值，右舷取正值.不等式右邊表示導致船舶橫傾0.05°時所需橫傾力矩.由于所設置的船舶初始浮態已滿足船舶橫傾角為0，滿足該式即表示優化壓載方案能夠保證船舶初始橫傾角不大于0.05°.

式(12)左邊表示第k壓載艙壓載量的改變值Δmk乘以其加載100 t吃水差改變值Δtk之后除以100，右邊表示期望的吃水差topt與將優化壓載方案輸入裝載軟件后獲得的吃水差之間差值ta.ta值初始取0，將優化壓載方案輸入裝載軟件后，若計算結果中顯示的吃水差tc≠topt，取ta=topt－tc，需再次求解優化壓載方案.

式(13)表示在船舶初始壓載方案基礎上，各壓載艙可供調整壓載量的上下限.

式(14)表示與船舶初始壓載方案相比，各壓載艙壓載量的改變值之和為0，即保證優化壓載方案滿足 mΔ=mΔmin的要求.

2 空船優化壓載方案的計算實例

為驗證算法與模型，嘗試采用LINGO編程［7］，以德國SEACOS GmbH公司開發的SEACOS V3.21裝載系統為驗證平臺，完成一個SEACOS V3.21裝載軟件演示版中所包含的一艘典型9個貨艙22個壓載艙尾機型散貨船(資料見表1和2)的空船優化壓載方案的實例計算.

2.1 設定的船舶初始壓載狀態

船舶初始壓載狀態需要滿足其浮態與優化壓載狀態相同這一條件.設置初始壓載狀態的目的是為保證某壓載艙改變壓載量時，僅引起載荷重力分布發生變化而船體水下浮力不變.經裝載軟件測試表明，在此條件下船上載荷的變化量與某強度校核剖面上的剪切力與彎矩近似成正比.此外可以證明，在船舶排水量不變的條件下，船上載荷變化量與船舶吃水差變化量成正比.

表1 M.V.“Seabulk”主要參數1

表2 M.V.“Seabulk”主要參數2

設定初始壓載狀態下的船舶浮態是:艏吃水為dF=0.012Lbp+2=5.12 m，按螺旋槳沉深比取0.65確定艉吃水為dA=9.27 m，吃水差t=－4.15 m(滿足其絕對值與船長之比小于2.5%的要求)，船舶初始橫傾角等于0°.由此確定的船舶平均吃水為7.04 m(排水量62845.2 t)，小于《裝載手冊》推薦方案的8.28 m(排水量75121.7 t).船舶離港狀態下油水裝載情況為:燃潤油2247 t，淡水949 t，船舶常數和備品350 t.裝載軟件顯示，經對各壓載艙反復調整壓載量后其浮態能夠滿足設定要求，總量37199 t壓載水在各艙分布見表3.在初始壓載狀態下各壓載艙經加載100 t載荷后獲取船體縱強度和吃水差數據，見表4.

表3 初始壓載方案各艙壓載質量

表4 每加載100 t各橫剖面剪切力、彎矩和吃水差變化量

2.2 數學模型的求解

基于LINGO 12.0編程求得的優化壓載方案見表5.初始壓載狀態下船舶重心過低，初穩心高度偏大，因此取k1=1，k2=0.由表2可見，壓載艙中艙容中心高于船舶重心高度的壓載艙編號集合包括5個上邊艙1US＆P，2US＆P，3US＆P，4US＆P，5US＆P 和尾尖艙APT.式(10)中定義的mRBWu=0(因上述共11艙最大裝載量22101.3 t小于壓載總量37199 t).

經LINGO兩次解算和裝載軟件驗算獲取ta為0.16 m，船舶初始橫傾角為0，以及縱強度校核指標LINGO解算值和裝載軟件驗算結果以及兩者間誤差見表6.為簡化起見，僅給出5個肋骨數據)，其最大絕對誤差為－2.7，絕對平均誤差為－0.91.經對數學模型的多次解算結果的比較，并考慮到壓載方案對船舶穩心高度的調整余量較小，在實例計算中wstr取 0.7，wstb取 0.3.

表5 LINGO解算的優化壓載方案

表6 縱強度指標的計算誤差

2.3 優化壓載方案與推薦方案的比較

由模型解算獲得的優化壓載方案所確定的船舶重心垂向高度由初始壓載方案的11.14 m(推薦方案為11.74 m)提高到12.79 m，船舶橫搖周期相應提高近1 s，達到8.9 s.顯然，在優化壓載方案下船舶的穩性有一定程度改善.而采用優化壓載方案對船舶縱強度指標的改善效果也非常明顯(見表7)，推薦壓載方案的剪切力比和彎矩比中最大值是94.8%，優化壓載方案是91.9%，推薦壓載方案的剪切力比和彎矩比平均值是51.6%，優化壓載方案僅為30.9%.

表7 兩種壓載方案的縱強度評價指標比較

另外，將同一艘船的優化壓載方案與船舶《裝載手冊》推薦的壓載方案進行比較，僅存在吃水差和平均吃水兩方面的差異，符合運用海軍系數法［8］要求的兩船主尺度比、船型系數、型線形狀以及相應速度比較接近的條件，因此可以運用海軍系數法估算同一船兩種壓載狀態下主機功率消耗和船速.優化壓載方案與推薦壓載方案因前者壓載水比后者減少12276.5 t，采用海軍系數法的估算結果是:相同船速下優化壓載方案的主機功率消耗減小11.2%;在相同主機功率消耗下，船速提高4.0%.

3 結束語

目前，國內外各類規則對空船壓載狀態下的船舶平均吃水并無強制要求，本文給出一種理論上的空船優化壓載方案計算方法.此方法可擴展應用于確定各類船舶在任一裝載狀態下的優化壓載方案中.對于特定船舶，應當存在一個隨船舶油水消耗和海況不同而動態變化的，能使船舶總阻力最小、船速最快的最佳壓載方案.這種方案需要船舶駕駛人員針對不同船舶裝載狀況和海況，通過多次調整船舶壓載方案改變船舶不同縱傾和平均吃水后獲取.顯然，采用優化壓載方案的船舶在航行中如遇惡劣海況時，還是應降低船速，適當增加船舶平均吃水，或采用《裝載手冊》中推薦的壓載方案.

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