初中統(tǒng)計與概率的難點分析及教學對策

安徽省肥西縣上派初級中學數學課題組 衛(wèi)德彬 李祖海 劉 輝 （郵編：231200）

學習心理學指出：不同的年齡、經驗程度與學習能力密切相關.現行全日制義務教育《數學課程標準》通盤考慮了九年的課程內容，把“統(tǒng)計與概率”作為一個完整的學習內容板塊，與“數與代數”、“圖形與幾何”及“綜合與實踐”一起貫穿于義務教育數學課程始終，將“概率統(tǒng)計”放到與代數、幾何同等重要地位.統(tǒng)計與概率作為教材中一個新的內容進入數學新課程，必然帶來許多教學上的問題.因此，對初中統(tǒng)計與概率的難點剖析及教學策略的探究就顯得十分迫切.

1 初中統(tǒng)計與概率的難點分析

統(tǒng)計與概率研究的對象、研究的思路與方式、以及獲得的研究結論的性質，都與初中學生過去所接觸到的數學內容有根本的不同.他們以往學習的代數、幾何屬于“確定性”數學，而統(tǒng)計與概率屬于“或然性”數學，這對初中生來說是一個大的飛躍.由于知識儲備的不足以及新的學習內容與學生已有的認知水平存在的較大落差，初中生在學習統(tǒng)計與概率的知識方面面臨著許多的困難.下面就這部分的難點作一點具體分析.

1.1 總體、樣本的概念以及用樣本估計總體的統(tǒng)計思想

統(tǒng)計學的研究對象是客觀現象總體的數量特征和數量關系，以及通過這些數量方面反映出來的客觀現象發(fā)展變化的規(guī)律性.知識結構相對獨立，而學生學習這一新知識的知識儲備卻很少.盡管教材編寫大都從對一組數據的收集、整理、計算入手，把學生熟悉的平均數的概念及計算作為學習新概念的起點，為學生正確理解“考察對象”的意義做鋪墊，但教師教學時往往忽略了這一鋪墊.

用樣本的特征來估計總體相應的特征，這與學生習慣的代數運算、幾何推理很不一致，學生原有的數學知識（經驗）的定勢影響著統(tǒng)計思想方法的滲透.

學生生活經驗與統(tǒng)計實踐的貧乏使得理解“為什么要用樣本估計總體”有難度，再加上抽樣的隨機性以及用不同樣本估計總體可能帶來的偏差又會造成學生“操作”與“認可”的困難.

1.2 方差的概念

方差是衡量一組數據波動大小的特征數.它與平均數不同，學生幾乎沒有相關的預備知識，他們難以理解數據的“波動”，對方差的引入感到茫然.

方差的定義抽象、復雜、邏輯性強，這與以形象思維為主的初中學生的思維距離較大，教師教學時若過于直接，沒有真正帶動學生經歷統(tǒng)計活動的全過程，不能展示方差概念的引入、構造乃至形成、修正的創(chuàng)造活動，就難以獲得對方差概念的正確認識.

對于容量較大或數據較為復雜的樣本，計算方差非常繁雜且易出錯，學生很不習慣，往往因缺乏耐心而退卻，給鞏固深化概念造成障礙.

方差用“s2”表示，與學生知識結構中諸種表示符號不一致，也會造成不適應.

1.3 列頻數分布表

了解數據的分布規(guī)律，學生雖有把考試成績列出各分數段人數的經驗，但分數段（組距）為10分是固定的，而現實大量數據在刻畫分布規(guī)律時，組距、組數需要學生自己決定，幾次嘗試也難以確認哪種方法合適，又無法用結果驗證，這對學生長期形成的固定的解題思路和肯定的結論是一次很大的沖擊.他們習慣得到明確固定的分組方法，而不適應自己選擇組距、組數，因而處理問題時猶豫不決，束手無策，這是列頻數分布表的主要困難.

對一組數據列頻數分布表，其過程繁瑣費時，要求學生十分認真仔細，稍有疏忽便前功盡棄，這與初中學生自制力差、精力集中時間短、意志薄弱的特點形成較大反差，頻頻失敗肯定會造成學生心理上的壓力.

1.4 頻率與概率

試驗頻率穩(wěn)定于理論概率，它是用實驗的方法估計隨機事件發(fā)生的概率的基礎.但對于初中學生的知識結構，難以給出一個理論解釋，只有借助于大量的重復實驗進行感悟、體會、認可.我們實際教學時，由于教師主觀上忽視和客觀上學時不足，很少引導學生親自動手實驗，收集實驗數據，分析實驗結果，并將結果與自己的猜測進行比較、篩選，或者沒有反復經歷這一試驗過程，不能消除錯誤生活經驗的遷移，造成認知困難.

隨機現象的結果事先無法預料，“大量重復實驗時頻率可作為事件發(fā)生的概率估計值.”的數學思想非常抽象、高度概括，這對于初中學生思維水平和知識經驗無疑都存在大的跳躍.我們無法像解方程那樣設計題組有易到難，給學生搭幾步臺階，只能在大量重復實驗中讓學生體會、感悟，這是學習內容與教學方法本身的困難.

列舉法要求不重不漏的列舉出所有在尋找答案時應當加以考慮的各種可能，須思考縝密，十分細心.這對學生思維水平和做題習慣是全新的挑戰(zhàn).

2 初中統(tǒng)計與概率的的教學對策

根據以上分析，初中統(tǒng)計與概率的的教學必須突出重點，突破難點，針對不同的學生基礎和不同的學習內容，鋪墊階梯，創(chuàng)設情境，喚起學生原有的認知結構中的有關知識和經驗，使破解難點成為發(fā)展學生思維水平、增強學習意志和信心，從而獲得更廣泛的知識和經驗的契機.因此，在教學中，要切實作好以下工作：

2.1 突出概率統(tǒng)計的實際意義，激發(fā)學生認知需要，樹立學習信心

關于方差概念的教學，在學生的生活經驗里，往往喜歡用平均數來衡量一組數據.例如小明三次數學考試的成績是：90，95，100；小穎成績是：80，80，80.他們通過比較自然判斷小明成績好，因為他的平均分高.如果只是比較二者誰成績穩(wěn)定，顯然是小穎，但用哪個指標來佐證小穎的穩(wěn)定性好于小明？平均數、中位數、眾數等“平均尺度”皆不奏效，這就為引入新的特征量做好了鋪墊.

也可以拋給學生有爭議的現實問題讓他們裁決，激發(fā)求知的內驅力.在引出方差概念時，提出“選拔參加2008北京奧運會的男子10米氣步槍射擊選手，甲、乙隊員各射擊5發(fā)，預賽成績如下（環(huán)）：

甲：10.9，7，8.2，10.5，8.4

乙：9，9.3，9.6，8.6，8.4

學生觀察、分析、計算數據，幾經討論也不能斷定.他們急于想解決但僅憑已有知識又無法解決，這就造成了認知上的“沖突”，激發(fā)起求知欲望，就為引入方差做好心理上的準備.

再如概率的學習.隨機現象表面看毫無規(guī)律，出現哪一種結果事先無法預料，概率不能提供準確無誤的答案，例如，你從裝有99個紅球、1個黑球的袋中隨意摸出一個，不能保證就是紅球；如果天氣預報“明天下雨的概率是90%而后天是10%”，但有可能明天晴后天卻下雨；在擲硬幣游戲中，盡管國徽朝上的概率是50%，連擲5次國徽朝下，再擲第6次也不一定是國徽朝上.這些會給學生造成誤導和成見，學習概率沒有價值，意義不大，影響著學習的動因及熱情.這就需要我們引導學生從他們熟悉的感興趣的現象入手，經歷動手操作、收集和分析試驗數據，成功地做出判斷與選擇，體驗概率思維方式的不可替代性及在現實生活中的價值，激發(fā)探究樂趣，培養(yǎng)學習信心.

統(tǒng)計與概率內容的設置，除了讓學生學習一些最基本的統(tǒng)計分析的方法，而更重要的是要讓學生體會統(tǒng)計的作用和基本思想.本學段的學生對現實社會環(huán)境中的問題具有越來越強烈的興趣，這種興趣是學習這部分內容的一種極好的動力，教學時應著重于對現實問題的探索，引導學生通過對各種案例的分析使學生認識到統(tǒng)計與概率的廣泛應用，以及對制定決策的重要作用.教師應當根據學生的自身特點提供豐富的、反映統(tǒng)計與概率思想方法的探索素材，引導他們把對統(tǒng)計與概率的探索從日常生活發(fā)展到現實社會和科學技術中感興趣的領域.如在統(tǒng)計的教學中可以引入以下的例子：根據往年本地同一階段時間的氣溫記錄預測下一年本地這段時間的氣溫情況，根據對公共汽車不同時間客流量的統(tǒng)計合理地安排發(fā)車等等.

2.2 循序漸進，利用學生已有的認知水平建構新知

尋求學生數學認知結構中與難點最接近的知識或經驗，作為新知識生成的“固著點”.例如用樣本估計總體的數學思想，這種估計在現實生活和學生經驗中是很常見的，可引導學生搜集、舉例，比如購瓜子時先品嘗幾粒，買本子時先翻幾頁看看，媒體就某一話題的民意調查，商場櫥窗的展品，我們體檢時的抽血檢驗等等 ……，把這些學生熟悉的實例作為“固著點”，引導他們分析、概括，再聯系教材相關知識，就能順暢納入認知結構，自然滲透統(tǒng)計思想方法.

搭橋設梯，分化學生認知水平與難點的落差.例如在總體和樣本概念的形成過程中，要解決統(tǒng)計中為什么要研究樣本的問題.而在學生生活經驗中，涉及的考察對象往往較少或有限，數據容易測定，可以全面準確地統(tǒng)計，不必抽樣調查.這時需要讓學生體會，在大多現實問題中，全面統(tǒng)計相當困難甚至是不允許的，例如遇到以下情況：

（1）考察對象的全體數量太大，不可能一一統(tǒng)計.如要了解一塊試驗田里玉米植株的高度，只能從中抽取一部分（如50株）測量.

（2）考察帶有破壞性，一一考察就失去了實際意義.如考察某批炮彈的殺傷半徑，只能從中抽取一部分（如10發(fā)）爆炸試驗.

為了進一步體會總體與樣本的聯系與區(qū)別，可設計下列兩個問題作為化解難點的階梯.

問題1 要了解全市100萬市民2007年收入水平，從中隨機抽取了500名市民.100萬市民2007年的收入與從中抽取的市民2007年的收入有什么聯系？（學生體會得到：總體、樣本都是由個體組成的，樣本是總體的一部分，樣本在一定程度上反映總體情況，因而可以“用樣本特征去估計總體相應特征”.）

問題2 能不能把這500名市民2007年的收入與100萬市民2007年的收入等同起來？若抽取5000名呢？50000名呢？500000名呢？（學生討論得到：樣本畢竟是總體的一部分，而不是全部，樣本特性與總體特性是有差別的，樣本容量越大，對總體的估計就越精確.）

這樣總體和樣本內在聯系就清晰明確了.

2.3 注重讓學生經歷統(tǒng)計的全過程，通過活動體驗統(tǒng)計的思想，建立統(tǒng)計的觀念

例如方差概念的形成過程，可以在引導學生解決一個實際問題的活動中完成.質檢員為了比較甲、乙兩臺機床產品的質量，從中抽取10件測量其直徑，尺寸如表所述（單位：毫米）.同學們如何比較兩臺機床的穩(wěn)定性能？

受前面知識及學生思考習慣的影響，他們會分別求兩組數據的平均數，結果相等.但學生不會認定兩臺機床性能一樣穩(wěn)定，教師因勢利導，展開問題：實際生產中，對產品尺寸的偏差是有限制的.經詢問質檢員，標準是零件直徑與規(guī)定尺寸偏差不超過0.1毫米時，可視為合格，超過0.1毫米時視為不合格.那么，甲、乙兩臺機床合格產品各多少件？不合格產品各多少件？

2.1 內源性細菌的除去 SD大鼠40只，用普通飼料喂養(yǎng)1周。在大鼠飲用水中加入氨芐西林2.4 mg∕mL、鏈霉素0.5 mg∕mL，除去大鼠口腔內的內源性細菌，連續(xù)3 d。第3天用棉簽取大鼠口腔唾液，接種在TPY固體培養(yǎng)基上，37℃厭氧培養(yǎng)48 h，觀察口腔內細菌生長情況。實驗大鼠從第3天開始至實驗結束都喂養(yǎng)致齲飼料2000#。

易看出，機床甲合格產品4件、不合格產品6件，機床乙合格產品9件、不合格產品1件.這一明顯的數字對比足以說明，生產的零件在符合規(guī)定方面，機床乙比機床甲好.在事實面前，機床甲承認偏差多、波動大，但它自恃與機床乙平均數相等，就向我們挑戰(zhàn)：你們能否設計一個新的特征數，來衡量兩組數據的波動大小？這就自然進入新特征量的研制過程.

能否對各數據與其平均數之差進行累加？（不能.經計算，甲、乙兩組數據與其平均數差的和都等于0，這個設想不成功.）

怎么造成的累加之和等于零？（因為正、負偏差相互抵消.）

怎樣才不會造成正、負偏差相互抵消呢？（各偏差先取絕對值再相加，或各偏差平方后再相加.）

教師順水推舟采納先把各偏差平方后再相加的辦法，這個“和”用符號Y來表示.請同學們計算y1、y2（y1＝0.26mm2，y2＝0.08mm2）.

顯然y1＞y2，由此說明數據乙比數據甲波動小，這與我們的觀察、判斷是一致的.

有意發(fā)難：當用我們設計的特征數y理直氣壯地衡量甲、乙兩臺機床的穩(wěn)定性時，機床甲卻提出了一個要求：仍抽取我的10件零件，但要抽取機床乙的100件零件.同學們能否答應？

學生肯定不會答應，盡管機床乙偏差小較穩(wěn)定，但多個累加其和增大，會導致，結論將與事實相反.

看來，我們的特征數Y還不完善，它受樣本容量的影響.如何排除這一影響？

2.4 強調對抽樣與樣本的理解

以前人們對某個問題的調查一般是普查，但這種調查方法的局限性很大.出于對費用和時間的考慮，人們逐步認識到需要進行抽查.

抽查與普查相比有如下優(yōu)點：可行性抽樣調查，可大大地節(jié)省人力、物力、財力和時間；及時性抽樣調查，收集資料的時間短，能及時地進行反饋并作出科學、合理的決策.科學性抽樣調查是以概率統(tǒng)計為理論基礎，通過計算機實現各種數理統(tǒng)計方法的分析，可充分利用資料中的信息做出比較深刻且較全面的結論.教學時應引導學生根據實際問題的需求，選擇不同的方法，合理地選取樣本并從樣本數據中提取需要的數字特征.不應把統(tǒng)計處理成數字運算和畫圖表.對統(tǒng)計中的概念應結合具體問題進行描述性說明，不應追求嚴格的形式化定義.

2.5 強調概率與統(tǒng)計的聯系

概率是研究隨機現象的，即從隨機現象中研究其規(guī)律.它為應用數學解決實際問題提供了新的思想和方法.因此，概率教學的核心問題，是讓學生了解隨機現象與概率的意義.教學中教師應借助日常生活中具體的、可操作的大量實例，鼓勵學生動手實驗、自主探究，正確理解隨機事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性，逐步體會概率的意義及頻率與概率的區(qū)別.還可以利用計算器或計算機進行模擬實驗，從直觀上認識頻率的穩(wěn)定性，嘗試澄清日常生活遇到的一些錯誤認識，如“中獎率為1／1000的彩票買1000張一定中獎”“若干個人抓鬮先抓和后抓抓中的可能性不一樣”等等.

應引導學生把概率與統(tǒng)計聯系起來看問題，通過頻率來估計事件的概率，通過樣本的數據對總體的可能性作出估計等.許多的概率模型是建立在大量的數據統(tǒng)計的基礎上，例如，天氣預報中降雨的概率，防洪標準的制定等.同時，要使學生在隨機實驗中統(tǒng)計相關的數據，并了解這些數據的概率含義，在數據統(tǒng)計時了解其中所蘊含的隨機性，不應把數據的統(tǒng)計與處理理解為只是純數字的運算.

2.6 鼓勵學生自主探索與合作交流，培養(yǎng)學生攻堅克難的意志品質

對于諸如繪頻數分布直方圖之類的問題，繁雜耗時，稍有不慎，頻數累計就出現錯誤，常使學生畏懼并產生逆反心理.教學時，首先教育學生樹立正確的學習態(tài)度，養(yǎng)成認真、嚴謹的學習習慣.讓學生知道，從實踐中測量得到的一組數據，常使人看起來雜亂無章，毫無規(guī)律.經過繪頻數分布直方圖，清晰形象，特征明了，規(guī)律顯現，在現實生活中應用非常廣泛.進一步結合學生熟悉的實例，如成績分布圖，工程進度統(tǒng)計圖，商業(yè)營銷某商品的統(tǒng)計直方圖等，介紹頻數分布直方圖在表征統(tǒng)計規(guī)律上的突出效果及在現實生活的廣泛應用，激發(fā)學生學習動機，培養(yǎng)良好的意志品質.其次在具體統(tǒng)計頻數時，采用一個學生讀、一個學生累計、其余學生監(jiān)督的方式進行唱票，保證正確率.實際練習時，也可分組完成，分工協(xié)作，確保一次成功.

研究性學習不僅使學生鞏固了本部分所學的統(tǒng)計知識、提高了能力，還學到了一些書本上學不到的東西，如人際交往、社情教育、服務意識、科學的態(tài)度和科研的艱辛等，從而培養(yǎng)了學生從事科學研究的精神和品質，為學生的持續(xù)發(fā)展奠定了基礎.

1 中華人民共和國教育部制仃.全日制義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2011

2 李俊.中小學概率的教與學［M］.上海：華東師范大學出版社，2003

3 高海燕，鞏子坤.義務教育階段統(tǒng)計與概率教學研究的進展與問題［J］.數學教育學報，2010（03）

4 張怡慈.中學教育里的統(tǒng)計與概率［J］.數學通報，2006（12）

5 程海奎.概率與統(tǒng)計教學難點分析及教學建議［J］.中國數學教育，2010（03）

6 吳玉紅.初中數學中統(tǒng)計與概率的教學研究［J］.高等函授學報（自然科學版），2011（01）