《函數的奇偶性》教學之我見

山東省滕州市第一中學新校 張 彬 （郵編：277500）

1 問題的提出

2013年9月27日，山東省滕州市數學優質課如期開講，講課的課題是人教A版教材必修一中的《函數的奇偶性》.在課堂教學中，對于如何引導學生積極參與教學過程，感受奇偶性概念的生成過程，培養學生學習數學的興趣等，14位選手各盡所能，于是就有了14種不同的教學設計.筆者有幸作為評委全程參與其中，14節課聽完之后，對《函數的奇偶性》這一節內容的教學有頗多感悟，寫下來與各位老師共同探討！

2 感悟

2.1概念教學：統一中的驚喜

《函數的奇偶性》的教學中，絕大多數的選手的教學過程是一樣的.現擷取其中幾個具有代表性片斷作分析.

教學片斷1

教師展示生活中一些美麗的具有對稱性的圖片，如：巴黎的埃菲爾鐵塔、中國的太極圖、代表喜慶的紅雙喜、雄偉的故宮等圖片.

師：生活中有很多美麗的事物呈現出一些對稱現象，我們數學中也有很多對稱現象，你能給出幾個這樣的事例嗎？

生：反比例函數圖象、正比例函數圖象.

師：觀察下面兩個函數圖象，它們有什么共同特征？

生：關于y軸對稱.

師：我們下面來研究怎樣用代數表達式的形式來描述函數圖象的這種對稱關系？先來完成下面的對應值表.

生：很快的完成了下面的表格

_x … －3 －2 －1 0 1 2 3…_f（x） … 9 4 1 0 1 4 9__…__x … －3－2－1 0 1 2 3…_f（x）… －1 0 1 2 1 0 －1_…_

師：對于函數f（x）＝x2，我們來觀察f（1）與f（－1）關系，有何發現？

生：相等.

師：對于函數f（x）＝x2，我們來觀察f（2）與f（－2）關系，有何發現？

生：相等.

師：對于函數f（x）＝x2，我們來觀察f（3）與f（－3）關系，有何發現？

生：相等

師：那么在定義域內任給一個數x，f（x）與f（－x）是否也是相等的？

生：相等.

對于學生的猜想，下面老師又用兩種不同的方式來驗證其正確性：

（1）利用幾何畫板動態的演示對于函數f（x）＝x2，無論數x是多少，f（x）與f（－x）始終相等.

（2）計算f（－x）＝ （－x）2＝x2＝f（x）.

然后給出偶函數的定義：

對于函數f（x）的定義域內的任意一個x，都有f（－x）＝f（x），那么f（x）就叫做偶函數.

點評 以上概念的形成過程，大多數選手的教學設計是統一的，體現出大家對概念教學的認識是一致的.數學概念的引入，應從實際出發，創設情景，提出問題.通過與概念有明顯聯系、直觀性強的例子，使學生在對具體問題的體驗中感知概念，形成感性認識，通過對一定數量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質屬性.

多數選手注重引導學生在體驗數學概念產生的過程中認識概念，這是值得欣喜的一面.

教學片斷2

師：對于函數f（x）＝x和f（x）＝，我們利用前面的研究方法，來觀察對于函數f（x）的定義域內的任意一個x，f（－x）與f（x）的關系？

生：很快的就發現f（－x）＝－f（x）.

師：就勢稍加點撥，即形成奇函數的概念.

點評 偶函數的概念與奇函數的概念應該是鄰近概念，因此教學中不應該平均用力.多數選手以學生已掌握了的偶函數的概念為基礎，引導學生探求新舊概念之間的區別和聯系.提高學生對數學理論整體性與嚴密性的把握.不失是一種好的教學處理方式！

鄰近概念的教學采取類比的方式，不平均用力.這是值得欣喜的另一面.

教學片斷3

師：提出問題：f（x）＝x2；x∈ ［－1，2］是不是偶函數？

生：（爭論片刻之后）不是，因為對于這個函數來說f（2）＝4，而f（－2）不存在，因而f（－2）≠f（2），故不是偶函數.

師：變化一下：f（x）＝x2；x∈ ［－1，1）是不是偶函數.

生：仍然不是.

師：那怎么改造，才是偶函數？

生1：改為f（x）＝x2；x∈ ［－1，1］，

生2：改為f（x）＝x2；x∈ （－1，1），

生3：改為f（x）＝x2；x∈ ［－2，2］，

生4：改為f（x）＝x2；x∈R.

……

師：偶函數或奇函數的定義域有什么要求？

生：定義域關于原點對稱.

點評 在挖掘新概念的內涵與外延上，采取問題的形式，低起點、密臺階、小步走，逐層深入，給學生留下很深的印象，學生對這一問題的認識也就很深刻.相比直接提問：偶函數或奇函數的定義域有什么要求？然后再用大費口舌，用力解釋的教學方式，教學片斷3中的這種方式顯然更有效率！

采取問題辨析的方式，加深對概念的內涵與外延的認識，這是值得欣喜的又一面.

2.2 兩種教學理念的碰撞：一半是海水，一半是火焰

我先談兩種不同的教學理念，以小學中最簡單的“1＋1＝2”的教學為例，有兩種不同的教學方式：

教學方式1

老師先拿來一個蘋果，問：小朋友這是幾個蘋果？

小朋友們答：1個.

老師再拿來一個蘋果，問：小朋友這是幾個蘋果？

小朋友們答：1個.

然后老師將兩個蘋果放在一塊，問：小朋友現在是幾個蘋果？

小朋友們答：2個.

然后老師告訴小朋友：這就告訴我們1個蘋果再加1個蘋果是2個蘋果，即1＋1＝2.

然后老師可能再拿來些別的東西，比如鉛筆、橡皮之類的東西，不段重復前面的過程，讓小朋友們感悟到一個蘋果再加一個蘋果是兩個蘋果，抽象到數學中就是1＋1＝2.

教學方式2

老師：小朋友你們知道1加1等于幾嗎？我來告訴你們1＋1＝2.

老師板書1＋1＝2，然后老師說：讓我們一塊來念1＋1＝2，1＋1＝2，……

直到老師提到1＋1，小朋友們條件反射式的說出等于2.

《函數的奇偶性》是一節課，14位選手對這一節內容的處理，無外乎以上所提到的兩種教學方式.多數選手注重概念產生、發展的過程，并且通過自己的設計，讓學生親歷這一過程.在概念的形成過程中不惜花費大量的時間和精力！但是個別選手輕視這一過程，一上課就呈現一組題目，美其名曰：預習檢測！然后給出偶函數與奇函數的概念，要求學生記下，隨之就是如何進行奇偶性判斷的大量題組練習！

我們姑且先不評價以上兩種處理方式的優劣！我想請各位老師先思考這一問題：在“1＋1＝2”的教學中，如果考試中考到1＋1＝？，采用教學方式1的老師的學生考試成績好呢？還是采用教學方式2的老師的學生考試成績好呢？

我想一定是采用教學方式2的老師的學生考試成績好！這也就不難解釋為什么有選手采取方式2進行《函數的奇偶性》的教學了.當前的教育形式下，過分強調學生考試成績，用學生成績作為考評老師的重要指標.學生考試分數成了老師的命根，所以就有老師刻意的追求概念教學的最小化和習題教學的最大化，并譽名“快節奏、大容量”.實際上這是應試教育下典型的舍本逐末的錯誤做法.

我想再提一個問題：在“1＋1＝2”的教學中，如果考試中考到的不是1＋1＝？而是“1＋2＝？”那么請問采取哪一種教學方式的老師的學生考試成績更好？

我想一定是采取教學方式1的老師的學生考試成績好.現在的高中教學越來越強調培養學生能力，高考命題也越來越靈活.如若對基本概念只是死記硬背，學生對概念的理解只是機械、零碎的認識.沒能正確理解數學概念，也就無法形成數學能力！在這種情況下學生只會模仿老師解決某些典型的題目，一旦遇到新的背景、新的題目就束手無策.

因而我們有理由認為：在高中數學教學中，我們對數學知識的教學還是應該采取教學方式1.

2.3 活動結束后的反思：一點微微的遺憾

縱觀所有選手的課堂結構，均是以下程序，無一例外.

在形成奇（偶）函數的概念，解決了怎樣判斷函數的奇偶性這一問題以后，筆者以為這一節課還有一點東西沒能解決.對于教材中為什么安排《函數的奇偶性》這一節內容，可能參賽選手思考得比較少.而僅僅考慮到為了應試的需要，只要讓學生理解了奇偶性的定義，掌握了判斷函數的奇偶性方法，教學目標就達成了.

我認為對于教材中為什么安排《函數的奇偶性》這一節內容，還要多挖掘一下.個人認為教材安排《函數的奇偶性》另有目的.目的就是想告訴學生：奇偶性是研究函數的一種工具.奇偶性就是對稱性，如果有一個函數我們能夠判斷它具有奇偶性，我們在研究它的性質時就沒有必要研究這個函數在整個定義域上的情況，只要知道它在半個定義域上的情況，就可以由對稱性，知道它在整個定義域上的情況！這應該是函數奇偶性的價值所在，遺憾是14位選手的教學都沒有體現這一點.

而在教學中要體現這一點應該還是比較容易的.比如我們可以設計這樣一個題目來體現奇偶性的作用.

題目 已知函數y＝f（x）是奇函數，且y＝f（x）在［0，＋∞）有最大值5，你知道函數y＝f（x）在（－∞，0］上最小值嗎？

根據對稱性，我們很容易地知道函數y＝f（x）在（－∞，0］上最小值為－5.

教師可以就這一題目提出問題：你能通過這一題目，感受到我們研究函數的奇偶性有什么價值和意義嗎？

通過這一問題的解決，讓學生體味到函數奇偶性的價值所在，數學的應用性也就體現出來了！這應是這節課的點睛之筆！

3 小結

波利亞指出“學習最好的途徑是自己去發現”.因此在《函數的奇偶性》的教學過程中，要引導學生通過對具體事物的感知，自主觀察分析、抽象概括，自覺獲取事物的本質屬性和規律，從而形成新的概念.這樣學生在獲得概念的同時，還培養了抽象概括能力和創新精神，同時也使學生從被動地“聽”發展成為主動地獲取和體驗數學概念，自主建構知識的過程.這樣才能充分體現以學生為本，尊重學生主體地位的教學理念，同時也促進學生學習方式的轉變和優化.

數學教學承載著數學的文化功能，數學中許多具體知識將會被大多數人遺忘，但數學的文化卻伴隨著學習者的后續學習、生活和工作，其影響深刻而久遠.因而如果我們在教給學生知識的同時，再滲透給學生研究問題的方法，我們的數學教學將更有內涵.