如何打好函數概念這張牌

北京市第八十中學 索云旺 王貴軍 張啟華 魏 靜 （郵編：100102）

山西長治第二中學 張銳軍 （郵編：046000）

1 問題的提出

隨著高中新課改的深入推進，函數作為整個高中數學課程的一條主線，并貫徹于高中數學教學的始終，這一點老師們的認識越來越清晰和深刻.函數概念是中學數學的核心概念之一，如何打好函數概念這張牌，自然也引起了廣大教師的高度重視和廣泛關注.

我們課題組（成員：廖爽、魏靜、田麗、陳國棟、王海霞、李丁、宋群霞、郭豫、周開炎、王坤）在認真研讀數學課程標準與教材以及學習有關函數概念歷史演變的基礎上，進行了廣泛調研，發現老師們對函數概念的認識仍需提高，課堂教學仍有許多需要改進的地方.以下僅就函數概念課堂教學目標的確定與構建，以“知識”為載體，以“引導學生自主發展數學概括能力”為主線的課堂教學基本模式談點淺見，教學過程部分給出課堂教學實錄，供同仁參考.

2 課堂教學目標的確定

眾所周知，《普通高中數學課程標準（實驗）》是國家管理和評價課程的基礎，也是教材編寫、教學、評估和考試命題的依據.因此，教學活動應該而且必須按《課標》展開.而《課標》并未明確給出具體的課堂教學目標，這就要求我們教師根據《課標》“前言”、“單元目標”、“說明與建議”、“參考案例”、教材、教學內容在教材所處的地位與作用、學情分析的基礎上，確定課堂教學目標.《高中數學課程標準》對函數概念課堂教學提出的要求與建議為：通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的數學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；構建函數的一般概念.了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域.［1］那么，在課堂教學中，如何落實以上兩個“體會”？又如何構建函數的一般概念呢？顯然，兩個“體會”是構建函數一般概念的基礎，如果真正“體會”到了，那么構建出函數一般概念自然是水到渠成的事了.

2.1 如何進一步體會函數是描述變量之間依賴關系的數學模型

普通高中課程標準數學實驗教材人教版A、B版、北師大版、蘇教版、鄂教版在引入高中函數概念時，均是通過如下4個步驟來實現：（1）回顧初中函數概念；（2）列舉3～4個函數實例；（3）用集合與對應的觀點對實例中的函數進行解讀；（4）陳述高中函數概念.即教材的呈現方式為（記作 Ⅰ）：

我們課題組外出調研、聽課中發現老師們的課堂教學內容也是基本上通過選用本呈現方式實現《課標》要求的.課堂教學中師生活動為：師生共同回憶初中函數定義，教師提問每個實例中有幾個變量？變量之間有怎樣的關系？然后，在學生回答一個又一個問題后，教師給出高中定義，并反復解釋引入函數符號f的意義，至此完成高中定義的學習.這樣的教學過程，表面上看學生積極主動地參與了函數概念的形成過程，但是學生只是各項指令的機械執行者，并不知道整個活動的目的，學習處于被動的接受狀態，尤其是對引入符號f感到困惑不解，因而很難形成深刻的思維活動.我們認為這樣的教材呈現方式與教學方式很難達到《課標》要求.另外，這樣的呈現方式（Ⅰ）還極易給人造成“高中定義”比“初中定義”更高級、更嚴格的誤解，從而被多數教師認為“初中定義”是“高中定義”教學的恰當起點.

眾所周知，初高中兩個定義本質是一致的，如果說兩個定義不同的話，那就是把“初中定義”中與x對應的數y通過引入“對應關系”符號f，換成f（x），就演變為“高中定義”，其它什么都不能說.這樣，我們的教學內容是否可以如下框圖呈現（記作II）：

由框圖（II）可以看出：“高中定義”教學的起點：或者是兩個變量間的對應關系，或者是兩個變量間的依賴關系（包括變量概念），甚至是對現實世界中運動事物或變化現象中變量的分析.對此，我們課題組設計了2012年秋季9月1號開學的新高一和新高三調研題（附后）各100份，進行了教學前的測試和統計，發現面對實際情境能“鑒別”出其中的變量并用字母表示，高一占10%，高三占20%；能自覺分析哪些變量之間存在依賴關系，并用一個變量表示另一個變量者，高一占4%，高三占11%.可見，給出實際問題，讓學生自覺運用數學的眼光，觀察并發現運動事物或變化現象中哪些是變量（呈現方式（II）），在此基礎上形成“一個量依賴于另一個量的變化而變化.”這樣的表述，根據我們的調查是困難的.史寧中教授指出這是抽象的第一層次，即“直觀描述”，直觀能力的存在是先天的，但一個好的直觀能力是養成的，養成卻是依賴于經驗的，如果把能力應用于對事物的抽象，就構成了抽象能力，因此抽象能力的養成也是依賴經驗的.［2］史教授反復強調：“應教會學生養成從頭想問題的習慣，以后就能發現問題了.問題要有一個轉換過程，學會先把現實中的問題通過語言抽象，抽象成一個科學的東西，這個過程對小孩子是非常重要的.”［3］弗賴登塔爾也認為：數學化應從“原始的現實開始”，而非接近數學的現實.［4］在這個過程中，真實與數學之間的翻譯轉換是主要的數學活動.（參考Freudenthal，1983，vomHofe，1998）

我國數學教育學家劉亦珩在20世紀30年代就指出：教師在數學教學過程中一定要做到：“不是學生暗記定義，不應該使學生機械的應答所發生的問題；必須使學生注意一量與他量的關系，或一量為其他數個量所決定的實例；且隨時使學生考察其間的關系，及其相互作用.”［5］

王尚志教授建議教師從三個角度幫助學生不斷地加深對函數概念的認識.其中第一個角度是變量與變量的依賴關系.他指出：“思考問題時，什么是不變的，什么是變的，發生變化的量之間有沒有關系，如何來描述這些變量與變量之間的依賴關系，這些思考，不僅在高中數學學習中、大學數學學習中以及在數學的應用中，都是非常重要的.對變量之間的依賴關系的認識，有人把它當做認識函數的低級階段，這種看法是值得商榷的.”［6］著名數學家克萊恩說過：“一般受教育者在數學課上應該學會的重要事情是用變量和函數來思考.”

基于以上分析，我們課題組認為：“高中定義”與“初中定義”有著共同的教學起點：“鑒別”出現實世界中運動事物或變化現象中的變量（對變量概念的再認識）以及推斷兩個變量之間的依賴關系，這樣才是更本源更原始問題的討論.

事實上，呈現方式（II）是將呈現方式（I）中對數學模型的認識，變為建立數學模型，因此對學生的認知能力、思維能力要求更高，也更能激發學生學習興趣和積極性.這樣，學生的學習，不僅從機械的接受學習變為有意義的建構性學習，而且在經歷“再創造與再發現的過程”中，學生的靈性得以釋放，數學體驗得以生成，創新意識得到發展.［7］

其實，呈現方式（II）是符合認知科學和認知心理學原理的.在布魯姆教育目標分類學修訂版中，將知識分為事實性知識、概念性知識、程序性知識、元認知知識，認知過程的水平從低到高，分為記憶、理解、應用、分析、評價、創造六個層次.關于新授課的教學通則是：知識類別與認知過程存在著對應關系，即事實性知識常被記憶（回憶）、概念性知識常被理解、程序性知識常被應用.布魯姆指出：“我們教學時，想要學生學有所得，我們想要學生學習習得的東西作為我們的教學結果，就是我們的教學目標.”變量概念與函數概念（初中定義）屬數學事實與概念性知識，所以在初中學生的學習結果（教學目標）：變量概念與函數概念被記憶與理解是恰當的，這也是初中義務教育課程標準（2011版）的教學要求.但學生經過初三中考復習，認知能力得到提高，所以我們采用了布魯姆的學習問題通則是“用復雜的認知過程去幫助實現較簡單的目標.”［8］即用“鑒別”（同“區別”，是認知過程“分析”的第一亞類）、“推斷”（理解的第五亞類）和“應用”的認知過程來實現對變量概念（“鑒別”出現實世界中運動事物或現象中的變量）以及函數概念（“推斷”出兩個變量之間的依賴關系并“應用”方程式表達這種關系）的回憶、理解.也就是說相同的教學內容，不同的認知要求所采用的教學策略、教學測評等是不一樣的.換句話說，在初中函數概念新授課中需要學生達到理解水平，那么在教學策略使用中多考慮精加工策略、組織策略等，以促進學生通過主動建構概括和理解概念；在高中定義學習階段，需要學生達到應用水平，那么在教學策略使用中更多利用獨立練習、過渡練習、變式練習等，以促進學生在新情境中遷移水平的提高.美國“QUASAR”計劃的研究者在觀察中發現：“高認知水平數學教學任務為學生提供了運用高水平的思維和推理的機會，日復一日，學生對數學本質的認識得到潛在的發展，創新精神和創造能力得到提高.”［9］

需要特別說明的是，在上述討論中，我們對《課標》中描述過程目標的行為動詞“體會”一詞進行了“認知化”處理，將其轉化為《課標》中描述結果目標的行為動詞“理解”.根據我校學生的學習水平以及函數概念在本單元、模塊1，乃至在高中數學中的典范作用，又對布魯姆教育目標分類學修訂版中認知過程程度“理解”的七個亞類—— 解釋、舉例、分類、總結、推斷、比較、說明，選取了第五個亞類“推斷”（這一過程實際上是將“理解”這一內隱的心理活動動詞，轉換成了相應的外顯性行為動詞“推斷”）并進行了擴展，組成了“鑒別”、“推斷”和“應用”的復雜認知過程來實現《課標》目標：進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的數學模型.

2.2 如何體會對應關系在刻畫函數概念中的作用

“體會”某事物的作用，實際上是對某事物進行“評價”，（“評價”是布魯姆教育目標分類學修訂版中認知過程類別中的第五個認知水平），而“評價”有兩個亞類 ——檢查、評論（判斷），在這里是“判斷”，即能正確“判斷”（評論）對應關系在刻畫函數概念中的作用.根據學生的學習水平，我們仍用“用復雜的認知過程去幫助實現較簡單的目標.”即用“分析”、“判斷”與“創造”這樣的認知過程類別實現《課標》目標：體會對應關系在刻畫函數概念中的作用.具體說就是通過“分析”將兩個變量之間的“依賴關系”換一種等價說法：即兩個變量之間的“對應關系”.在喚醒學生對“初中的定義”回憶的同時，借用“初中定義”判斷所給幾個實例（其中包括可求出解析式，圖象、表格）中的“對應關系”是否是“函數關系”的機會，讓學生“判斷”（評論）兩數集中兩個變量之間的“對應關系”是“初中定義”中的變量y是變量x函數的關鍵要素，與是否在“對應關系”下用變量x表示出變量y無關.但在有些“對應關系”下的兩個變量確實可以用變量x表示出變量y.（一定要通過實際問題讓學生親自動手練習用x表示出y）那么，在用圖象、表格表示的“對應關系”下的兩個變量是否也能做到“用變量x表示出變量y”的問題油然而生.教師因勢利導地提出：兩個數集中兩個變量之間在三種類型（解析式、圖象、表格）的“對應關系”下，又怎樣一般地用變量x表示出變量y呢？通過運用復雜的認知過程與上述元認知提問，學生自然產生一種用符號表示“對應關系”的心理需求，創造性地引入符號f表示“對應關系”不僅成為可能而且水到渠成.

綜上所述，為較好地實現《課標》目標，根據知識的內在規律，順應學生的認知規律，我們確定函數概念課堂教學目標如下：從實際情境中“鑒別”出變量及“推斷”兩個變量之間的依賴關系作為課堂教學起點目標；“判斷”對應關系在刻畫函數概念中的作用，創造性地引入符號f是使能目標；形成函數的一般概念，獲得y＝f（x）為課堂教學終點目標.教學實踐表明，對函數概念的學習目標定位在構建函數模型的層次上，不僅能使學生較好地了解函數概念的來龍去脈，深刻理解函數概念本質，而且為學生學會用函數的思想分析問題，解決問題奠定了堅實的基礎.

2.3 為什么強調讓學生經歷數學概念的形成過程

《普通高中數學課程標準》對概念教學提出的教學建議：數學教學中要引導學生經歷從具體事例抽象出數學概念的過程，注重體現基本概念的來龍去脈.這又是為什么呢？

概念是簡化世界的類目，是將一系列物體、事件和思想進行分類的心智結構，它們占據了學校課程很大部分的內容（Klausmeier，1992）.

概念是重要的，概念反映思想，但概念并不出思想，不是通過概念的變換產生思想的，相反，思想產生概念.思想不出自概念，而概念則出自思想.比起概念來，思想內容更重要；比起形式定義來，概念實質含義更重要.［10］數學在其自身的發展進程中早就成功地孕育著、蘊涵了諸多科學的客觀規律.概念是思維的一種形式，概念的形成過程與思維過程中使用的方法是一致的，這些方法既是數學研究的基本方法，也是教學的方法.［11］徐利治院士指出：揭示“知識發生過程”的教育有助于培養創造性.［12］對數學概念的學習，總是在經歷著從相對具體到相對抽象和從相對抽象到相對具體的運動，在不同層次的抽象之間運動著，反復地運動著.因此，數學概念的教學，非常重要的任務之一是讓學生習慣與不同層次的抽象打交道，熟悉抽象，甚至喜歡抽象.即便如此，學生仍是在與相對具體東西打交道過程中進行抽象思維的.［13］

因此，數學概念的學習過程，不僅是學生主動建構知識的過程，而且也是學會數學思維，發展數學能力，感悟數學思想，積累數學活動經驗的過程.也就是說通過概念教學可以落實培養能力和提高素養的目標.

2.4 概念教學中主要培養學生的數學概括能力

著名思維發展心理學教授林崇德說“數學能力就是概括能力”.蘇聯著名的心理學家克魯捷茨基等通過實驗研究證實：“概括能力是數學能力最重要的指標，在數學學習中很容易成功的學生往往是因為他們具有較強的概括能力”.［14］在數學學習中，抽象和概括被認為是數學活動中的主要邏輯方法，學生數學學習水平的高低與學生抽象概括能力的高低有直接的關系.［15］數學的歷史展示了數學理論的形成和發展也是一個不斷概括的過程.這表明概括是研究數學的基本思想方法.因此，學習數學必然需要概括，數學概括能力是學生學習數學的必要條件.［16］從遷移的角度來看，心理學認為：“遷移就是概括”.概括的層次越高，遷移的半徑就越大.正如曹才翰教授所說：“在教學中，與其說‘為遷移而教’，不如說‘為概括而教’”，此話深刻地說出了教學中培養學生數學概括能力的重要性.

事實上，人類社會現有的概念（當然包括數學概念）都是在人類社會歷史發展的過程中，隨著勞動實踐和社會經驗的積累，在經驗概括的基礎上形成的.［17］

章建躍先生多次指出數學概念教學的核心就是“概括”：將凝結在數學概念中的數學思維活動打開，以若干典型具體事例為載體，引導學生展開分析各事例的屬性，抽象概括共同本質屬性，歸納獲得概念等思維活動.因此，在概念教學中應落實以培養學生數學概括能力為主的能力培養目標.

3 構建以“知識”為載體，“引導學生自主發展數學概括能力”為主線的概念課堂教學基本模式

本著“教與學對應”的原則，數學教育要把研究“學生的學”放在首位.本著“教與數學對應”的原則，數學教育則要把研究“學生對數學的學習”放在首位.本著知識傳授與能力培養相協調的教學原則，我們課題組設計了以“知識”為載體，“引導學生自主發展數學概括能力”為主線的概念課堂教學基本模式（見如下框圖），完成概念的教與學.

當然，教學設計時，應根據具體數學概念的特點，在改造本模式基礎上，構建更切合實際的教學模式.

教學過程中，針對不同的概括內容（如數學符號的意義、數學關系、數學結構、運算與推理、數學思想方法等）突出數學觀念在指導數學思維過程中的作用，協調各種數學能力，樹立概括意識，把握概括方向，遵循概括的階段（觀察階段、抽取階段、篩選階段、推廣階段、確認階段），靈活運用概括的方式（歸納式概括、類比式概括等）分階段、分類型幫助學生構建起對數學概念學習時進行概括的完善的認知結構，引導學生自主發展數學概括能力.邵光華先生在其《數學思維能力結構的定量分析》一文中指出了數學概括能力主要由形成數學概念的概括能力、形成數學通則通法的概括能力和遷移概括能力三種能力因素構成，且后兩種能力起主導作用決定著總體概括水平.

因此，在課堂教學中，函數概念形成環節（“現實 → 依賴關系 → 對應關系 → 引入f→f（x）→函數概念）主要是引導學生自主發展形成函數概念的概括能力.函數概念理解、運用、鞏固、深化環節（若干數學對象 → 共同特征 → 規律），主要是引導學生自主發展形成通性通法的概括能力與遷移概括能力.當然，數學概括能力的培養要與其它能力的培養同時進行，使其協調發展.（待續）

1 教育部制定.普通高中數學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003

2 史寧中.數學的抽象［J］.東北師大學報（哲學社會科學版）2008，（5）：180

3 史寧中.注重“過程”中的教育 ——義務教育數學課程標準修訂的若干思考［J］人民教育2012.7

4 弗賴登塔爾.數學教育再探——在中國的講學［M］.劉意竹，楊剛譯.上海：上海教育出版社，1999

5 李春蘭.劉亦珩的數學教育思想［J］.數學通報，2012，51（9）：9

6 王尚志.高中數學課程中的函數［J］.中學數學教學參考.2007，（7）：8

7 索云旺等.論數學體驗及其生成［J］.數學教育學報，2004，13（1）：77

8 蔣小平等.布魯姆教育目標分類學修訂版［M］.北京：外語教學與研究出版社，2009：184

9 Stein M K，Smith M S.Mathematical Tasks as a Framewor k for Reflection：From Research to Practice ［J］.Mathematics Teaching in the Middle School，1998，3（4）：268–275

10 張楚廷著.教學論綱［M］.北京：高等教育出版社，2000，11

11 曹才翰編著.中學數學教學概論［M］.北京：北京師范大學出版社，1990，1

12 徐利治.徐利治談治學方法與數學教育［M］.大連大連理工大學出版社，2007，12

13 張楚廷.數學教育心理學［M］.北京：警官教育出版社，1998

14 曹才翰編著.中學數學教學概論［M］.北京：北京師范大學出版社.1990，1

15 克魯捷茨基.中小學生數學能力心理學［M］.上海：上海教育出版社，1983

16 索云旺.高中學生數學概括能力培養的實驗與建議［J］.中學數學教與學，2001（6）：9

17 蔡金法.關于學生數學概括能力發展差異的實驗研究［J］.數學通報1988，（3）：37