構(gòu)造中間曲線加強(qiáng)不等式

湖南省長(zhǎng)沙市第十五中學(xué) 厲 倩 （郵編：410007）

2012年遼寧高考文科壓軸題如下（見(jiàn)例1）：

證明（Ⅰ）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜（x－1）；

如果令l（x）＝（x－1），φ（x）＝（x－1），那么在定義域內(nèi)f（x）≤φ（x）≤l（x）恒成立，本文我們把這樣的曲線φ（x）稱為f（x）與l（x）的中間曲線.φ（x）與f（x）具有相同的凸凹性，具有相同的切線l（x）.一般的，如果f（x）是復(fù)雜的（超越）函數(shù)，φ（x）可以是比較簡(jiǎn)單的（初等）函數(shù)，并且符合要求的中間曲線φ（x）的個(gè)數(shù)較多.這些特點(diǎn)給我們命制鮮活的題目提供了一個(gè)新的生長(zhǎng)點(diǎn)，也為我們的教學(xué)研究提供了一個(gè)新的視角.對(duì)于例1的第（Ⅱ）小題有當(dāng)x≥25時(shí)，f（x）＞（證明略），以下只研究中間曲線.

例2一般化，有如下例3：

令t＝，則變形可得h（x）＝2t7－t6＋（4n－2）t5－2nt4＋2（mn＋m－3n）t3－n2t2－2n2t＝t（t－1）［2t5＋t4＋（4n－1）t3＋（2n－1）t2＋3n2t＋2n2］（這里利用了）.

因?yàn)閤＞0，則t＞0，又n≥，則2t5＋t4＋（4n－1）t3＋（2n－1）t2＋3n2t＋2n2＞0，

當(dāng)x＝1，則t＝1，h（x）＝0，有g(shù)′（x）＝0，

當(dāng)0＜x＜1，則0＜t＜1，h（x）＜0，有g(shù)′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)1＜x，則1＜t，h（x）＞0，有g(shù)′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增.

證明 只證左邊不等式（右邊易證），

令t＝，則變形可得h（x）＝t3（t4＋2t2＋9）－2t（t4＋2t2＋1）－t2（t4＋2t2＋1），

h（x）＝ （t－1）（t6－2t3＋3t2＋2t）.

因?yàn)閤＞0，則t＞0，

當(dāng)0＜t≤1時(shí)，2t－2t3≥0，t6＋3t2＞0，則t6－2t3＋3t2＋2t＞0，

當(dāng)t＞1時(shí)，t6－2t3＋1≥0，3t2＋2t－1＞0，則t6－2t3＋3t2＋2t＞0.當(dāng)x＝1，則t＝1，h（x）＝0，有g(shù)′（x）＝0，

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，則0＜t＜1，h（x）＜0，有g(shù)′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)1＜x時(shí)，則1＜t，h（x）＞0，有g(shù)′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增.

仿上可證（略）.