高中數學概念對解題思維形成的影響

安徽省銅陵市第一中學 李 晟 （郵編：233000）

什么是概念？概念是對客觀事物的本質屬性的概括和反映.只有當人們認識了事物的本質屬性，才能給該事物一個恰當的名稱，這個名稱就是反映該事物本質屬性的概念.因此，在解題過程中，數學概念的理解和運用往往對整個解題思維的形成有著支點的作用.下面就高中數學概念對解題思維形成的影響做一點淺顯的探索.

1 概念的理解不透徹對解題思維的形成造成障礙

數學概念的理解對學生而言是難點.尤其是高中數學教學中的一些概念難點，往往在整個高中階段的學習全部結束后有部分學生仍然是云里霧里，不知所云的.我們認為，概念的理解難點在于部分概念是全新的，是學生沒有接觸過的，因此在這部分概念的教學中就需要我們教師去著重的、詳細的講解.尤其是對每一個可能出現的理解歧義的地方作準確的、明確的解釋.例如，在對函數y＝f（x）這個符號的理解上，很多學生到了高三都不清楚這個符號的具體含義，導致了在涉及到這個符號的解題過程中一錯再錯.在現行課本中明確的給出了y＝f（x）的解釋：設A、B是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f（x），x∈A.也就是說，y＝f（x）即“y是x的函數”的數學表示.然而對這個概念，很多學生在解決如下習題的時候還是產生了困惑.

例1 已知函數y＝f（2x＋1）的定義域是（1，5），求函數y＝f（x－3）的定義域.

常見的錯誤有：①因為1＜2x＋1＜5，所以0＜x＜2，所以－3＜x－3＜－1.

因此，函數y＝f（x－3）的定義域是（－3，－1）.

②因為1＜x＜5，所以3＜2x＋1＜11，所以0＜x－3＜8.

因此，函數y＝f（x－3）的定義域是（0，8）.等等.

其實，這些錯誤形成的本質原因是當y＝f（x）這個符號改變為y＝f（2x＋1）時，括號里面的式子的意義沒有理解清楚.概念教學中我們經常對學生解釋y＝f（x）中的x是函數的自變量，但并沒有對x的另一身份給出明確的說法.如果我們做了如下解釋：y＝f（2x＋1）是一個函數，這個函數的自變量是x，而2x＋1是法則f作用的對象.這樣，對于符號y＝f（x）中的x的兩重身份（x既是自變量，又是法則f作用的對象）學生就很清楚了.而這道例題就不至于產生解題思維上的混亂了.例題中法則f是同一個法則，所以f作用的對象的范圍是一定的，即2x＋1和x－3的范圍是一樣的.解題過程如下：

因為1＜x＜5，所以3＜2x＋1＜11，所以3＜x－3＜11，所以6＜x＜14.

因此函數y＝f（x－3）的定義域是：（6，14）.

而形成這樣清晰的認識后，對這一類y＝f（x）符號的理解問題在解題思維上就不會再產生理解錯誤了.例如若y＝f（x＋2）是奇函數，則我們得到的關系式是：f（－x＋2）＝－f（x＋2），而不是f（－x－2）＝－f（x＋2）.因為函數y＝f（x＋2）的自變量是x，而x＋2是法則f作用的對象.奇函數的定義式是f（－x）＝－f（x），這里x指的是自變量，也即函數的奇偶性是針對自變量而言的.

而有些概念在教學中應重點解釋定義中的具體詞句的意義.否則容易造成學生狹隘地理解概念，進而影響解題思維的形成.例如在概率中幾何概型的定義是這樣的：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.

而在這個定義中，對事件發生的概率計算何時使用面積比并沒有很清晰的說明.大多數學生會對面積比形成一種很狹隘的理解，認為只有在已經形成的二維圖形中才能使用面積比.實際上，幾何概型中的事件發生的概率計算何時用長度比，何時用面積比應該是依據對事件發生時需要知道的變量個數來確定究竟是何種比值（即事件發生若只需要一個變量即可確定，則用長度比，若事件發生需要兩個變量才可確定，則用面積比）.以下面這個習題為例，我們應該引導學生對定義中的詞句做準確理解，進而應用到解題過程中去.

例2 如圖，在已知四分之一圓AOB中，隨機作兩條射線OC和OD，與AOB交于C、D兩點.則∠AOC＋∠BOD＜30°的概率是多少？

設 ∠AOC＝x，∠BOD＝y，則0＜x＜，0＜y＜，而事件∠AOC＋∠BOD＜30°則要求x＋y＜.

作出如右圖形：

圖中陰影部分面積占正方形面積的百分比即是事件∠AOC＋∠BOD＜30°的概率.

2 概念的靈活運用可以拓展思路，有助于解題思維的形成

對概念完全理解了，并不意味著學生就可以很好地運用概念來形成解題思路，進而拓展解題思維.高中階段的很多比較巧妙的方法實際上是和定義戚戚相關的.數學家華羅庚說：“數學是一個原則，無數內容；一個方法，到處有用.”“善于退，足夠地退，退到最原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅.”這段話我們把它用在定義概念的靈活使用上是再合適不過了.定義是數學的一個原則，也是數學解題的一種方法！退，退到定義和概念上來，解題往往有著意想不到的絕妙效果.

本題若是用方程來計算曲線間的相互關系將是非常復雜的.這里∠F1PF2的外角平分線的方程PN并不好計算，運算量會非常的大.而如果我們考慮使用橢圓的第一定義來解決這個求軌跡的問題，就非常簡單了.

如圖，將F2M延長交F1P的延長線于N點.

因為PM是∠F1PF2的外角平分線，而F2M⊥PM，

所以PF2＝PN，MN＝MF2.

由橢圓的第一定義可知：PF1＋PF2＝2a＝10，因此，有NF1＝PF1＋PN＝PF1＋PF2＝10.而OF＝OF，MN＝MF，故OM＝NF＝5，即1221點M的軌跡是以原點為圓心，半徑為5的圓.

這種解法對學生的思維要求比較高，但平時如果訓練得當的話，對學生的解題思維的拓展是非常有幫助的，既開闊了學生的解題視野，又培養了學生“巧解”難題的能力.

在高中圓錐曲線內容中，圓錐曲線的統一定義是解決一類過焦點的弦的相關問題的不二法門.通過統一定義的轉化，往往可以把有關弦的計算問題轉化為有關焦點和準線的平面幾何問題，進而為求解尋求一種極為簡單有效的方法.

我們再來看下面這個例子的幾種解法.

解法1 設A（x1，y1），B（x2，y2）.

AB的方程為：y＝（x－c）.

聯立雙曲線方程得：

又b2＝c2－a2，代入 ④，得：e＝.

解法2 設A（x1，y1），B（x2，y2），AF＝ex1－a，BF＝ex2－a.

因為＝4，故ex1－a＝4（ex2－a），故3a＝4ex2－ex1①

因為kAB＝，故x1－x2＝｜AB｜，

故2（x1－x2）＝ex1＋ex2－2a②

①代入②，得：

6（x1－x2）＝3（ex1＋ex2）－2（4ex2－ex1）.

化簡，得e＝.

解法3 如圖，設直線AB交雙曲線的右準線l于E，過A、B分別作AC⊥l于C，BD⊥l于D.

因為kAB＝，故 ∠E＝30°，AC＝AE，

第一種解法是最常見的，在解析幾何中我們常常會把直線和圓錐曲線的很多位置關系轉化為聯立方程組以后的代數計算問題.幾何上的相等關系（＝4）會轉化為坐標的等量關系（y1＝－4y2），進而計算出需要的結果.但這種解法一般來說運算量比較大，稍不注意就會出錯.第二種解法利用了雙曲線的焦半徑公式，計算量有所減小，但本質上和第一種解法是一樣的，仍然屬于用坐標代數運算去代替了幾何中的圖形之間的變換關系.而第三種解法是比較簡便的一種算法.這里利用了雙曲線的第二定義（即圓錐曲線的統一定義），把題目中所給的幾何關系轉化到了一組平行線中，利用比例線段很快地就得出了結果.比較上面的三種解法，我們發現第三種解法明顯要簡單一些，利用定義可以大大的簡化運算.這就是定義的妙用了！

數學概念是嚴謹的，也是抽象的.它是數學這門學科的基石，正確地理解和形成一個數學概念，必須明確這個數學概念的內涵 —— 對象的“質”的特征，及其外延——對象的“量”的范圍.一般來說，數學概念是運用定義的形式來揭露其本質特征的.所以我們在解題的過程中如果對概念的理解更加深刻一些，把握更加準確一些，運用更加靈活一些，那么就會把解題思維拓展得更寬，就會尋找到更好的簡單有效的解題方法，就會讓我們發現更多的數學樂趣！

1 邢素芳.數學概念淺談［J］.內蒙古教育綜合教育基礎版，2010年（4）

2 張靜.關于對高中數學解題思路的探索［J］.現代閱讀（教育版），2012年（4）

3 童守軍.應重視圓錐曲線定義的靈活應用［J］.中學數學，1994年（5）

4 范妍.重視數學概念建構，優化數學概念教學［J］.數學學習與研究 -教研版，2009年（7）

5 林承初.定積分概念的推廣及其幾何物理意義［J］.河南教育學院學報（自然科學版），2006年（2）