積分上限函數的教學探究

蔣紅敬　張振力

【摘 要】積分上限函數是微積分學中一類非常特殊的函數，它是溝通微分學和積分學的橋梁，本文主要從積分上限函數的性質及其求導應用教學進行了探究。

【關鍵詞】積分上限函數；原函數；連續

在微積分教學中，微積分學基本定理是連接微分學和積分學的一個紐帶，而微積分學基本公式——牛頓-萊布尼茨公式 ，為計算定積分提供了一個十分有效的方法，為了證明微積分學基本定理及牛頓-萊布尼茨公式，在數學分析（高等數學）教材中引進了積分上限函數，同時積分上限函數的求導也是全國碩士研究生入學考試的重要考點，由此可見積分上限函數的重要性. 但是初學者對這塊內容很難理解，為了幫助學生更好的掌握積分上限函數的豐富內涵，本文對積分上限函數的性質及其求導應用教學進行了探究.

一、積分上限函數的性質教學

（一）積分上限函數的概念

定義[2]設在區間上可積，則稱積分為在區間上的積分上限函數，稱積分為在區間上的積分下限函數，積分上限函數和積分下限函數統稱為積分變限函數.

在教學中應該讓學生注意：

（1）在區間上可積，則對，積分均存在，積分值與積分變量無關，所以，取定上限，就有一個積分值與之對應，從而在上定義了一個函數.

（2）讓學生弄明白與的關系.變上限函數中的自變量是上限，它又是一類特殊的定積分，為積分變量，在求定積分時，應把看成常量，積分變量在積分區間上變動，但對求導，是關于自變量求導.

（二）積分上限函數的性質

性質1在區間上，若存在（即可積），則.

性質2若可積，不一定是在區間上的原函數.

性質3 若，則是在區間上的一個原函數，即.

性質4[3]若是在上的一個原函數，則

性質4即為牛頓-萊布尼茨公式.

在教學中應該讓學生注意：

（1） 性質3是對性質1和性質2的改進，由可積，只能說明連續，并不能說明其可導，由可積改進為連續，則由連續改進為可導.

（2） 性質3也稱為原函數存在定理，可以看出連續函數一定存在原函數，它把可導和定積分兩個看似不相干的問題聯系在了一起，這是一個非常完美的定理，令數學界驚詫的定理，由此也被稱為微積分學基本定理.

二、積分上限函數的求導應用

由1.2中性質3可以看出，對積分上限函數求導，其實就是把被積函數中的積分變量 用上限 代換，大部分學生能記住這個結果，但卻不理解它的真正內涵，以至于對很多變上限積分求導問題還是感到無從下手.為了使學生能夠掌握住積分上限函數求導問題，教師可以采用探究式教學方法講授這部分內容，在講解完性質3的證明后，可以給出下面習題供學生求解：

（1）；（2）；

（3）； （4）

先讓學生仔細觀察，可能大部分學生得到的結果是把被積函數中的變量直接替換為，這是錯誤的，讓學生了解到這些例題（除第一個外）乍一看和性質3中積分上限函數類似，但又有不同.教師要耐心講解變限函數求導的實質，然后借助于復合函數求導法則，對高等數學教材中的變上限函數求導公式進行擴充：

（1），此函數為積分下限函數，也是一類特殊的定積分，根據定積分的性質可以得到，所以

（2），該函數的積分上限不是而是，可以看成由以及復合而成，從而

。

（3），該函數既是積分上限函數又是積分下限函數，利用積分區間的可加性可以得到，從而

（4），首先告訴學生一定要分清該函數中與的關系，自變量是，在定積分中，為積分變量，為常量，當然也是常量，從而，所以

講解完之后，告訴學生上述幾種類型的變限積分求導公式在以后做題時可以直接應用，這時學生對微積分學基本定理應該有了更深刻的認識. 鑒于上述公式中被積函數均為抽象函數，所以得讓學生做一些相應的習題，以便鞏固學習結果.

關于積分上限函數的求導問題是數學分析（高等數學）教學的重要內容，在課堂上要讓學生主動思考，發現問題，進而解決問題，真正理解微積分學基本定理，領會掌握積分上下限函數求導方法，只要這樣，學生才能體會到微分學和積分學的完美結合，體會到數學的奧妙.

參考文獻：

[1]景慧麗，屈娜等.積分上限函數的探究式教學[J].河南教育學院學報（自然科學版），2013，23（1）：54-56.

[2]同濟大學應用數學系.高等數學（上）[M].第六版.北京：高等教育出版社：2007.

[3]華東師范大學數學系.數學分析（上）[M].第三版.北京：高等教育出版社：2001.