兩時間尺度下非光滑廣義蔡氏電路系統的簇發振蕩機理*

李旭 張正娣 畢勤勝

(江蘇大學理學院,鎮江 212013)

1 引言

許多實際模型都會涉及到多時間尺度問題[1,2],這種多時間尺度因素不僅來自于真實時間上的快慢效應,同時也可能來自于幾何尺寸上的尺度效應,還有諸如反應系統結構效應、系統內部的物理效應等等,通過無量綱化后,在相應的數學模型中形成狀態變量在變化速率上的差異,此類系統也可稱為快慢耦合系統.如Oregonator化學反應模型中存在的不同量級反應速度的催化和自催化過程[3];在生物細胞中,快速的代謝過程可以結合到很慢的遺傳變化上[4];各種飛行器涉及高速的旋轉動力學與相對較慢的平移動力學的組合;其他還有諸如帶有飽和吸收器的激光系統[5,6]、神經動力學[7]等領域都會涉及多時間尺度問題.一般來說,快慢系統的周期振蕩通常表現為由具有相對較大振幅的振蕩和近似簡諧振動的微幅振蕩組合而成的,這種周期運動被稱為混合模態振動[8,9],通常用符號LS表示,其中L和S分別表示每一周期運動內大幅振動和微幅振蕩的次數,而連接快慢兩過程的行為一般被稱為簇發.簇發現象在神經元模型中已經被廣泛研究,對于一般的光滑快慢系統,Izhikevich[10]對低維情形下的各種簇發現象及其分岔機制做了很好的總結,而對于高維系統和非光滑系統中的不同尺度效應及其分岔機制,目前還有很多問題值得研究.

作為一個經典的混沌電路,蔡氏電路[11]由于結構簡單在實驗中能很方便地加以搭建,同時也具有如陣發混沌[12]、加周期分岔[13]等非常豐富的動力學行為,因而引起了廣泛的關注.為深入探討非線性系統的復雜性及相應的產生機理,許多學者基于經典蔡氏電路,通過相應的修改或擴展,建立了一系列的廣義蔡氏電路,并取得了大量的成果.例如,Stouboulos等[14]和Kolipanos等[15]應用蔡氏二極管替代非線性電阻建立了一個四階自治非線性電路,討論了其中混沌演化過程并解釋了由危機引起的間歇現象.

由于非光滑系統在分界面上會出現各種非常規分岔,尤其是多次穿越時可能會發生組合分岔,當非光滑系統存在不同的時間尺度時,這些相對比較特殊的非常規分岔,不僅可能影響系統沉寂態和激發態的形式,同時也可能使得沉寂態和激發態之間發生轉換,從而導致具有特殊行為的簇發振蕩.因此,深入探討非光滑系統中的不同尺度效應,對于揭示非光滑和多尺度兩種因素同時存在下系統的復雜性及其機理具有一定的理論意義.

本文重點關注非光滑系統中的不同尺度效應.基于蔡氏電路,建立了含分段線性非光滑因素的四階廣義蔡氏電路系統;同時,通過串聯一個周期變化的交變電流源并適當選取參數,使得電流源的周期變化頻率與系統的固有頻率之間存在量級上的差距,導致系統存在快慢兩不同兩時間尺度的耦合.通過其相應的廣義自治系統的平衡點及非光滑分界面上的分岔分析,結合轉換相圖,給出了兩種典型的對稱式Fold/Fold周期簇發和Fold/Hopf周期簇發現象,并揭示了兩類簇發振蕩的分岔機理.

2 數學模型

作為典型的第一類非光滑系統,含有分段線性特性二極管的蔡氏振子(圖1)由于系統相對簡單,同時具有豐富的動力學現象以及在實驗室容易重現[16],一直是分析各種非線性特征的重要系統之一[17].基于各種廣義的蔡氏振子模型,得到了許多有價值的研究結果[18].

圖1 電路原理圖

為深入分析非光滑系統中的不同尺度效應,在此引入周期變化的交變電流源VG(圖1),其相應的動力學模型可以表示為[19]

其中非線性電阻的伏安特性G(VC1)=P2VC1+(P1-P2)(|VC1+E0|-|VC1-E0|),周期變化電源特性VG=AGsin(?t),引入變化x=iL1/R1/E0,y=iL2R1/E0,u=VC1/E0,v=VC2/E0,t=,則(1)式可以表示為如下無量綱形式:

顯然,四維非線性系統(2)式在u=±1處存在著非光滑特征,同時,當系統的固有頻率與周期激勵頻率之間存在著量級差距時,會產生不同尺度效應,導致諸如大幅振蕩和微幅振蕩聯合作用的多模態耦合振蕩行為[20].為深入揭示其中的復雜動力學特性,探討非光滑因素對其行為的影響,我們首先考察系統的各種分岔特性.

3 廣義平衡點及其穩定性

簇發振蕩過程中的沉寂態大都表現為圍繞平衡態的微幅振蕩,因此,從沉寂態到激發態的分岔行為基本上都是局部分岔,而周期激勵下的非自治系統,通常表現為周期振蕩,不會存在嚴格意義下的不動點.為分析其相應的沉寂態形式及其可能產生的分岔行為,進而揭示簇發振蕩的機制,在此我們引入了廣義平衡點的概念.

注意系統中的周期激勵項w=Asin(?τ),設系統的固有頻率為ω,當周期激勵頻率??ω時,則在每一固有頻率的振動周期時間段Ψ內,w變化很小,也就是說,在系統每一固有頻率振蕩周期Ψ內,即τ∈[T0,T0+Ψ],其中T0為開始計時的起始點,w雖然在wA=Acos?T0和wB=Acos?(T0+Ψ)之間變化,由于wA與wB非常接近,因此在每時間段Ψ內,w可以近似視為常數,系統的行為則主要由w取wA和wB之間的某一近似常數時相應的自治系統決定,而w的微小變化則起到調諧作用[21].因此在??ω時,雖然整體w會在[-A,A]之間變化,而在每一考察的相對較短時間范圍內,w可以近似作為常數,此時周期激勵下的非自治系統可以看作相應的自治系統,稱為廣義自治系統,其相應的平衡點則稱為廣義平衡點.

令系統(2)中周期激勵項為w=Asin(?τ),A和?分別代表外激勵的振幅和頻率,則其相應的廣義自治系統可以表示為

3.1 區域D0中的平衡點及其穩定性

在區域D0中,系統僅存在一個平衡點E0=(m1/M,m2/M,m3/M,m4/M),其 中 M= α(βacβc-c-1),m1=c(a-1)w,m2=(a+c)w,m3=-(c+1)w,m4=(a-1)w,其穩定性由其相應的特征多項式決定,表示為

因此,當參數滿足條件 a1＞0,a1a2-a3＞0,a3(a1a2-a3)-＞0時,其相應的所有特征值均具有負實部,即平衡點E0為漸近穩定的.

3.2 區域D±中的平衡點及其穩定性

在兩區域D±中,系統均存在著惟一的平衡點E±=(n1/N,n2/N,n3/N,n4/N),其中

由于對稱性,其相應的特征多項式相同,統一表示為

因此,當參數滿足條件 b1＞0,b1b2-b3＞0,b3(b1b2-b3)-＞ 0時,P±(λ)=0的所有解的實部均為負值,故E±是漸近穩定的.

4 廣義自治系統的分岔分析

隨著參數的變化,不同子區域中的平衡點會失去穩定性,產生不同的分岔行為,導致各種動力學特性.為此,首先考察各區域中平衡點失穩的分岔條件及其相應的分岔模式.

4.1 區域D0中的平衡點的分岔

由特征多項式(4)可知,平衡點E0存在兩種失穩模式,也即當參數滿足條件

時存在單零特征值,可能會導致平衡點產生跳躍現象;而當參數滿足

時存在一對純虛根,可能產生Hopf分岔,導致周期振蕩行為.

4.2 區域D±中的平衡點的分岔

由于對稱性,D±中的平衡點具有相同的特征方程,因此也相應地存在著相同的失穩條件及其分岔模式.由(5)式可知,當參數滿足

時存在單零特征值,可能會導致平衡點之間的跳躍現象;而當參數滿足

時存在一對純虛根,可能產生Hopf分岔,導致系統產生周期振蕩行為.

4.3 分界面上的非光滑分岔

下面著重分析系統在分界面Σ1,2處的分岔.考慮到系統(3)的向量場依然保持連續性,可以利用廣義Clarke導數得到一個廣義Jacobian矩陣,表示為

其中J0和J1分別表示分界面兩邊平衡點的特征矩陣,從而可得廣義Jacobian矩陣的特征方程為

通過輔助參數q,分界面兩邊的Jacobian矩陣光滑連接.取定參數

圖2(a)和(b)分別給出了參數c=0.1和c=0.2時廣義Jacobian矩陣J(±1)的特征值分布情況.

對于c=0.1,當q=0.9219,其特征曲線在復平面上穿越原點,其相應的廣義Jacobian矩陣具有零特征值(圖2(a)),說明當系統軌跡穿越非光滑分界面時,可能產生非常規Fold分岔.對于c=0.2,當q=0.0004時,其相應的廣義Jacobian矩陣穿越純虛軸,即產生了一對純虛根,而當q=0.401時,其特征曲線又穿越原點,即產生零特征值.這說明,當輔助參數q從0變化到1,也即軌跡穿越非光滑分界面,其廣義Jacobian矩陣會產生多次穿越分岔,該非常規分岔不僅具有Fold分岔的特征,同時也具有Hopf分岔的特征,也即非常規Fold/Hopf分岔.計算表明,此時與Hopf分岔相應的振蕩頻率為0.9210.

圖2 隨輔助參數變化的廣義Jacobian矩陣特征曲線(a)c=0.1;(b)c=0.2

為描述非光滑分界面上的非常規分岔特性,下面結合分界面兩邊平衡點特性做示例說明.表1分別給出了參數c=0.1和c=0.2時,D0和D±區域中平衡點相應的特征值.對于c=0.1,注意到在D0區域中不同的焦點E0穿越分界面到D±中的穩定焦點E±時,其中的特征值從正變為負,即穿越零點,產生非常規Fold分岔.同樣對于c=0.2,兩邊的平衡點不僅穿越零點,也要穿越虛軸,會產生Fold和Hopf的組合分岔,即非常規Fold/Hopf分岔.

表1 不同區域中平衡點的特征值及非光滑分岔

5 簇發振蕩及其機理分析

當系統(2)中激勵項的頻率遠小于系統的固有頻率時,系統會產生簇發振蕩現象,當參數如(12)式取定時,計算可知c=0.1的系統的固有頻率為ω1=0.964,而在c=0.2時,其固有頻率為ω2=0.921,此時取激勵頻率?=0.02,顯然該頻率與系統的固有頻率之間存在著量級差距,因此會產生不同尺度耦合效應.圖3分別給出了在激勵幅值A=7.0下c=0.1和c=0.2時系統的相圖及其相應的時間歷程.

從圖3可以看出,系統表現為關于原點對稱的周期振蕩,此時兩個頻率均參與系統的振蕩行為,呈現出快變振蕩與慢變振蕩交替進行的典型快慢特征,也即周期簇發振蕩.

5.1 轉換相圖

為進一步探討其中的分岔機制,在此我們引入轉換相圖的概念.所謂轉換相圖,指的是將系統的相軌跡投影到非真實狀態變量空間或平面中,如對于(3)式的周期激勵系統,其軌跡可以表示為 (x,y,z)=(x1(τ),y1(τ),z1(τ)). 該軌跡可以在(x,y,z)三維空間或(x,y)等二維平面上投影,得到傳統的相圖,也可以向(x,w)或(y,w)等平面上投影,其中 w=Asin(?τ),其相應的平面軌跡為 (x,w)=[x1(τ),Asin(?τ)]或 (y,w)=[y1(τ),Asin(?τ)]. 由于 w=Asin(?τ) 不是真實的狀態變量,此時稱 (x,w)=[x1(τ),Asin(?τ)]或(y,w)=[y1(τ),Asin(?τ)]等為轉換相圖.

圖3 簇發振蕩的相圖及時間歷程圖 (a)c=0.1;(b)c=0.2

5.2 對稱的Fold/Fold簇發振蕩

圖4給出了c=0.1時系統在(u,x)和(u,y)平面上的相圖,此時系統表現為典型的周期簇發振蕩.結合圖3中的空間結構及其相應的時間歷程圖可以看出,此時簇發振蕩存在著兩種不同的階段,一是相對平緩的運動,對應于簇發過程的沉寂態(quiescent state),二是相對劇烈的大幅振蕩,對應于激發態(spiking state).

圖4 (a)u-x平面的相圖;(b)u-y平面的相圖

在簇發振蕩過程中存在兩種重要的分岔行為,也即從沉寂態到激發態的分岔以及從激發態到沉寂態的分岔.下面我們結合轉換相圖來分析兩種不同狀態之間的分岔連接過程.圖5給出了(w,u)平面上相應的轉換相圖以及 dw/dτ與u之間的關系圖.

5.3 簇發振蕩機制

周期簇發振蕩的軌跡穿越了兩條分界面,注意到此時系統在不同區域的平衡點在廣義相平面(w,u)形成倒Z形曲線(見圖5(a)),其中在兩分界面之間的中間部分為不穩定平衡點,而在區域D±中為穩定的焦點E±.以轉換相圖中的軌跡與非光滑分界面Σ1+的交點A1作為起點,由上節的分析知當輔助參數q=0.9219時,廣義Jocabian具有零特征值,說明系統在穿越非光滑分界面Σ1+可能會產生Fold分岔,同時從圖5(b)可以發現,在A1點dw/dτ＜0,因此軌跡在穿越Σ1+時由Fold分岔導致軌跡從A1點向倒Z形曲線的下半支也即穩定焦點E-跳躍.

圖5 對稱的Fold/Fold簇發機制 (a)w-u轉換相圖和對應自治系統平衡點分岔以及非光滑分界面疊加;(b)與u的關系

注意到在區域D0沒有穩定的平衡點,所以軌跡會穿過D0區域.經計算,系統在區域D0中的不穩定平衡點所對應的四個特征值分別為λ1=0.0076,λ2,3=-3.9788±1.064i,λ4=-1.8500,由于λ1在數值上相對較小,因此軌線從點A1到點A2的過程比較慢,這也可以從相應的時間歷程得到證實(見圖3(a)).

當軌跡穿過區域D0到達A2點,也即非光滑分界面Σ1-上時,雖然軌跡穿越Σ1-也可能會產生非常規Fold分岔,但是該分岔并未發生.

從圖5(b)可以發現,軌跡在A1和A2產生的區別的主要原因在于在A1和A2點處均滿足dw/dτ＜0,也即軌跡在A1將通過分界面Σ1+進入區域D0,而在A2點將通過Σ1-進入區域D-,注意到區域D0中不存在穩定的平衡點,所以產生軌跡的跳躍現象,而在區域D-中,E-是穩定的,這就使得軌跡直接趨于穩定的E-,無法產生跳躍,導致潛在的Fold分岔沒有發生.

相應地,由于軌跡在兩非光滑分界面Σ1±之間穿過D0區域,不會產生劇烈的振蕩行為,對應著簇發振蕩中的沉寂態,說明從D+中的激發態通過A1點的Fold分岔進入在D0區域中的沉寂態.

軌跡從A2點開始,在區域D-中運動,在區域D-中的平衡點經計算分別為=-0.0172±0.9644i,=-1.6828±0.4605i,也即存在一對實部絕對值非常小而虛部是常規量的共軛復特征根,注意到A2與倒Z形曲線平衡曲線的下半支存在一定的距離,當軌跡從A2逐漸收斂到平衡曲線時,會產生按照固有頻率且振蕩幅值減小很慢的逼近平衡曲線的振蕩過程,從而導致大幅振蕩行為,對應于簇發過程中的激發態.

系統軌跡最終會在D-區域中逐漸收斂于平衡曲線,當軌跡到達 A3時 dw/dτ=0,隨后dw/dτ＞0,導致廣義狀態變量w的增加;當軌跡到達Σ1-上的A4點時,發生與在A1相同的Fold分岔行為,只是此時軌跡通過區域D0經Σ1+上的A5點跳向區域D+中倒Z形曲線平衡曲線的上半支,并產生與D-區域中相同的振蕩行為.當軌跡到達極點A6時 dw/dτ=0,使得 dw/dτ變為負值,曲線回到A1點,完成一個周期振蕩過程.

w的變化過程其實也可以直接從其表達式中看出,注意到在w=Asin(?τ)中A=7.0,說明w的值會在[-7.0,+7.0]區域中做光滑變化,而在w變化的一個周期T=2π/?=100π內,其軌跡會經歷兩個沉寂態和兩個激發態過程,不同過程之間均由Fold分岔連接,產生對稱式的Fold/Fold簇發,考慮到對稱性及平衡曲線上下支都是穩定的焦點,我們也稱之為對稱式焦/焦型Fold/Fold簇發.

5.4 對稱的Fold/Hopf簇發振蕩

當參數c=0.2時,系統的行為會發生變化,圖6給出了空間軌跡(見圖3(b))在(u,x)和(u,y)平面上的投影,可以看出,此時系統仍做周期振蕩,但振蕩模式與上述對稱式焦-焦型Fold/Fold簇發的模式有所區別,主要體現在其激發態部分的極限環特征非常明顯.

圖6 (a)u-x平面的相圖;(b)u-y平面的相圖

5.5 簇發振蕩機制

圖7給出了(w,u)平面上相應的轉換相圖以及dw/dτ與u之間的關系.注意到在c=0.2時,廣義自治系統存在穩定的極限環,該極限環的產生與w的取值有關.

假設系統軌跡仍從非光滑分界面Σ1+上的B1點出發,由于此時 dw/dτ＜0,系統軌跡必須穿過區域D0,而當輔助參數q=0.401時,廣義Jocabian矩陣存在零特征值,與上述分析相同,此時系統在非光滑分界面Σ1-上的點B1處發生了Fold分岔,發生跳躍現象,受D-中穩定極限環的吸引,軌跡將穿過區域D0到達分界面Σ1-上的B2點,在區域D0軌線主要受平衡點E0的影響.經計算,軌線在區域D0所對應的特征值為λ1=0.1165,λ2,3=-3.9759±1.0621i,λ4=-1.8648,由于λ1相對較小,因此軌線從點B1到點B2的過程比較慢,形成沉寂態.系統從點B2開始,軌線進入區域D-.計算發現,隨著w的變化,廣義自治系統會產生超臨界Hopf分岔,導致周期振蕩,此時雖然所產生的極限環是穩定的,但由于w從本質上說不是系統參數,而是一周期函數,所以只會發生圍繞該極限環的振蕩.系統軌跡從B2開始在D-內運動,由于w的變化,產生Hopf分岔,導致大幅的周期振蕩.當軌跡到達w=-7的極值點B3時,軌跡的振蕩幅值將逐步減小,直到分界面Σ1-上的B4,完成這部分的激發振蕩.由對稱性,同樣在B4會產生Fold分岔,使得軌跡穿過區域D0到達分界面Σ1+上的B5點,在區域D+內產生Hopf分岔,使得系統從沉寂態轉向激發態,并與區域D-中的過程類似,軌跡最終回到B1點,完成一個周期的簇發振蕩.

圖7 對稱的Fold/Hopf簇發機制 (a)w-u轉換相圖和對應自治系統平衡點分岔以及非光滑分界面疊加;(b)與u的關系

在該簇發振蕩過程中,Fold分岔使得系統從激發態進入沉寂態,而Hopf分岔導致系統從沉寂態回到激發態,同樣簇發振蕩具有對稱性.而與上述對稱式焦/焦型Fold/Fold簇發在不同焦點之間轉換不同,該簇發是在焦點和極限環之間轉換,因此我們稱之為對稱式點/環型Fold/Hopf簇發.

6 結論

對于具有兩非光滑分界面的周期激勵下的廣義蔡氏電路,當激勵頻率與系統的固有頻率之間存在量級差距時,會產生快慢效應,導致簇發振蕩.通過廣義自治系統的平衡點及其穩定性,近似分析了其中諸如Fold和Hopf等不同分岔行為及其產生條件,進而探討了各種參數下系統的振蕩特征,分析了不同沉寂態和激發態的產生原因及其相應的分岔行為,得到了對稱式焦/焦型Fold/Fold型和對稱式的點/環Fold/Hopf型兩種簇發振蕩,并結合轉換相圖,考察了兩種簇發振蕩的特點,揭示了不同簇發相應的產生機理.

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