旋轉(zhuǎn)式慣導(dǎo)系統(tǒng)光纖陀螺在線自標(biāo)定方法

周元，鄧志紅，王博，付夢(mèng)印

(北京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京100081)

精確標(biāo)定慣性器件的零偏、標(biāo)度因數(shù)誤差、安裝誤差等并加以補(bǔ)償是提高慣導(dǎo)系統(tǒng)精度的關(guān)鍵一步.對(duì)這些參數(shù)除了在實(shí)驗(yàn)室標(biāo)定外，還可以在現(xiàn)場(chǎng)標(biāo)定.現(xiàn)場(chǎng)標(biāo)定是在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)處于載體安裝狀態(tài)下進(jìn)行的，相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室標(biāo)定來說，現(xiàn)場(chǎng)標(biāo)定環(huán)境更接近于系統(tǒng)的實(shí)際工作環(huán)境，針對(duì)性強(qiáng)，對(duì)于提高慣導(dǎo)系統(tǒng)的實(shí)際使用精度意義重大.但是在線標(biāo)定無法利用轉(zhuǎn)臺(tái)等試驗(yàn)設(shè)備，只能依靠重力場(chǎng)、地球自轉(zhuǎn)角速度、載體的運(yùn)動(dòng)及載體上其他輔助導(dǎo)航設(shè)備(如衛(wèi)星接收機(jī)、里程計(jì)等)來完成.傳統(tǒng)的光纖陀螺在線標(biāo)定方案是將其零偏列入初始對(duì)準(zhǔn)狀態(tài)向量，采用Kalman濾波估計(jì)［1］，該方法通常選擇導(dǎo)航系統(tǒng)速度誤差作為外觀測(cè)量，在靜基座條件下可用系統(tǒng)實(shí)時(shí)解算的速度代替［2］.但以地速誤差為外觀測(cè)量的初始對(duì)準(zhǔn)Kalman濾波的可觀測(cè)性低［1］，濾波估計(jì)的效果不理想.

近年來，誤差旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)逐漸成為捷聯(lián)慣導(dǎo)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn).旋轉(zhuǎn)式慣導(dǎo)系統(tǒng)具有與平臺(tái)式系統(tǒng)類似的框架和轉(zhuǎn)軸，但功能不同，僅相當(dāng)于在捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)外部加上轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)和測(cè)角裝置，通過使慣性測(cè)量單元(inertial measurement unit，IMU)旋轉(zhuǎn)來抑制慣性器件誤差的積累，成本較平臺(tái)式系統(tǒng)大幅降低［3-4］.旋轉(zhuǎn)式IMU可控制的角運(yùn)動(dòng)特性為光纖陀螺在線自主標(biāo)定提供了新思路.利用IMU旋轉(zhuǎn)(包括連續(xù)旋轉(zhuǎn)和多位置轉(zhuǎn)停)可改善初始對(duì)準(zhǔn)可觀測(cè)性從而提高對(duì)慣性器件誤差參數(shù)的估計(jì)精度［5-7］，但旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的誤差也將引入新的誤差源［8］.為實(shí)現(xiàn)光纖陀螺誤差的在線標(biāo)定，本文根據(jù)旋轉(zhuǎn)式IMU的光纖陀螺輸出模型特點(diǎn)，提出了一種易于實(shí)現(xiàn)的基于遞推最小二乘(recursive least square，RLS)估計(jì)的光纖陀螺誤差參數(shù)高精度在線快速標(biāo)定方案，并給出基于硬件系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法.仿真結(jié)果表明了所提出的方案的有效性，為該算法的工程化實(shí)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ).

1 旋轉(zhuǎn)式IMU光纖陀螺解耦RLS估計(jì)標(biāo)定方案

1.1 光纖陀螺的在線標(biāo)定數(shù)學(xué)模型

導(dǎo)航系統(tǒng)平臺(tái)(包括物理平臺(tái)和數(shù)學(xué)平臺(tái))漂移主要是由陀螺的安裝誤差、標(biāo)度因數(shù)誤差和漂移誤差等引起的［9］，其中安裝誤差、高次項(xiàng)誤差和噪聲等復(fù)雜因素一般難以估算，在線標(biāo)定中可以忽略.慢變漂移分量會(huì)隨著工作過程中各種條件的改變發(fā)生緩慢變化.陀螺的逐次啟動(dòng)漂移取決于陀螺啟動(dòng)時(shí)的各種隨機(jī)因素，一旦啟動(dòng)完成，改漂移便成為一個(gè)固定的常數(shù)［10］，標(biāo)度因數(shù)誤差也可以用一個(gè)隨機(jī)常數(shù)來描述.因此在初始對(duì)準(zhǔn)階段較短時(shí)間內(nèi)需要進(jìn)行標(biāo)定的誤差項(xiàng)即為陀螺的逐次啟動(dòng)漂移和陀螺的標(biāo)度因數(shù)誤差，由此得到光纖陀螺在線標(biāo)定數(shù)學(xué)模型:

式中:ωi和ωo分別為光纖陀螺的輸入角速度和輸出角速度，δK為標(biāo)度因數(shù)誤差，ε為零偏，wg為隨機(jī)噪聲.

1.2 旋轉(zhuǎn)式IMU光纖陀螺解耦RLS估計(jì)數(shù)學(xué)模型

在旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中，從IMU坐標(biāo)系到載體坐標(biāo)系的方向余弦矩陣(稱為旋轉(zhuǎn)矩陣)數(shù)學(xué)模型由旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)和旋轉(zhuǎn)方案決定，對(duì)于內(nèi)環(huán)轉(zhuǎn)軸與IMU坐標(biāo)系的x軸重合，外環(huán)轉(zhuǎn)軸與載體坐標(biāo)系z(mì)軸重合的雙軸旋轉(zhuǎn)式慣導(dǎo)系統(tǒng)，令內(nèi)環(huán)軸、外環(huán)軸周期性連續(xù)旋轉(zhuǎn)，每旋轉(zhuǎn)一周改變轉(zhuǎn)向，則旋轉(zhuǎn)矩陣表達(dá)式如下:

式中:角標(biāo)p表示IMU坐標(biāo)系，其三坐標(biāo)軸分別與IMU敏感軸重合;αj表示轉(zhuǎn)軸 j轉(zhuǎn)過的角度(j=x，z).

在靜基座下，旋轉(zhuǎn)式慣導(dǎo)系統(tǒng)光纖陀螺所敏感到的角速度為

式中:角標(biāo)i、n、e分別表示地心慣性坐標(biāo)系、地理坐標(biāo)系(選為導(dǎo)航坐標(biāo)系)、地球坐標(biāo)系;L為初始對(duì)準(zhǔn)時(shí)載體所在緯度位置，ωie為地球自轉(zhuǎn)角速率，ωrx和ωrz分別為轉(zhuǎn)軸x和轉(zhuǎn)軸z的旋轉(zhuǎn)角速度.

對(duì)于雙軸旋轉(zhuǎn)式慣導(dǎo)系統(tǒng)，可以仿照平臺(tái)式系統(tǒng)對(duì)其進(jìn)行粗調(diào)平，使俯仰角、橫滾角近似為零，而方位角可以通過解析法近似求得，則姿態(tài)矩陣可以寫成以下形式:

根據(jù)式(1)可以得到旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)靜基座下光纖陀螺的輸出模型為

式中:“～”表示該參數(shù)為光纖陀螺的測(cè)量值，下標(biāo)x、y、z表示IMU坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向;δKj為光纖陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差，ωipj為IMU相對(duì)慣性空間的角速度在IMU坐標(biāo)系下的分量，εj和wgj分別表示陀螺的零偏和噪聲(j=x，y，z).

將式(2)～(4)代入式(5)，其中參數(shù) φk、εj、δKj、ωie均為小量，將由它們相乘得到的二階、三階小量忽略，可得旋轉(zhuǎn)式捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)靜基座下光纖陀螺的輸出模型的簡(jiǎn)化形式:

式中:L的值已知，ωrx、ωrz與 αx、αz可以分別從旋轉(zhuǎn)機(jī)構(gòu)的角速度傳感器與角度傳感器實(shí)時(shí)測(cè)得，由此可以得到各陀螺零偏與標(biāo)度因數(shù)誤差的線性組合的觀測(cè)量.式(6)的簡(jiǎn)化近似略去了IMU陀螺組各通道之間的耦合，則每個(gè)光纖陀螺可視為一個(gè)獨(dú)立的通道，取其零偏和標(biāo)度因數(shù)誤差作為狀態(tài)量，采集光纖陀螺輸出值進(jìn)行最小二乘估計(jì)，可以實(shí)現(xiàn)光纖陀螺在線標(biāo)定.各通道的觀測(cè)量分別為

為充分利用陀螺測(cè)量值，使用RLS估計(jì)以提高估計(jì)精度.根據(jù)旋轉(zhuǎn)IMU的光纖陀螺解耦輸出模型，各通道數(shù)據(jù)最小二乘估計(jì)解算流程相同，其遞推公式為

應(yīng)用最小二乘標(biāo)定時(shí)，取狀態(tài)向量X初值為零，Pj(0)和Rj分別按照光纖陀螺的標(biāo)稱值取值，其中，Pj(0)為對(duì)角矩陣，它的對(duì)角元素為光纖陀螺的零偏和標(biāo)度因數(shù)誤差的平方，Rj為光纖陀螺噪聲方差.

1.3 光纖陀螺誤差解耦RLS算法估計(jì)性能分析

對(duì)于在地球表面運(yùn)動(dòng)的車輛、艦船等載體，光纖陀螺捷聯(lián)式慣導(dǎo)系統(tǒng)初始對(duì)準(zhǔn)的Kalman濾波狀態(tài)方程可寫為

式中:X為慣導(dǎo)系統(tǒng)初始對(duì)準(zhǔn)狀態(tài)向量，WV為系統(tǒng)噪聲向量，系統(tǒng)狀態(tài)矩陣與系統(tǒng)噪聲系數(shù)矩陣中各子陣表達(dá)式如下:

式中:下標(biāo)b表示載體坐標(biāo)系，其坐標(biāo)軸x、y、z分別指向載體右、前、上;R為地球半徑;c11，c12，…，c23為載體姿態(tài)矩陣的各元素;Vk表示載體速度，δVk表示其誤差;fk為地理坐標(biāo)系下的比力分量(k=E，N，U);ωibj為載體相對(duì)慣性空間的角運(yùn)動(dòng)，Δj和waj分別為加速度計(jì)的零偏和噪聲(j=x，y，z).

初始對(duì)準(zhǔn)中光纖陀螺標(biāo)定可用解耦RLS估計(jì)替代，因此可以將狀態(tài)向量中陀螺零偏和標(biāo)度因數(shù)誤差刪除，從而降低狀態(tài)方程階數(shù).Kalman濾波器的運(yùn)算量與其階數(shù)的三次方成正比.若系統(tǒng)狀態(tài)方程階數(shù)為n，觀測(cè)方程階數(shù)為m，則完成一次遞推計(jì)算需要完成4n3+(1+4m)n2+(2m2+2m)n+m3次乘除運(yùn)算和4n3+(4m-2)n2-(2m+1)n+m3次加法運(yùn)算［10］.原Kalman濾波狀態(tài)方程為14階，觀測(cè)方程為2階，而刪除光纖陀螺零偏和標(biāo)度因數(shù)誤差狀態(tài)量以后，系統(tǒng)狀態(tài)方程為8階，觀測(cè)方程為2階，可知降階系統(tǒng)的Kalman濾波乘除法、加法運(yùn)算量分別下降至原系統(tǒng)的21.12%和19.84%.

對(duì)于使用參數(shù)辨識(shí)法進(jìn)行初始對(duì)準(zhǔn)的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)，如果已知陀螺的等效東向漂移，則可以提高求方位失準(zhǔn)角初值的精度［11］.利用最小二乘法標(biāo)定的陀螺誤差參數(shù)求得陀螺東向等效漂移，可以改善參數(shù)辨識(shí)法對(duì)準(zhǔn)精度.

2 光纖陀螺誤差參數(shù)的解耦RLS估計(jì)仿真研究

通過Matlab軟件仿真實(shí)驗(yàn)，比較解耦RLS估計(jì)和捷聯(lián)慣導(dǎo)初始對(duì)準(zhǔn)Kalman濾波在光纖陀螺在線標(biāo)定方面的性能.仿真條件設(shè)定如下:靜基座初始對(duì)準(zhǔn)過程中，載體所在緯度為30°，載體的航向角為30.06°，為 30°，粗調(diào)平后俯仰角、橫滾角均為0.06°，光纖陀螺的零偏為0.01°/h，標(biāo)度因數(shù)誤差為10×10-6，陀螺隨機(jī)噪聲為標(biāo)準(zhǔn)差為0.005(°)/h的高斯白噪聲.加速度計(jì)的零偏為10-4g，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為0.5×10-4g.慣性器件的采樣頻率為100 Hz，其中旋轉(zhuǎn)式慣導(dǎo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)軸結(jié)構(gòu)與式(2)系統(tǒng)相同，其雙軸均以5(°)/s的角速度旋轉(zhuǎn).分別進(jìn)行900 s的最小二乘估計(jì)和Kalman濾波，光纖陀螺零偏和標(biāo)度因數(shù)誤差的估計(jì)誤差如圖1、2所示.

圖1 2種方法陀螺零偏的估計(jì)誤差比較Fig.1 The comparison of estimation errors of the two methods about gyro biases

圖2 2種方法陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差的估計(jì)誤差比較Fig.2 The comparison of estimation errors of the two methods about scale factor errors

在仿真實(shí)驗(yàn)后期(t=450～900 s)，2種方法的估計(jì)誤差絕對(duì)值的均值如表1.

根據(jù)仿真結(jié)果可知:相對(duì)捷聯(lián)慣導(dǎo)初始對(duì)準(zhǔn)Kalman濾波，旋轉(zhuǎn)IMU光纖陀螺解耦RLS估計(jì)的2種陀螺誤差參數(shù)的平均標(biāo)定誤差分別下降至52.41%和46.68%，證明采用解耦近似模型的RLS估計(jì)可以更加快速、準(zhǔn)確地對(duì)光纖陀螺進(jìn)行在線標(biāo)定，從而為導(dǎo)航解算提供更加準(zhǔn)確的光纖陀螺誤差軟件補(bǔ)償參數(shù).

對(duì)于使用參數(shù)辨識(shí)法進(jìn)行初始對(duì)準(zhǔn)的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)，求方位失準(zhǔn)角初值的方法［11］為

式中，誤差項(xiàng)εE/(ωiecos L)可用標(biāo)定的陀螺誤差參數(shù)進(jìn)行補(bǔ)償，即估算陀螺東向等效漂移:

如果陀螺零偏未經(jīng)標(biāo)定，εE將全部成為計(jì)算近似誤差，則按照仿真實(shí)驗(yàn)的參數(shù)設(shè)置與仿真結(jié)果，可求得經(jīng)補(bǔ)償后由陀螺漂移引起的方位失準(zhǔn)角初值參數(shù)辨識(shí)誤差降低至原來的47.99%.

表1 2種方法的估計(jì)誤差絕對(duì)值的均值Table 1 Comparison of estimation errors of the two methods

3 自標(biāo)定算法硬件實(shí)現(xiàn)方法研究

光纖陀螺誤差參數(shù)標(biāo)定可以用于導(dǎo)航系統(tǒng)的自主校正，也可用于慣性穩(wěn)定平臺(tái)的初始對(duì)準(zhǔn)與標(biāo)定，或?qū)饫w陀螺進(jìn)行元件級(jí)的快速標(biāo)定，因此可以設(shè)計(jì)相對(duì)獨(dú)立的專用數(shù)字信號(hào)處理嵌入式系統(tǒng)以滿足不同的應(yīng)用需求.解耦RLS法的矩陣運(yùn)算階數(shù)低，因此具有易于用數(shù)字系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的優(yōu)勢(shì).利用運(yùn)算硬件模塊的分時(shí)復(fù)用技術(shù)［12］，可以節(jié)省硬件資源，體現(xiàn)算法的工程應(yīng)用優(yōu)勢(shì).

3.1 RLS估計(jì)的程序編排

為實(shí)現(xiàn)算法，需將其整理成與離散化的程序編排形式.令式(8)中，各矩陣的元素如下:

代入式(12)的遞推計(jì)算公式，可以得到陀螺誤差參數(shù)估計(jì)值和P矩陣的遞推計(jì)算公式:

其中:

按上述解算程序迭代計(jì)算，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)旋轉(zhuǎn)式慣導(dǎo)系統(tǒng)IMU的光纖陀螺誤差參數(shù)的RLS估計(jì).

3.2 基于FPGA的運(yùn)算電路實(shí)現(xiàn)

易于在結(jié)構(gòu)化的硬件數(shù)字系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)是本文算法的特色之一.通過算法的解耦簡(jiǎn)化，最小二乘運(yùn)算矩陣階數(shù)降至二階，提高了設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化邏輯電路的可行性.由于各陀螺通道最小二乘法的I/O數(shù)據(jù)格式與解算程序相同，因此可用同一運(yùn)算電路分時(shí)處理三通道數(shù)據(jù)，從而節(jié)省2/3的邏輯資源.Xilinx公司的System Generator是一種結(jié)構(gòu)化、模塊化的FPGA開發(fā)工具，本文基于此軟件工具實(shí)現(xiàn)基于解耦RLS的標(biāo)定算法，系統(tǒng)的解算數(shù)據(jù)流程如圖3.系統(tǒng)的各主要功能模塊的作用和實(shí)現(xiàn)方法如下:

1)時(shí)序控制模塊.在每個(gè)解算周期的不同時(shí)期，時(shí)序控制模塊依次向數(shù)據(jù)預(yù)處理模塊、數(shù)據(jù)選擇模塊、讀寫控制模塊提供使能信號(hào).

2)輸入接口模塊.分別采集陀螺儀、轉(zhuǎn)軸角速度傳感器、角位置傳感器輸出值，同時(shí)從導(dǎo)航計(jì)算機(jī)讀取裝訂信息(載體緯度、粗對(duì)準(zhǔn)航向角).其中陀螺輸出值和角速度并行讀取，而L、αx、αz在每個(gè)解算周期開始串行讀取.

圖3 RLS估計(jì)陀螺在線標(biāo)定系統(tǒng)解算數(shù)據(jù)流圖Fig.3 The computation data flow of RLS estimation based online gyro calibration system

3)數(shù)據(jù)預(yù)處理模塊.每個(gè)解算周期的前100個(gè)時(shí)鐘周期為數(shù)據(jù)預(yù)處理階段，按式(7)計(jì)算各通道外觀測(cè)量和觀測(cè)矩陣:

對(duì)復(fù)雜的正余弦IP核進(jìn)行分時(shí)復(fù)用，串行輸入L、αx、αz并用2 個(gè)時(shí)分多路開關(guān) IP 核分別對(duì)正、余弦輸出進(jìn)行串并轉(zhuǎn)換，可節(jié)省3/4的正余弦IP核邏輯資源.

4)數(shù)據(jù)選擇模塊.提供實(shí)現(xiàn)分時(shí)復(fù)用的多路開關(guān)［13］的控制信號(hào):用3個(gè)多路開關(guān)分別接收預(yù)處理模塊輸出數(shù)據(jù)，進(jìn)行并串轉(zhuǎn)換，以節(jié)省邏輯資源;用1個(gè)多路開關(guān)接收RLS分子模塊輸出的X、P元素?cái)?shù)據(jù).

5)讀寫控制模塊與存儲(chǔ)器組模塊.控制存儲(chǔ)器組模塊用6個(gè)RAM存儲(chǔ)6個(gè)X、P矩陣元素?cái)?shù)據(jù)以實(shí)現(xiàn)遞推解算，與數(shù)據(jù)選擇模塊同步讀取相應(yīng)通道的x1、x2、p11、p12、p21、p22，并將除法器運(yùn)算結(jié)果分別寫入相應(yīng)RAM的相應(yīng)通道地址.在x1和x2的RAM的輸出端設(shè)置外部接口，在相應(yīng)的時(shí)序即可讀取光纖陀螺誤差參數(shù)估計(jì)值.

6)RLS解算模塊組.由RLS分子、分母模塊、除法器模塊組成.通過多路開關(guān)將各分子參數(shù)串行輸入除法器與公共的分母相除，可以節(jié)省5/6的除法器邏輯資源，得到實(shí)時(shí)的狀態(tài)量估計(jì)值與P.

在System Generator開發(fā)環(huán)境下實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)并進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真參數(shù)設(shè)置與上文仿真條件相同，而其中遞推解算周期按 FPGA系統(tǒng)設(shè)定為0.1 ms，經(jīng)過0.5 s的RLS估計(jì)(解算5 000次)，得到的光纖陀螺零偏誤差參數(shù)估計(jì)值分別為0.006 249(°)/h，0.006 353(°)/h，0.009 314(°)/h，標(biāo)度因數(shù)誤差參 數(shù) 估 計(jì) 值 分 別 為9.065 5× 10-6，9.047 2×10-6，9.047 9×10-6.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明基于FPGA實(shí)現(xiàn)的解耦RLS估計(jì)數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)旋轉(zhuǎn)IMU中光纖陀螺的零偏與標(biāo)度因數(shù)誤差的在線標(biāo)定.

4 結(jié)論

本文通過對(duì)旋轉(zhuǎn)IMU中光纖陀螺輸出模型的解耦簡(jiǎn)化，建立其在線自主標(biāo)定數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)了光纖陀螺零偏和標(biāo)度因數(shù)誤差RLS估計(jì)算法及標(biāo)定方案.仿真實(shí)驗(yàn)表明，相對(duì)于捷聯(lián)慣導(dǎo)靜基座Kalman濾波對(duì)準(zhǔn)方法，可提高光纖陀螺誤差參數(shù)的估計(jì)精度.

利用標(biāo)定參數(shù)可改善初始對(duì)準(zhǔn)性能，對(duì)于Kalman濾波初始對(duì)準(zhǔn).利用標(biāo)定參數(shù)進(jìn)行模型降階，可使Kalman濾波運(yùn)算量降低約80%.對(duì)于參數(shù)辨識(shí)法初始對(duì)準(zhǔn)，陀螺誤差的標(biāo)定值可使由陀螺漂移引起的方位失準(zhǔn)角初值的近似誤差降低50%以上.

本文算法具有易于硬件系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的優(yōu)勢(shì)，根據(jù)各陀螺通道解算程序相同的特點(diǎn)，利用存儲(chǔ)器和時(shí)分多路開關(guān)實(shí)現(xiàn)RLS解算模塊的分時(shí)復(fù)用，相關(guān)邏輯資源可以節(jié)省2/3.在外觀測(cè)量初始化模塊和RLS解算模塊中分別對(duì)三角函數(shù)和除法器IP核分時(shí)復(fù)用，實(shí)現(xiàn)正余弦運(yùn)算和除法運(yùn)算的邏輯資源可分別節(jié)省3/4和5/6.本文基于FPGA實(shí)現(xiàn)了解耦RLS估計(jì)算法，為其在導(dǎo)航系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ).

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