非線性橫搖阻尼對運動和波浪扭矩的統一修正

李輝，張藝瀚，任慧龍

(哈爾濱工程大學船舶工程學院，黑龍江哈爾濱150001)

船舶在波浪中的運動以及波浪載荷預報的方法有切片法、二維半法和三維線性法等.基于三維勢流理論［1］的線性計算法假設入射波是微幅波，船舶在微幅波中的運動也是微幅的.實際上，船舶在惡劣海況下的大幅搖蕩運動非常明顯，已不再滿足線性化假設，屬于非線性問題，其中橫搖運動的非線性效應相比于其他搖蕩運動更加突出.為了準確預報船舶的橫搖運動和波浪載荷，必須考慮橫搖阻尼的非線性效應.尤其對艦艇和工程類船舶，良好的橫搖運動性能是其完成作戰、作業任務的保證，準確的波浪載荷預報更是其結構強度可靠性評估的基礎.因此，本文對于非線性橫搖的研究具有深遠的意義和較強的工程實用性.

橫搖非線性可分為阻尼力矩、恢復力矩、附加慣性矩和波浪擾動力矩的非線性［2］，其中恢復力矩的非線性主要影響橫搖頻率，阻尼力矩的非線性主要影響橫搖幅值，是國內外研究的重點.Nayfeh等［3］對于規則橫浪中的船舶根據牛頓第二定律建立非線性運動方程.文獻［4-5］研究了非線性恢復力矩及其線性化解法，使非線性恢復力矩的處理較為成熟.Eissam等［6］討論了非線性橫搖運動的解析解和數值解.但是，在基于勢流理論建立的線性橫搖運動方程中，精確計入非線性橫搖阻尼十分復雜，目前除了橫搖衰減試驗方法［7］外，通常采用基于能量法［8］的等效線性化方法，得到近似經驗公式，如貝爾登法［9］、米勒法、駁船經驗公式法、臨界阻尼系數法［10］等，針對不同船型，各種修正方法的效果不盡相同.

本文在考慮非線性恢復力矩的基礎上，采用等效線性化方法確定非線性橫搖阻尼系數，并計入橫搖運動方程來修正船舶的橫搖運動.另一方面，在求解運動方程后的波浪載荷計算中，如波浪扭矩，往往因為不能很好地將非線性橫搖阻尼考慮進去而影響計算結果.本文在波浪扭矩的計算中，提出了一種按濕表面積插值分配的方法，有效地在波浪扭矩的計算中考慮了非線性橫搖阻尼的影響.

1 非線性橫搖阻尼

1.1 等效線性化原理

非線性橫搖阻尼力矩與橫搖運動的高次方有關，通常取平方阻尼規律函數表達式［11］:

相應的橫搖運動方程為

首先令φ=φmsin(nφt).平方阻尼力矩在一個周期內所作的功為

可見等效線性化得阻尼系數與橫搖角的幅值呈正比，知道了平方阻尼系數后，可用式(5)求得.通常，平方阻尼系數B可用經驗公式近似.

1.2 橫搖阻尼系數近似公式

1)貝爾登公式.

這種方法是從平方阻尼公式轉化而來的，等效線性阻尼表達式為

式中:η4a為橫搖運動幅值;ωe為遭遇圓頻率;L、B為垂線間船長、型寬;k為經驗系數，根據船型特征確定.

2)米勒法.

米勒等根據軍艦模型的靜水橫搖衰減曲線分析整理，給出平方阻尼的無因次等效線性阻尼系數與船主尺度，舭龍骨長度以及航速相關的近似式:

其中:

式中:hx為橫穩心高，Cb為方形系數，Rb、lb、Ab為舭龍骨參數.

3)駁船經驗公式法.

駁船經驗公式適用于船體型線較為方整的船舶，其等效線性化的阻尼表達式為

其中:

4)臨界阻尼系數修正法.

等效線性化的阻尼表達式:

式中:Bcoef為臨界阻尼修正系數，通常取0.05;I11為船舶繞縱軸慣性矩;A44為橫搖附加質量.

此外，等效線性化得阻尼系數與橫搖運動幅值有關，所以求解橫搖運動的過程是一個迭代計算的過程，由計算機實現計算.

2 橫搖運動修正

根據三維勢流理論，船舶在波浪中運動時的總的運動方程為

式中:M為船舶質量矩陣;C為靜恢復力矩陣;η(t)為船舶6自由度運動列向量;f(t)為波浪干擾力，為波浪主干擾力和波浪繞射力之和.波浪輻射力:

式中，A為附加質量矩陣，B為阻尼系數矩陣，且

式中，φj(x，y，z)為單位輻射勢，在定解條件下運用源匯分布法［12］求解.

針對橫搖運動，需要對阻尼系數矩陣中的B44項進行非線性阻尼修正，具體方法是用上述等效線性化后的阻尼系數代替線性阻尼系數，求解橫搖運動方程.

本文根據船舶在波浪中橫搖的劇烈程度選取4種不同標準船型:散貨船、大型浮吊船、集裝箱船和Wigley船型.運用上述原理和非線性橫搖阻尼系數近似公式，基于三維線性運動與波浪載荷計算程序計算其橫搖運動的幅頻響應，從而反映各種近似公式對不同船型的修正效果，計算采用1 m和6 m波幅，波浪頻率范圍 0.1 ～1.8 rad/s，間隔 0.1 rad/s，浪向角取艏斜浪60°.圖1為計算船舶水動力模型，表1為計算船舶的主要船型參數.

圖1 船舶水動力計算模型Fig.1 Hydrodynamic model of the ship

表1 船型參數Table 1 Principal dimensions of the ship

計算結果如圖2～5，其中橫搖運動幅值響應經過無因次化處理:

分析圖2～5可得:

1)由于考慮了非線線橫搖阻尼，運用等效線性化方法進行橫搖運動修正后，橫搖幅值有所下降，且不同經驗公式下的修正程度不盡相同.

2)當波幅是1 m時，由于橫搖幅度較小，非線性現象不明顯，基本體現不出非線性修正效果，但隨著波幅的增加，非線性修正效果體現得十分明顯，各種修正公式之間差距較大，橫搖幅值也隨著波幅的增加呈非線性增長.

3)針對所選4種標準船型，各個橫搖非線性阻尼系數近似經驗公式的修正效果不同，其中臨界阻尼系數法和貝爾登法對各船的橫搖運動修正程度較小，米勒法修正效果較明顯.

4)通過與試驗值的比較可以發現，集裝箱船采用以舭龍骨原理的米勒法修正效果最好，Wigley船型采用駁船經驗公式和米勒法有較好的修正效果.對于散貨船和大型浮吊船，米勒法的修正效果最為顯著，幅值的變化最大，更能體現橫搖非線性效應，但由于缺少試驗數據，其工程適用性有待進一步研究.

圖2 不同波幅下散貨船橫搖運動響應Fig.2 Roll response of bulk carrier at different wave am plitudes

圖3 不同波幅下浮吊船橫搖運動響應Fig.3 Roll response of floating crane at different wave amplitudes

圖4 不同波幅下集裝箱船橫搖運動響應Fig.4 Roll response of container ship at different wave am plitudes

圖5 不同波幅下Wigley船橫搖運動響應Fig.5 Roll response of Wigley at different wave amp litudes

3 波浪扭矩修正

3.1 問題描述

根據求得的船舶在規則波中的運動穩態解ηj(j=1，2，...，6)和速度勢采用線性化的的伯努利方程，并計入靜水壓力變化部分的貢獻，得到總的脈動壓力:

式中:

根據達朗伯原理，作用于部分長度船體上的真實流體載荷與剛體慣性力載荷相平衡，可得船體剖面載荷:

圖6 修正前不同頻率和浪向下的扭矩分布Fig.6 Distribution of torque at different wave frequencies

扭矩的計算涉及到船體表面脈動壓力的積分和橫搖運動，上一步在求解橫搖運動時，對運動方程中的阻尼系數B44進行了非線性修正，但是脈動壓力的求解還是根據線性化理論求得，并未考慮橫搖非線性的影響，如式(11)所示，線性化的阻尼系數與式中的輻射勢相對應.因此，扭矩的求解會因為只考慮了運動單一方面的非線性橫搖修正使方程不封閉，導致扭矩沿船長的分布在船艏處發散.

為了形象地反映該問題，用上述方法計算了某大型浮吊船的扭矩分布，計算時使用米勒法經驗公式來近似非線性橫搖阻尼，取斜浪和橫浪狀態，3 m波幅，選取波浪圓頻率 ω =0.2，0.6 rad/s，結果如圖6所示，其中扭矩采用無因次形式，可見扭矩在船艏處有明顯的發散.

3.2 修正方法

為了解決上述扭矩發散的問題，從微觀和宏觀2個角度分析:

1)微觀角度.為了使船體表面脈動壓力考慮非線性橫搖的影響，本質上需要從速度勢入手，基于線性假設的速度勢定解條件中需考慮非線性橫搖的作用，使得這個問題變得非常復雜.此外，不考慮速度勢的修正，直接從修正脈動壓力入手，使脈動壓力計入阻尼力矩的影響，需要調整每個面元上的脈動壓力，但工作量較大且容易出錯.

2)宏觀角度.由于脈動壓力未計入非線性橫搖阻尼的影響，致使扭矩在船艏發散.既然對每個面元的脈動壓力修正存在困難，可以采用整體修正的方法，即在各個剖面的扭矩計算結果中直接計入非線性橫搖阻尼力矩的修正.

通過分析采用宏觀修正方法比較合理.應用等效線性化的橫搖阻尼系數和線性阻尼系數B44計算出全船受到的橫搖阻尼力矩中的非線性部分

如何正確地將橫搖阻尼力矩的非線性部分分配到各個剖面是修正的關鍵.本文認為每個面元受到的非線性橫搖阻尼與其面積有關，因此在宏觀上，可以根據濕表面積的大小來分配每個剖面受到的橫搖阻尼力矩.剖面離船尾越遠，所占的濕表面積越大，則分配到的阻尼力矩也就越大.因此，在這里采用的濕表面積插值分配法，即按照各個剖面到船尾所占濕表面積的比例大小分配非線性橫搖阻尼力矩，從而在波浪扭矩的計算中考慮了非線性橫搖阻尼的影響.

3.3 結果驗證

對于濕表面積插值法原理，本文通過上述大型浮吊船來驗證.計算時取浪向角60°和90°，3 m 波幅，選取波浪圓頻率 ω =0.2，0.6，1.2 rad/s.計算結果見圖7.從圖中可以看到，經過上述方法修正后，扭矩在船艏不再出現發散現象，接近封閉，且并沒有對其在其他位置的分布造成太大影響，從而有效地在波浪扭矩計算中考慮了非線性橫搖阻尼的影響.

圖7 修正后不同頻率和浪向下的扭矩分布Fig.7 The distribution of torque at differentwave frequencies and wave headings after correction

4 結論

本文基于三維線性勢流理論對船舶在波浪中的橫搖運動和受到的波浪扭矩進行了全面的橫搖非線性修正，得到以下結論:

1)采用等效線性化方法計算得到的非線性橫搖阻尼系數可以有效地反映橫搖非線性效應，將其運用在運動方程中，可以更加真實準確地預報船舶的橫搖運動.本文計算得到了各種非線性橫搖阻尼選取方法對橫搖運動的影響，為多種船型的橫搖運動計算提供了工程指導意見.

2)本文提出的濕表面積插值法，可以在船舶運動求解后的扭矩計算中有效地計入非線性橫搖阻尼的影響，解決了由于非線性橫搖阻尼在運動和波浪載荷計算時的不統一而造成的波浪扭矩不封閉問題，使橫搖的非線性效應在船舶運動和波浪載荷預報中得到完整地體現.

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