少齒數非對稱齒輪主動設計與溫度場分析

田興，李威

(北京科技大學機械工程學院，北京100083)

隨著科技的進步，機械傳動裝置向小型、輕量化方向發展，少齒數齒輪傳動得到了越來越多的研究和應用.為了滿足用戶日益嚴格的訂制要求，齒輪的主動設計方法應運而生.Kapelevich等［1-3］運用主動設計方法對非對稱齒輪的齒形做了研究，李寧等［4-6］探討了非對稱斜齒輪的嚙合機理.Alipiev［7-8］在非對稱齒輪的基礎上，對少齒數齒輪副嚙合情況做了理論分析.Anifantis等［9-11］計算了齒面摩擦熱流量和對流換熱系數，龔憲生等［12］對行星齒輪輪齒本體溫度和閃溫進行了分析.

目前，國內關于少齒數非對稱漸開線齒輪的研究處于起步階段，相關文獻很少.本文運用主動設計方法研究該齒輪的嚙合機理，并利用ANSYS參數化設計語言(APDL)對其溫度場進行分析.

1 齒輪的主動設計

非對稱齒輪主要用于單向傳動，本文以工作側齒廓為研究重點.使用傳統理論方法設計齒輪時，實際嚙合線要比理論嚙合線短，當齒輪副齒數減少時，傳動重合度很有可能小于1，所以齒輪設計的重點是盡可能延長實際嚙合線.如圖1，當實際嚙合線與理論嚙合線相等，重合度達到理論上的最大值.在這種極限情況下，嚙合線開始于點N1，結束于點N2.齒頂圓ra1和齒頂圓ra2分別過嚙合線的結束點N2和起始點N1.于是，非對稱齒輪在傳動方向上的重合度計算公式為

這就是齒輪的主動設計，通過改變齒形來提高傳動質量，目的是使重合度達到潛在最大值.本文采用等變位齒輪傳動，變位系數之和X1+X2=0，Xτ1+Xτ2=0.此時，非對稱刀具齒條的齒形角等于非對稱齒輪的壓力角.

圖1 基于主動設計方法的漸開線嚙合Fig.1 Involute meshing based on direct design method

為了確定圖1中齒輪的參數，預先選取嚙合的一對齒輪的齒數z1和z2，模數m以及齒輪的潛在重合度εpd(εpd≥1)，根據式(1)，計算出非對稱齒輪工作側的壓力角αd:

然后，根據圖1的幾何關系，可以得到以下參數的關系式.

1)齒頂圓壓力角:

2)以節點P為界點，齒條刀具斜直線部分高度:

3)根據式(4)，齒條刀具斜直線部分高度之和:

4)非對稱齒條刀具圓角高度為

5)非對稱齒條刀具齒全高:

6)非對稱齒輪的徑向變位系數:

7)非對稱齒輪齒頂圓的齒頂厚:

式中:inv為漸開線函數，invα=tanα-α;ra1=(0.5z1+h*a+x1)m，為齒輪1的齒頂圓半徑;ra2=(0.5z2+h*a+x2)m，為齒輪2的齒頂圓半徑.

8)當sa1=sa2時，切向變位均衡系數xΔτ:

運用主動設計方法，本文研究的少齒數非對稱漸開線齒輪的參數如下:齒數比 z1/z2為 6/10，模數為10mm，變位系數 x1、x2分別為 0.2、-0.2，齒寬為10 cm，齒頂高系數為0.92，頂隙系數為0.18，壓力角為30°/20°.

2 齒面摩擦熱流量的計算

齒輪在任意嚙合位置接觸點C處的主動輪與從動輪的摩擦熱流量可以由下式分別表示:

式中:qc1、qc2分別為主動輪和從動輪摩擦熱流量;βs為摩擦熱流密度分配系數;η為熱量轉換系數，η=0.9～0.95;f為齒面摩擦系數;σH為齒面平均接觸壓力;Vc為齒輪相對滑動速度;λ1、λ2分別為主動輪和從動輪導熱系數;ρ1、ρ2分別為主動輪和從動輪材料密度;c1、c2分別為主動輪和從動輪材料比熱容.

主動輪和從動輪選用相同的材料，所以

2.1 齒輪相對滑動速度的分析

輪齒的相對滑動是衡量摩擦熱流量大小的重要因素.在分析嚙合面切線方向的速度時，引入無量綱參數Γ來表示嚙合線上任意點x的線性坐標.

則主動輪和從動輪沿嚙合面切線方向的絕對速度V1、V2為

主動輪和從動輪沿嚙合面切線方向的相對滑動速度Vc為

式中:ω為主動輪角速度，rad/s;n1、n2為主、從動輪轉速，r/min;αx為主動輪任意嚙合位置的壓力角，rad;u為齒輪傳動比.

圖2 齒輪嚙合示意Fig.2 Gear meshing

2.2 齒面摩擦系數的計算

影響齒面摩擦系數的因素很多，如:齒面的材料、粗糙度、潤滑油動力粘度.此外，齒輪的轉速和承受的載荷對齒面摩擦系數也有一定的影響.由于摩擦系數計算非常復雜，工程中通過實驗測量來確定平均摩擦系數.本文根據Buckingham摩擦系數經驗公式，齒面摩擦系數f可表示為

由圖3綜合考慮，本文取齒面摩擦系數f=0.05.

圖3 齒面摩擦系數分布Fig.3 Tooth surface friction coefficient

2.3 齒面接觸應力的計算

齒輪齒面平均接觸壓力公式為

式中:Fn為嚙合齒面的法向載荷，N;vi為齒輪材料泊松比;Ei為齒輪材料彈性模量，MPa;Ri為齒輪曲率半徑，mm;bH為接觸線的長度，mm.

嚙合點處于單齒嚙合區時，其接觸線長度為bH=b;當嚙合點進入雙齒嚙合區時，接觸線長度變為bH=2b.

3 對流換熱系數的確定

計算齒輪潤滑油的對流換熱系數，本文采用的潤滑油在60℃時的性能參數如下:運動粘度vf=80×10-6m2/s，比熱容 cf=2 000 J/(kg·K)，熱導率λf=0.133 7 W/(m·K)，密度 ρf=998 kg/m3.

齒輪的對流換熱系數，沒有成型的理論可以精確計算，下面給出的是國內外文獻［9］中提供的經典公式.

端面

齒根、齒面

齒頂

4 輪齒本體溫度場的有限元計算

4.1 輪齒溫度場計算原理

輪齒溫度可分為穩態本體溫度和表面瞬態溫度.表面瞬態溫度呈周期性變化，但僅限于熱表層，影響很小.所以，在進行齒輪溫度場分析時，將輪齒的本體溫度作為穩態溫度場進行處理.

如圖4，整個齒輪的求解域為D，把求解域劃分為E個單元，Z個節點.在求解域D中，T=T(x，y，z)為滿足邊界條件的本體溫度場溫度函數.泛函I(T)的表達式為

式中:λg為齒輪的導熱系數，T0為環境溫度.

使I(T)取極小值，用δI(T)=0來計算求解域的溫度函數.求解以上方程必要的邊界條件如下:

工作齒面

非工作齒面、齒根

齒頂

端面

軸孔內圈

進行有限元計算時，離散計算區域，得到單元溫度函數，將其代入單元的泛函Ie.于是，對I(T)變分求極值問題就轉化為對I(T)各節點溫度求極值問題，得到總體熱平衡方程的矩陣形式，即

式中:Q為總的熱流量矩陣，H為總的熱傳導矩陣，T為總的溫度列矩陣.求解式(28)，就可得到齒輪有限元模型各節點的溫度值.

圖4 少齒數非對稱漸開線齒輪加載邊界Fig.4 Loading boundary for sm all numbers of teeth

4.2 輪齒本體溫度場的有限元分析

摩擦熱流量是隨嚙合位置變化的量，在有限元分析中不能作為常數加載.本文運用APDL對摩擦熱流量進行加載:用公式編制程序，計算出每一節點處的摩擦熱流量，利用循環語句依次加載到單元表面上.

少齒數非對稱漸開線齒輪的本體溫度場分布如圖5所示.由于摩擦熱流量的輸入，輪齒的溫度明顯高于齒輪輪體.齒輪的最高溫度出現在分度圓靠近齒頂的位置，齒輪輪體上溫度幾乎相等.

從圖6可以看出，沿齒輪嚙合面方向，溫度出現2個峰值，分別是齒根和齒頂附近;沿齒寬方向，由于輪齒端面散熱條件好，輪齒表面溫度沿齒寬方向對稱，輪齒端面的溫度值略低于中部.

圖7中，當轉速為3 000 r/min、載荷從183.8 N/mm增加到367.6 N/mm時，載荷比值為2，齒輪的最高溫度從87.55℃增加到115.12℃，溫升比為1.31.當載荷為275.7 N/mm、轉速從2 000 r/min增加到4 000 r/min時，速度比值為2，齒輪的最高溫度從100℃增加到109.51℃，溫升比為1.10.由此可見，載荷對溫度的影響比轉速要大.

當齒輪的載荷和轉速增時，由式(11)、(16)和(18)可知，嚙合面的摩擦熱流量增加.但是載荷的增加，對對流換熱系數的影響很小;而轉速的增加，導致對流換熱系數增大.所以載荷的溫升比會大于轉速，載荷對溫度的影響要比轉速大.

從圖8可以看出，齒輪最高溫度和最低溫度分別隨著油溫的增加呈線性增加.油溫每增加10℃，齒輪的溫度也相應增加了約10℃.油溫直接影響齒輪的溫度，這也說明控制油溫對降低齒輪溫度的重要性.

圖5 本體溫度場分布Fig.5 Bulk temperature field distribution

圖6 嚙合齒面溫度分布Fig.6 Meshing surface temperature distribution

圖7 齒面最高溫度隨載荷和轉速的變化規律Fig.7 Change rule of the highest tooth surface temperature with load and speed

圖8 不同油溫下齒輪的溫度Fig.8 Gear temperature with different oil temperatures

5 輪齒本體溫度最大值近似表達式

速度、載荷和油溫是影響齒輪本體溫度的重要因素.為了預測在不同轉速、載荷和油溫下的齒輪本體最高溫度，為齒輪設計提供可靠的依據，建立了少齒數非對稱漸開線齒輪齒面的本體最高溫度隨轉速、載荷和油溫變化的近似表達式:

其中:

式中:k為溫度系數，b為指數系數，W為法向單位線載荷，Toil為油溫，Tmax為齒輪本體溫度最大值.

6 少齒數非對稱齒輪傳動系統溫度場試驗

試驗采用封閉功率流式齒輪試驗臺—MRC-1型FZG摩擦磨損試驗機，試驗臺主要包括一對試驗齒輪及一對驅動齒輪，現場試驗布局如圖9.

圖9 齒輪試驗臺Fig.9 Gear experiment bench

從表1可以看出，在一定的轉速和載荷范圍內，有限元分析獲得的仿真值以及擬合公式得到的近似值，與試驗所得數據比較接近，證明了運用有限元方法分析少齒數非對稱漸開線齒輪溫度場的正確性.試驗值比近似值要大，主要原因是有限元分析中沒有加入齒輪軸，但是在試驗中，齒輪軸軸承旋轉摩擦生熱對齒輪溫度分布會產生影響.隨著載荷和轉速的增加，試驗值與仿真值差值也逐漸加大，表明軸承摩擦生熱也在增加.但是兩者相差不大，也說明齒輪軸軸承摩擦生熱對齒輪的溫度分析影響不大.在以后的齒輪的溫度仿真分析中，考慮軸承摩擦生熱的影響會提高分析的精度.

表1 試驗參數和結果Table 1 The experiment parameter and result

7 結論

1)運用主動設計方法，對少齒數非對稱漸開線齒輪的嚙合機理進行了研究，推導出了齒輪各參數的關系式.

2)在嚙合面，齒根和靠近齒頂的位置，溫度分別出現2個峰值，最大值出現在靠近齒頂的位置，輪齒表面溫度沿齒寬方向對稱，端面的溫度值略低于中部.

3)轉速、載荷和油溫是影響齒輪溫度大小和分布的重要因素，推導了少齒數齒輪齒面的本體最高溫度隨轉速、載荷和油溫變化的函數表達式，為齒輪的優化設計和潤滑改進提供可靠的依據.

4)運用有限元分析獲得的結果，與試驗測得的數據比較接近，證明了有限元方法分析少齒數非對稱漸開線齒輪溫度場的正確性.溫度場的分析結果，為進一步研究齒面閃溫、熱應力、抗膠合能力和齒輪修形提供了研究基礎.

［1］KAPELEVICH A.Geometry and design of involute spur gears with asymmetric teeth［J］.Mechanism and Machine Theory，2000，35(1):117-130.

［2］KAPELEVICH A.Application of gears with asymmetric teeth in turboprop engine gearbox［J］.Gear Technology，2008，25(1):60-65.

［3］KAPELEVICH A，SHEKHTMAN Y.Tooth fillet pr of ile optimization for gears with symmetric and asymmetric teeth［J］.Gear Technology，2009，26(7):73-79.

［4］肖望強，李威，李梅.雙壓力角非對稱齒廓齒輪齒根彎曲應力的有限元分析［J］.北京科技大學學報，2006，28(6):570.XIAO Wang qiang，LI Wei，LI Mei.Finite element analysis of the tooth root bending stress of an unsymmetric gear with double pressure angles［J］.Journal of University of Science and Technology Beijing，2006，28(6):570.

［5］李寧，李威，韓建友，等.非對稱齒廓漸開線斜齒圓柱齒輪的齒形設計及嚙合分析［J］.北京科技大學學報，2011，33(7):876-882.LINing，LIWei，HAN Jianyou，et al.Tooth pr of ile design and meshing analysis on a helical gear with asymmetric involute teeth［J］.Journal of University of Science and Technology Beijing，2011，33(7):876-882.

［6］陳國定，李劍新，劉志全，等.斜齒輪非定常溫度場的計算［J］.西北工業大學學報，2000，18(4):11-14.CHEN Guoding，LI Jianxin，LIU Zhiquan，et al.Helical gear unsteady temperature field calculation［J］.Journal of Northwestern Polytechnical University，2000，18(4):11-14.

［7］ALIPIEV O.Geometric calculation of involute spur gears defined with generalized basic rack［J］.Theory of Mechanisms and Machines，2008，12(2):60-70.

［8］ALIPIEV O.Geometric design of involute spur gear drives with symmetric and asymmetric teeth using the realized potential method［J］.Mechanism and Machine Theory，2011，46(1):10-32.

［9］TOWNSEND D P，AKIN L S.Analytical and experimental spur gear tooth temperature as affected by operating variables［J］.Journal of Mechanical Design，1981，103(l):219-226.

［10］ANIFANTISN，DIMAROGONASA D.Flash and bulk temperatures of gear teeth due to friction［J］.Journal of Mechanical Machine Theory，1993，28(1):56-61.

［11］GARDON G，ASTARITA T，CARLOMAGNO G M.Infrared heat transfer measurements on a rotating disk［J］.Optical Diagnostics in Engineering，1996，1(2):1-7.

［12］龔憲生，王歡歡，張干清，等.行星齒輪輪齒本體溫度場與閃溫研究［J］.農業機械學報，2011，42(10):209-216.GONG Xiansheng，WANG Huanhuan，ZHANG Ganqing，et al.Analysis of bulk temperature field and flash temperature for planetgear teeth［J］.Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2011，42(10):209-216.