求解Laplace方程Dirichlet問題的一點補充

金啟勝

(安慶職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽安慶246003)

1 預(yù)備知識

球域上Poisson公式:

其中:(ρ0，θ0，φ0)是球 BR內(nèi)一點 y的球坐標(biāo);(R，θ，φ)是球面 ?BR上動點 x的球坐標(biāo);γ 是向量x與y的夾角，顯然 cosγ =cosθcosθ0+sinθsinθ0cos(φ － φ0).

類似有圓域上Poisson公式:

其中:調(diào)和函數(shù) u 在 ?BR上取值 f(φ)，(r，θ)是圓內(nèi)一點的極坐標(biāo)，(R，φ)是圓周上一點的極坐標(biāo)［1－3］.

2 應(yīng)用舉例

例1［4］求解Laplace方程的Dirichlet問題:

下面進行積分運算，記

如果(a，b)中有點x= ± (2n －1)π，(n=1，2，…)時，必有

令c=a2+r2，d= －2ar，x= φ － θ，又因為0≤ φ ≤π，0≤ θ≤2π，所以有:(1)0＜θ＜π，－π＜x＜π時，

(2)π ＜ θ＜2π，－2π ＜x＜0時，

顯然u(r，θ)滿足邊界條件:

下面給出不用Poisson公式根據(jù)邊界條件直接求解Laplace方程的Dirichlet問題:

3 結(jié)語

我們發(fā)現(xiàn)，運用Poisson公式求解Laplace方程的Dirichlet問題相當(dāng)繁瑣，既有積分運算，又有極限運算，但是有不少Laplace方程的Dirichlet問題在求解時，無需運用Poisson公式，只要選取一個合適的調(diào)和函數(shù)，通過適當(dāng)數(shù)學(xué)變形，使它滿足邊界條件，那么該調(diào)和函數(shù)就是所求Laplace方程Dirichlet問題的解.

［1］谷超豪，李大潛，陳恕行，等.數(shù)學(xué)物理方程［M］.北京:高等教育出版社，2005.82－85.

［2］張慧清，吳小吟，楊小軍.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)［M］.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2005.133－135.

［3］段志文，韓淑霞.數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2008.113－116.

［4］陳祖墀.偏微分方程［M］.合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2004.201－207.