關于離散型隨機變量的分布列問題

劉穎

求離散型隨機變量的分布列必須解決好兩個問題，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一個值時的概率。求一些離散型隨機變量的分布列，在某種程度上就是正確地求出相應的事件個數，即相應的排列組合數，所以學好排列組合是學好分布列的基礎與前提.離散型隨機變量分布列求解是進一步求解數學期望、方差最關鍵的開始，分布列求解錯誤，必然導致數學期望與方差的錯誤，故這里萬萬不可忽視，就這個問題提出幾個建議如下：

一、正確認識離散型隨機變量

所謂隨機變量，實際上是用變量對試驗結果進行的一種刻畫，是試驗結果和實數之間的一個對應關系。這與函數概念本質上是相同的，只不過在函數概念中，函數f（x）的自變量是實數x，而在隨機變量的概念中，隨機變量的自變量是試驗結果。離散型隨機變量的分布列的性質是概念的外延，而離散型隨機變量的概率分布列的內涵是一個必然事件分解成有限個互斥事件的概率的另一種表示形式，更主要的是應在概念的生成中形成解決問題的思維方法。

二、求離散型隨機變量分布列的步驟

（1）明確隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；

（2）利用概率的有關知識，求出隨機變量每個取值的概率；

（3） 按規范形式寫出分布列，并注意用分布列的兩條性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確.

例1、一個口袋有5個同樣大小的球，編號為1、2、3、4、5，從中同時取出3個，以ξ表示取出球最小的號碼，求ξ的分布列.

[解析] 因為同時取出3個球，ξ表示取出球的最小號碼，所以ξ的取值為1，2，3.

當ξ=1時，其他兩球可在余下的4個球中任意選取，因此其概率

為=；當ξ=2時，其他兩球的編號在3、4、5中選取，因此其

概率為=；當ξ=3時，其只可能為3，4，5一種情況，其概率為。

評注：處理有關離散型隨機變量的應用問題，關鍵在于根據實際問題確定恰當的隨機變量，明確隨機變量所代表的量。

三、對離散型隨機變量的分布列特性的認識

（1）離散型隨機變量的概率分布的兩個本質特征，是確定分布列中參數值的依據。

（2）離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和。

（3）處理有關離散型隨機變量的應用問題應仔細審題，透徹理解題意，并注意根據實際問題確定恰當的隨機變量。

（4）求一些離散型隨機變量的分布列，在某種程度上就是正確地求出相應的事件個數，即相應的排列組合數，所以學好排列組合是學好分布列的基礎與前提。

例2.將3個小球任意地放入4個大的玻璃杯中去，杯子中球的最大個數記為ξ，求ξ的分布列。

[解析] 明確題意，搞清杯子中球的最大個數的可能值，再由此求出相應的概率.

依題意可知，杯子中球的最大個數ξ的所有可能值為1，2，3。當ξ=1時，對應于4個杯子中恰有三個杯子各放一球的情形；當ξ=2時，對應于4個杯子中恰有一個杯子放兩球的情形；當ξ=3時，對應于4個杯子中恰有一個杯子放三個球的情形。

評注：（1）隨機變量本質上講就是隨機過程每一個可能發生的基本結果，這個要十分注意；

（2）驗證的過程最好不要缺少，因為它涉及正確求解數學期望和方差，要確保分布列的準確。

四、特殊分布

二項分布、幾何分布是兩種常見分布，應熟悉其試驗特征及題型特征，并掌握其分布列計算公式.此外兩點分布、超幾何分布列也是特殊的分布，要熟練掌握。

五、值得注意的地方

在教學過程中要充分發揮學生的主體地位。在課堂上，無論是新教師還是老教師，通常會把自己當做課堂上的主人而過多的會忽略學生的主體地位；或者學生會因為長時間的習慣于聽老師來講解而忘記自己是課堂的主人。在建立新知的過程中，教師力求引導、啟發，讓學生逐步應用所學的知識來分析問題、解決問題，以形成比較系統和完整的知識結構。每個問題在設計時，充分考慮了學生的具體情況，力爭提問準確到位，便于學生思考和回答。使思考和提問持續在學生的最近發展區內，學生的思考有價值，對知識的理解和掌握在不斷的思考和討論中完善和加深。但由于時間的把握，以及對學生的放手程度上‘實施落實的可能還不到位，有待改進。

總之，在今后的教學工作中，需不斷總結、反思。作為數學教師，一方面要激發學生學習數學的興趣，讓學生感覺到每解決一個數學問題，就有一種成就感；另一方面，更重要的是教師本人要不斷提高自己的專業水平。在總結、反思中不斷提升自己的教學水平，做一名真正合格的人民教師。