基于隨機有限元的條形基礎(chǔ)地基承載力概率分析

張春會,徐曉攀,趙全勝，計長飛

(1.河北科技大學建筑工程學院，河北石家莊 050018;2.新疆石油勘察設(shè)計研究院，新疆克拉瑪依 834000)

天然巖土體通常是由多種礦物晶粒、膠結(jié)物、孔隙和裂隙缺陷等組成的非均質(zhì)材料[1]，各微單元體的力學特性參數(shù)如模量、強度指標、變形指標等在空間上都是隨機變量。在外力作用下，單元體應(yīng)力分布不均，局部應(yīng)力增大，當局部應(yīng)力達到巖土材料的強度時，材料局部發(fā)生破壞，承載能力下降，應(yīng)力轉(zhuǎn)移，并引起臨近的巖土單元破壞。因此，材料非均質(zhì)對巖土體的非線性破壞具有很大影響。國內(nèi)外學者對巖土材料的空間變異性開展了大量研究。

在巖石力學方面，SCHOLZ較早考慮了非均質(zhì)對工程巖體非線性破壞的影響，他把工程巖體單元化(小單元)，并對每一個單元賦予彈性模量和強度，從而較好模擬了非均質(zhì)對工程巖體破壞的影響，這種做法為以后研究所效仿[2]。TANG提出巖石材料的非均質(zhì)可以通過巖石單元強度和彈性模量的賦值來體現(xiàn)，并認為兩者都服從Weibull分布，每個單元都是彈脆性材料，殘余強度很小[3-4]。在此基礎(chǔ)上，TANG教授開發(fā)了巖石破裂分析系統(tǒng)RFPA。張明、梁正召、馮增朝、張春會等也對巖石力學特性的非均質(zhì)模擬技術(shù)開展了系列研究[5-10]。

在地基基礎(chǔ)工程方面，為反映土體物理力學參數(shù)的空間變異性提出了隨機場理論和隨機有限元方法。在隨機場建模中，發(fā)展了多種建模方法，如攝動隨機有限元法[11]、Newmann展開隨機有限元[12]和拉丁超立方(LHS)抽樣 Monte Carlo 隨機有限元[13]、約束隨機場有限元[14]、Taylor展開隨機有限元[15]。上述建模方法的一個共同假設(shè)是假定隨機場為平穩(wěn)弱變異高斯過程。這種處理方法可能比較適合于金屬和混凝土等一類工程材料,并不一定適用于工程巖土,因為巖土力學參數(shù)隨機場并不一定屬于平穩(wěn)弱變異高斯隨機場,而且不同的工程巖土，其力學參數(shù)隨機場的空間變異性還可能迥然各異。通常情況下,巖土力學參數(shù)隨機場具有以下全部或部分特征[16-17]:非高斯型、空間變異很強烈、非平穩(wěn)、變異各向異性。因此,巖土力學參數(shù)隨機場的離散宜遵循以下原則：1)針對具體工程巖土；2)通過對隨機場作空間變異性分析，了解其空間變異特征而不是采用以往的假定。

為此，本文在工程巖土物理力學參數(shù)統(tǒng)計分布基礎(chǔ)上，直接利用蒙特-卡洛方法生成工程巖土的隨機場，使用生成的隨機場評估條形基礎(chǔ)地基承載力。

1 蒙特-卡洛隨機有限元方法

1.1 基本思路

本文基于蒙特-卡洛隨機有限元法分析的基本思路如下：

1)通過試驗獲得大量工程巖土體的物理力學參數(shù)，如強度指標、壓縮性指標、模量等；

2)利用概率與數(shù)理統(tǒng)計方法對獲得的試驗數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，獲得其統(tǒng)計分布規(guī)律，并擬合出統(tǒng)計參數(shù)；

3)利用有限元軟件劃分巖土工程研究區(qū)域的網(wǎng)格(微元)，利用蒙特-卡洛技術(shù)為每一個微元賦值物理力學參數(shù)，進而生成虛擬工程巖土體；

4)施加力及位移的邊界條件和初始條件，然后進行計算分析；

5)記錄數(shù)值并分析重要信息數(shù)據(jù)，如強度、破壞面等信息；

6)重復(fù)過程3)至過程5)，250次以上；

7)利用概率方法對獲得的重要信息數(shù)據(jù)進行分析，從概率角度給出所研究的巖土工程的破壞及變形發(fā)展等特征規(guī)律，指導(dǎo)工程實踐。

本文所研究的概率隨機有限元法與已有研究的不同，主要體現(xiàn)在直接采用蒙特-卡洛方法進行了大量的蒙特-卡洛模擬分析，從而使得數(shù)值模擬結(jié)果極大可能地含及了工程巖土體真實的力學響應(yīng)。

1.2 數(shù)值實現(xiàn)方法

本文所研究的概率隨機有限元分析方法可以在ABAQUS，ANSYS等有限元軟件上實現(xiàn)，也可以在FLAC等有限差分數(shù)值分析軟件上實現(xiàn)。在ABAQUS環(huán)境下，本文采用如下步驟予以實現(xiàn)。

1)根據(jù)工程問題，抽象相應(yīng)的數(shù)值模型，選擇合適的網(wǎng)格尺寸，劃分數(shù)值分析網(wǎng)格(微元)，確定反復(fù)計算次數(shù)n。

2)依據(jù)試驗獲得的工程巖土體物理力學參數(shù)的統(tǒng)計分布規(guī)律和統(tǒng)計參數(shù)，在Matlab下利用蒙特-卡洛模擬法生成每一個微元的物理力學參數(shù)數(shù)據(jù)，并循環(huán)賦值n次，將所有數(shù)據(jù)存入“賦值.dat”文件內(nèi)。

3)在ABAQUS軟件中，通過CAE函數(shù)方法讀入“賦值.dat”文件內(nèi)的數(shù)據(jù)。

4)第1次為所有微元賦值物理力學參數(shù)。

5)施加邊界條件，進行計算，保存計算結(jié)果，并使模型恢復(fù)至初始狀態(tài)。

6)重復(fù)過程4)和過程5)，進行第2次直至第n次賦值、計算及結(jié)果保存。

7)對計算結(jié)果進行概率分析。

本文基于上述實現(xiàn)思路，利用Matlab和ABAQUS軟件實現(xiàn)了蒙特-卡洛隨機有限元模型的構(gòu)建。

2 數(shù)值算例

2.1 算例概況

地基土為無摩擦黏性土，視作摩爾-庫倫材料，地基土的彈性模量為257 MPa，泊松比為0.29，地基土的黏聚力均值為108 kPa。條形基礎(chǔ)寬度為7 m，置于地基表面，基礎(chǔ)底面光滑無摩擦力，根據(jù)普朗特爾-斯肯普頓的研究[18]，其極限承載力的解為

pu=(π+2)c=5.14c=555.1 kPa，

(1)

式中c為土體的黏聚力，kPa。

利用ABAQUS軟件，建立上述問題的計算模型。根據(jù)對稱性取一半進行研究，左邊界無水平位移，右邊界和下邊界為固定約束。模型長度為25 m，高度為15 m，對于本文問題尺寸足夠大，可以忽略邊界條件的影響，模型具體如圖1所示。利用建立的數(shù)值模型進行計算，當?shù)鼗辆|(zhì)時，其極限承載力為556.9 kPa，僅比解析解大1.8 kPa，表明建立的模型合理。

圖1 條形基礎(chǔ)地基承載力分析示意圖Fig.1 Analysis of bearing capability of a strip footing

利用蒙特-卡洛隨機有限元法求解這一問題，黏聚力和土體彈性模量的變異系數(shù)取為0.3，反復(fù)計算250次，所得到的地基極限承載力如表1所示。

2.2 結(jié)果分析

對表1中的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，250次蒙特-卡洛模擬得到的極限地基承載力均值為543.4 kPa，比均質(zhì)得到的結(jié)果低13.5 kPa。表1中地基極限承載力數(shù)據(jù)的頻率分布如圖2所示。

圖2 基于蒙特-卡洛的條形基礎(chǔ)地基承載力統(tǒng)計圖Fig.2 Statistical results of bearing capability based on Monte-Carlo simulation

從圖2直觀可以看出，蒙特-卡洛模擬得到的極限地基承載力近似符合正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、Weibull分布，利用概率圖法處理表1中的數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖3所示。

圖3 數(shù)據(jù)的概率圖檢驗Fig.3 Probabilistic plot tests

從圖3可以看出，利用蒙特-卡洛模擬得到的地基極限承載力近似符合正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布。下面按正態(tài)分布進行分析。

利用正態(tài)分布函數(shù)擬合試驗數(shù)據(jù)，得到擬合統(tǒng)計參數(shù)均值為543.4 kPa，標準差為13.2 kPa。

以556.9 kPa為分界點，繪制其概率密度函數(shù)，結(jié)果如圖4所示。從圖4可以看出，相比于均值情況，若考慮力學參數(shù)的空間變異性，通過蒙特-卡洛模擬技術(shù)得到的地基極限承載力大多都小于均質(zhì)情況的值，以本文變異系數(shù)0.3情況來看，多次模擬的地基極限承載力值小于均質(zhì)(556.9 kPa)的概率為84.7%，僅有15.3%的概率大于均質(zhì)情況的值。

若以90%作為可靠度，可以得到對應(yīng)的地基極限承載力為526.6 kPa(如圖5所示)，比均質(zhì)情況的值低30.3 kPa，概率約為5.4%。

圖4 以556.9 kPa為分界點的概率密度函數(shù)Fig.4 PDF at the boundary point of 556.9 kPa

圖5 可靠度90%所對應(yīng)的界限值Fig.5 Limit value of the reliability of 90%

3 結(jié) 語

本文基于蒙特-卡洛隨機有限元方法，建立的非均質(zhì)條形基礎(chǔ)地基極限承載力分析的數(shù)值模型，對不同蒙特-卡洛模擬的地基土極限承載力進行了數(shù)值分析，通過分析主要獲得如下結(jié)論：

1)實際的地基土體具有空間變異性，這種變異性使得承載巖土體內(nèi)易發(fā)生應(yīng)力集中，通常會使得地基極限承載力降低;

2)若地基的彈性模量和黏聚力為正態(tài)分布，則由蒙特-卡洛模擬得到的地基承載力近似為正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布;

3)對于90%可靠度，若按變異系數(shù)0.3考慮，其承載力比均質(zhì)情況低5.4%;

4)采用概率方法建立地基承載力概率計算模型是巖土工程中的重要任務(wù)之一。

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