軸向載荷作用下細長柔性旋轉梁橫向振動響應分析

任福深 陳素麗 姚志剛

1.東北石油大學，大慶，163318 2.北京市工業技師學院，北京，100123

0 引言

鉆柱力學特性研究是現代鉆井工程理論和技術的重要組成部分，其主要研究對象是底部鉆柱的受力和變形，核心內容是底部鉆柱的靜力學和動力學特性的研究和應用［1-2］。因此，獲取鉆柱底部靠近鉆頭處的動態力學參數有助于分析底部鉆柱的動力學特性，國內外許多學者對底部鉆具組合BHA(bottom hole assembly)的振動問題進行了大量理論研究，并通過建立理想模型和理論計算，取得了很多成果［3-5］。目前，關于鉆柱橫向振動的研究多是利用現有的線性分析理論，而忽略了非線性因素的影響［3-7］，且考慮鉆柱非線性特征的研究多集中在底部鉆具組合段［8］，針對水平鉆柱橫向振動的非線性動力學研究鮮見報道。隨著齒輪齒條鉆機等新概念石油鉆機的出現［9］，水平鉆柱的橫向振動不僅影響鉆具組合和鉆柱本身，而且對鉆機等地面裝備也會產生很大的影響，因此研究整體的水平鉆柱動力學問題具有理論和實際應用價值。

本文以整根水平井鉆柱為研究對象，在基本假設的基礎上，將水平井鉆柱簡化為一端簡支的細長柔性梁。針對該柔性梁的特征，采用解析法建立非線性動力學方程，運用非線性動力學的數學方法分析共振情況下的復雜動力學響應，嘗試找到控制水平鉆柱橫向振動的方法。

1 動力學方程的建立

由于井筒中柔性鉆柱很長，根據實際情況假定鉆柱處于線彈性變形狀態;不考慮鉆柱縱向振動和扭轉振動;忽略軸向移動、溫度變化、鉆井液浮力、鉆柱重力的影響;略去鉆柱和井壁碰撞產生的多支點，鉆柱未發生螺旋屈曲;鉆井液為牛頓流體且動壓力為零;鉆柱軸線與井筒軸線重合。將鉆柱簡化為一端簡支的細長柔性梁，以變形前梁的軸線作為x軸，如圖1所示。

圖1 柔性梁力學模型

鉆柱呈現細長柔性梁狀態，符合 Euler-Bernoulli梁理論假設，即在梁未變形狀態垂直于梁軸線的橫截面，在梁變形后仍保持為平面且垂直于變形后的梁軸線。基于該理論建立的梁位移場方程為

式中，v0、w0為梁軸線上的橫向位移;u、v、w 分別為 x、y、z方向的位移。

若只考慮橫向大變形，則變形與位移場的關系可表示為

油田鉆井作業中使用的鉆柱一般由單一材料制造，因此簡化后的鉆柱有軸向剛度E11和剪切剛度E12兩個獨立的剛度，將鉆柱在鉆頭處的作用力簡化為柔性梁的軸向力Fx，S為Fx產生的相應位移，旋轉柔性梁以角速度ω旋轉時承受離心力，離心力Fr所做功的變分為

利用哈密頓原理得到的旋轉柔性梁橫向振動動力學方程為

式中，ρ為鉆柱密度。

2 攝動分析

攝動法又稱為小參數展開法，對于含有小參數的問題，往往可以通過簡化，使原有問題變得容易求解，而攝動法就是求解這類問題的有效方法。本文引入一小參數ε進行攝動分析，使用多重尺度法［10］得到式(5)、式(6)的平均方程，考慮主參數共振和1∶1內共振，通過整合公式，得到笛卡爾坐標形式的平均方程:

式(7)～式(10)為利用攝動法求出的簡化系統下鉆柱柔性旋轉梁的平均方程，由平均方程可以看出，鉆柱轉速和軸向力是影響鉆柱振動的兩個主要參數。鉆柱軸向力跟地層硬度、鉆井速度和鉆井深度等多種參數相關，只有在采用恒壓鉆進的自動化鉆井工藝中容易實現實時的測控。鉆柱轉速是通過地面的頂部驅動設備直接控制的，容易實現實時轉速的控制和檢測。由于在同一個方程中存在兩個變量，故可以通過一個參數的調整來削弱另一個參數對振動的有害影響。

3 橫向振動響應分析

下面根據建立的平均方程式(7)～式(10)，通過改變量綱一轉速，采用非線性動力學分析方法，進行柔性旋轉鉆柱的橫向振動規律研究。

算例1 選取參數x10=-7.9，x20=-13，x30=-20，x40=15.5，c3=0.033，ρ=1.36，A11=0.365進行系統橫向振動響應實驗，實驗發現系統隨著轉速的變化而出現分叉，如圖2所示。

圖2 轉速分叉圖

從圖2可以看出，由于在兩個模態中發生了能量轉換，振動幅值出現了跳變現象，系統的響應經歷了從周期到混沌，再到二倍周期的過程。在系統初始條件和其他參數都不變的前提下，當轉速ω4=2.8時，系統由二倍周期運動分叉為概周期運動，其對應的動態響應如圖3所示。隨著轉速的增大，當ω4=2.896時，系統由概周期運動變為混沌運動，其對應的動態響應如圖4所示。當ω4繼續增大為3.944時，系統變為二倍周期運動，如圖5所示。

圖3 ω4=2.8時系統的概周期響應

圖4 ω4=2.896時系統的混沌響應

圖5 ω4=3.944時系統的周期響應

算例2 選取的系統初始條件和參數值分別為 x10=8.0，x20=8.8，x30=-14.3，x40=0.3，c3=0.089，ρ=1.43，A11=0.015。在上述參數下的系統橫向振動響應實驗表明，系統會隨著轉速的變化出現分叉，如圖6所示。從圖6中可以看出，系統的響應大部分為混沌，但在混沌響應之間又有周期響應。令系統的初始條件和其他參數不變，只改變圖6中的轉速ω4，當ω4=2.872時，系統會出現混沌運動，如圖7所示。當轉速增大為ω4=2.912，系統由混沌運動變為六倍周期運動，其對應的動態響應如圖8所示。

圖6 轉速分叉圖

圖7 ω4=2.872時系統的混沌響應

圖8 ω4=2.912時系統的周期響應

以上通過相圖、分叉圖分析了柔性旋轉梁的非線性振動響應和動態分叉參數值，分析結果表明，在共振條件下柔性旋轉梁振動幅值是有限值，并非無窮大。當旋轉角速度從小到大變化時，系統出現了由倍周期分叉進入混沌運動的現象，同時發現在混沌響應區域中出現了周期響應，系統的振動幅值還會出現跳變現象，系統的運動狀態經歷了從周期運動到混沌運動，再到二倍周期運動的變化過程。

4 結論

(1)將井眼中工作的鉆柱簡化為柔性旋轉梁，探討了柔性旋轉梁振動控制的方法，并對柔性旋轉梁非線性動力學響應進行分析，分析結果揭示了柔性旋轉梁的周期運動、混沌運動、二倍周期運動和跳變等復雜的非線性動力學現象。

(2)柔性旋轉梁在共振條件下，振幅并不是無窮大，而是有限值。在實際工程中可以通過改變鉆柱的轉速來調節鉆柱的橫向振動。

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