基于有限段方法的SMA扭轉驅動器柔性機構動力分析

鄒秀清 董二寶 張世武 許 旻 楊 杰

中國科學技術大學，合肥，230027

0 引言

柔性結構［1］是一種依靠材料的彈性變形來傳輸運動或力的裝置，相比傳統的剛性鉸鏈機構，柔性機構在簡化結構、減少磨損和提高精度上都有顯著的優勢。柔性機構通常被應用在精密工程場合以及仿生機械及機器人等領域［1-2］。

在高速、精密以及高性能MEMS應用場合，柔性機構的動力學問題十分突出。因此，柔性機構的動力學特性分析方法的研究是柔性機構學研究的一個重要方向。

文獻［3］考慮柔性體變形的動力剛化現象，提出了在有限元方法中引入單元耦合形函數，再根據Kane方程得到包含動力剛度項的一致線性化動力學方程，但是該方法是在結構小變形的前提下推導得出的，對大變形問題并不適用。

文獻［4］針對全柔性機器人的動力學分析總結了幾種方法:一種是偽剛體法，這種方法雖然可以使柔性體的動力學建模得到很大簡化，但是簡化造成的誤差較大，且復雜柔性機構的偽剛體模型的建立也非常困難;一種是利用有限元軟件建立柔性系統的有限元模型，這種方法只限于小變形尺度，可以忽略位形變化對機構動態特性的影響;還有一種就是應用傳統的試驗方法進行分析，這種方法效率低、耗時長、成本高。

柔性體動力學的有限段方法是基于多剛體動力學理論發展起來的柔性體動力學分析方法，自然計及幾何非線性的影響［5］。對于梁式柔性機構，可以方便地應用有限段方法進行離散建模，再利用原有的多剛體動力學理論進行計算分析。

本文采用有限段模型［6］對形狀記憶合金(SMA)扭轉驅動器的柔性結構部分進行離散建模，結合ADAMS動力學分析軟件在系統動力學分析上的優勢，對SMA扭轉驅動器的柔性結構進行動力學分析。

1 有限段原理介紹

有限段方法的基本思想是:將梁式柔性構件離散為有限的剛性梁段，段間用3個扭轉彈簧、3個線性彈簧及與之相應的6個阻尼器相連接，如圖1所示。在小應變有限變形的條件下，可用離散的梁段來描述柔性體的慣性特征，用段間的彈簧和阻尼器代表柔性體的彈性和阻尼特性［7］。

圖1 梁式柔性機構的有限段模型

在小應變有限變形的情況下，雖然整體的變形比較大，但由于是小應變，每一小段的變形仍然符合小變形條件，所以有限段模型在小變形情況和小應變大變形情況都是適用的。

為了推導梁段之間彈簧的剛度特性，我們首先考察懸臂梁自由端的位移與作用其上的力(矩)的關系。

根據線性梁的理論［8］，在懸臂梁的自由端施加力和力矩，在變形較小的情況下，懸臂梁自由端的位移和轉動分量與施加的力和力矩之間的關系如下。

首先，左端固定情況如圖2所示，懸臂梁自由端上施加的力F和力矩M與位移u和轉動分量θ之間的關系可以表示為

式中，l為梁長度;A為梁截面積;J為梁截面積對X軸的形心二次矩;Iy為梁截面積對Y軸的形心二次矩;Iz為梁截面積對Z軸的形心二次矩;E為材料彈性模量;G為材料剪切模量。

圖2 右端點2作用一般載荷的懸臂梁

同理可以得出右端固定情況下的力和力矩與位移和轉動分量之間的關系，限于篇幅，這里不再一一列出。

然后，考察柔性梁的彈簧連接有限段模型。為了建立精確的梁模型，彈簧必須精確表示相鄰段間的彈性。為推導這個表達式，考察圖3所示的兩個相鄰段Bj和Bk。其中，連接彈簧分別由兩個代表相應段彈性的部分組成，同時，連接彈簧代表相應段的伸張、彎曲和扭轉特性。

圖3 兩個典型相鄰有限段

每段有12個與其相關的位移和轉動分量(與每個端點相關的有6個)。為了定義這些分量，考察如圖4所示的任一段Bj。令Gj為Bj的質心。令Oj和Ok為Bj的彈簧與相鄰段Bi的彈簧的連接點以及Bk的彈簧與相鄰段Bj的彈簧的連接點。令OI、OJ和 OK分別為以 Oj、Gj和 Ok為原點的參考系。令RJ的軸與Bj的主軸連續共線。RI和RK的軸當彈簧未變形時與RJ的軸平行。則OI相對于OJ的位移和RI相對于RJ的轉動共有6個自由度。同理，OK相對于OJ的位移和RK相對于RJ的轉動共有6個自由度，即與Bj段相關的位移和轉動分量有12個。這些位移和轉動變量的定義如表1所示。其中，Rk、Rj分別為以OK和OI為原點的參考系。

圖4 典型有限段模型

表1 位移和轉動變量

Rk相對于Rj的位移和轉動變量可表示為

根據式(1)、式(2)，可將 ukx、uky和 ukz表示為

因為在Ok節點處沒有質量，也不受外力，所以有:

所以，ukx、uky和 ukz可以表示為

同樣，相對轉動分量可以表示成

由上可解出 Fj2x、Fj2y、Fj2z、Mj2x、Mj2y和 Mj2z:

其中，系數 a、b、c與相應段的結構、材料參數有關，這里不一一列出，可參考文獻［7］。

到此，我們得出了各個段之間的彈簧剛度特性。

2 基于ADAMS宏命令的有限段模型建立與數值計算

為了探討有限段模型的準確性，我們需要建立梁的有限段模型，為了分析梁的變形情況，需要建立有限段模型的多體系統運動學及動力學方程，如文獻［9-10］所描述的，需要計算出每個有限段的廣義速率，整理出整個系統的動力學方程組再求解微分方程組而得到系統的特性，模型的建立及求解過程非常復雜而且對于復雜模型更是無能為力。

本文應用ADAMS軟件建立有限段多剛體模型進行分析，把動力學方程的建立和求解過程交給軟件處理，我們需要做的就是在ADAMS中準確地建立系統的有限段模型。

要在ADAMS中建立有限段模型，關鍵是創建各個有限段以及在各有限段之間施加的力和力矩。根據有限段模型的特點，有限剛體段和力與力矩的建立是一個重復性的過程，我們利用ADAMS宏命令的循環語句建立模型。先用循環命令建立所有的有限段，然后再用一個循環命令建立各段之間的力和力矩。具體的建立方法如下:如要在第i個有限段part i和第i+1個有限段part i+1之間建立有限段的彈簧力和彈簧力矩，先分別在part i的右端面和part i+1的左端面創建標記點 marker i和 marker i+1，再在標記點marker i和marker i+1之間創建 VFORCE(X、Y、Z三向的直線力)和VTORQUE(X、Y、Z三向的扭轉力)。其中，段 part i和段 part i+1之間的力VFORCE的表達式根據式(11)、式(13)、式(15)建立，ukx、uky、ukz分別是 marker i+1 相對于marker i的X、Y、Z軸的移動位移。同樣，段part i和段part i+1之間的力VTORQUE的表達式根據式(12)、式(14)、式(16)建立，θkx、θky、θkz分別是marker i+1相對于marker i的X、Y、Z軸的轉動位移。

下面，我們探討有限段模型的準確性。首先，比較直梁的有限段模型和有限元模型在恒力作用下的變形。對厚度h=4mm、寬度b=2mm、長度L=80mm的懸臂直梁，在ADAMS中建立直梁的有限段離散模型，如圖5所示，各剛體段間施加的力和力矩按以上有限段模型計算的剛度乘以變形時段間的相對位置變化得到。分析結果如圖6所示，從圖中可以看出，隨著有限段模型不斷細化，有限段模型的分析結果不斷靠近有限元模型的分析結果。

圖5 直梁的有限段模型

圖6 直梁靜力分析比較

然后，比較曲梁的有限段模型和有限元模型在恒力作用下的變形。在曲梁的有限段模型中，相鄰兩有限段之間的中性軸并不是平行的，而是有一定曲率夾角存在的，在推導各段之間的彈簧剛性時存在更復雜的耦合情況。但是，隨著有限段的不斷細化，相鄰兩段之間的夾角不斷減小，對彈簧剛度的影響也不斷減小甚至可以忽略。因此，在曲梁應用上，為了簡化有限段模型的段間彈簧剛度的推導，在計算段間剛度時，忽略相鄰兩段之間曲率的影響，將相鄰兩段近似為直梁段，段間剛度仍然按照直梁的方法推導。任意兩小段之間近視為直線段，軸向方向近視為兩段相鄰點處的切線方向。隨著有限段離散的細化，兩小段之間的傾角不斷減小，這種由近似造成的誤差也將不斷減小。對厚度 h=4mm、寬度 b=2mm、半徑R=50mm的1/4圓弧，在ADAMS中的模型如圖7所示，建模方法與直梁一致。分析結果如圖8所示，從圖中可以看出，隨著有限段模型不斷細化，有限段模型的分析結果也不斷靠近有限元模型的分析結果，且誤差與直梁的有限段模型相差不大。

基于以上比較結果可知，盡管有限段模型在曲梁分析上的應用存在忽略梁段之間曲率的簡化，但是對有限段離散足夠細的模型，其分析結果仍是可靠的。所以，我們認為有限段模型在一定范圍內的分析應用是可靠的。

圖7 曲梁的有限段模型

圖8 曲梁靜力分析比較

3 SMA扭轉驅動器的動態特性分析

SMA扭轉驅動器的工作原理如圖9所示，SMA合金絲按一定規則纏繞在柔性結構及外圓環上，加熱SMA合金絲使其收縮帶動柔性結構發生變形，從而使中間傳動軸孔轉過一定的角度。由于本文的主要工作集中在有限段模型建立和SMA扭轉驅動器動態特性分析上，SMA扭轉驅動器中柔性結構的優化設計以及SMA絲的布置問題在其他文章中有詳細介紹，這里不再贅述。

圖9 SMA扭轉驅動器結構圖與實物

本文結合有限段模型和ADAMS動力學分析軟件來分析SMA扭轉驅動器的動態特性。SMA扭轉驅動器的柔性結構在優化設計的過程中是采用B樣條曲線來描述曲線形狀的，在MATLAB中離散成若干個坐標點。在建立有限段模型時，為了方便，直接以這些離散坐標點為離散位置進行劃分。由式(11)～式(16)計算各段之間的彈性特性，在ADAMS中通過應用宏命令建立有限段多剛體模型的方法建立SMA扭轉驅動器的離散有限段模型。

首先分析靜力情況。在ADAMS中建立SMA扭轉驅動器的有限段模型，如圖10所示。在緩慢施加的對稱恒力10N的載荷作用下，柔性梁厚度為0.4mm的扭轉驅動器的輸出轉角如圖11所示。圖12顯示不同厚度柔性梁的驅動器輸出轉角。

圖10 SMA扭轉驅動器的有限段模型

圖11 SMA扭轉驅動器輸出轉角曲線

圖12 不同厚度下的輸出轉角

然后，在動載荷情況下觀察扭轉驅動器的扭轉情況。分別施加脈沖載荷和階躍載荷，觀察驅動器的響應情況。

圖13顯示柔性梁厚度為0.5mm時，在脈沖載荷作用下的時域和頻域響應結果。圖14顯示不同厚度的柔性梁在脈沖載荷下的響應頻率，從圖14中可以看出厚度越大，響應頻率越高。

在階躍載荷作用下，柔性梁厚度為0.5mm時的扭轉響應如圖15所示。

4 結論

(1)有限段方法是對梁式柔性機構進行動力學分析的有效方法。

(2)利用ADAMS宏命令在ADAMS中創建有限段模型系統，可以大大簡化多剛體系統動力學方程的建立過程。

圖13 脈沖載荷下扭轉響應

圖14 不同厚度下的響應頻率

圖15 階躍載荷下扭轉響應

(3)將有限段方法應用于SMA柔性扭轉驅動器的動力學分析，獲得了扭轉驅動器的相關動態特性。

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