非局域暗孤子及其穩定性分析*

高星輝 張承云 唐冬 鄭暉 陸大全 胡巍?

1)(廣州大學電子信息工程系,廣州 510006)

2)(華南師范大學,光子信息技術廣東省高校重點實驗室,廣州 510631)

(2012年7月4日收到;2012年8月13日收到修改稿)

1 引言

近些年來,非局域空間孤子一直是研究的熱點,人們對它們的各種特性例如相互作用、穩定性進行了大量研究.體介質中非局域亮孤子間的相互作用取決于它們間的相位差、相干程度、材料的非線性非局域程度[1?3];非局域基態和二階體亮孤子總是穩定的,而高階亮孤子是震蕩不穩的[4],但如果樣品的寬度超過一臨界值,三階、四階體亮孤子在其存在區域也總是穩定的[5].非局域表面亮孤子的穩定性與體亮孤子的穩定性相似:基態和二階表面亮孤子總是穩定的,高階表面亮孤子是震蕩不穩的[6?9].非局域基態界面亮孤子總是穩定的,二階及以上高階界面亮孤子是震蕩不穩的[10?12].

與非局域亮孤子相比,由于其邊界的特殊性,對非局域暗孤子相互作用及其穩定性的研究甚少.非局域暗孤子間的相互作用取決于孤子間距離以及介質的非局域程度[13?16],并存在著一個相互作用的臨界點[17].1+2維非局域暗孤子由于橫向不穩定性容易分裂并演變成渦旋孤子[18],1+1維非局域暗孤子的穩定性如何,目前還沒有文章對其進行過具體研究.本文從1+1維非局域非線性薛定諤方程出發,通過數值模擬得到非局域暗孤子解,然后提出了暗孤子穩定性分析理論,并對其數值求解得到了非局域暗孤子的穩定性分析圖,最后利用加噪聲的傳輸驗證了穩定性分析理論的正確性.

2 非局域非線性薛定諤方程的數值解

2.1 理論模型

在傍軸近似下,1+1維光束在熱非線性體介質(比如液晶)中的傳輸由非局域非線性薛定諤方程確定(NNLSE):[19]

其中u(x,z)是光束的復振幅包絡;x,z分別為橫坐標和縱坐標;是實對稱的非局域響應函數,是光束引起熱非線性體介質的折射率變化.

當σ→0時,該耦合方程就變成局域非線性薛定諤方程.

2.2 非局域暗孤子數值解

耦合方程(2)有暗孤子和灰孤子解,這里考慮暗孤子解.設耦合方程(2)的解為u(x,z)=W(x)exp(iβz),n(x,z)=N(x),其中W(x),N(x)為實數,β為傳播常數且為負數.將它們代入耦合方程(2)得到

對耦合方程(3)利用牛頓迭代法進行數值模擬得到基態暗孤子和二階暗孤子解(見圖1),邊界上我們令振幅、折射率的導數為零,離散化方程時邊界條件利用三點微分公式.

3 非局域暗孤子穩定性分析

3.1 穩定性分析理論

下面分析非局域暗孤子對橫向擾動的穩定性.對耦合方程(2)引入擾動解

其中a(x,z),b(x,z)(a?W,b?N)分別為振幅和折射率微擾且都為實數.將方程(4)代入(2)式并圍繞(3)式線性化且忽略高階項得到關于a,b的線性方程

方程(5)有如下形式的解:

把(6)式代入方程(5)得

圖1 非局域暗孤子數值解 (a)不同σ對應的基暗孤子;(b)不同σ對應的二階暗孤子

從方程(7)可以得到

對(9)式取共軛得到

這樣由(8),(10)兩式組成的方程組就變成了求本征值方程(本征值為λ)的問題

其中

本征函數

在邊界上我們令振幅、折射率的導數為零,離散化方程時對邊界條件用三點微分公式.非局域暗孤子的不穩定性來源于本征值虛部的負數(見(6)式),即擾動隨著本征值虛部的負數g=?Im(λ)指數增長,從而導致暗孤子不穩定.

3.2 穩定性分析圖

對上述本征值方程進行數值求解并得到穩定性分析圖.從穩定性分析圖發現,與基態非局域亮孤子一樣,基態非局域暗孤子在它存在區域內總是穩定的(見圖2),二階非局域暗孤子是區間不穩定的(見圖3),而二階非局域亮孤子在其存在區域總是穩定的[9].為了驗證穩定性分析結果的正確性,我們令耦合方程(2)的加噪聲初始輸入為u(x,z=0)=W(x)[1+ρ(x)],其中ρ(x)為高斯分布的隨機噪聲且方差δ2=0.03.將上述初始輸入代入方程(2)并利用菱形差分法進行數值模擬得到加噪的孤子傳輸圖,邊界上令振幅、折射率的導數為零.

圖2 基態暗孤子波形圖 (a)相同β,不同σ的波形;(b)相同σ,不同β的波形,基態暗孤子的加噪傳輸圖;(c)σ=1,β=?1時的傳輸圖;(d)σ=3,β=?1.5時的傳輸圖

圖2 (c),(d)(σ,β為基態暗孤子存在區域內的任意值)為加噪后基態暗孤子傳輸圖,其中圖2(c)中介質的非局域程度為σ=1且傳播常數β=?1,圖2(d)中σ=3且β=?1.5.從圖2中可以看出,加了微擾的基態暗孤子傳輸3000個瑞利距離后波形仍然保持不變,并且無論非局域程度和傳播常數為任何值,這說明基態暗孤子在其存在領域內總是穩定的.

圖3 二階暗孤子波形圖 (a)相同β,不同σ的二階暗孤子波形;(b)擾動增長率虛部的負數-傳播常數圖(穩定性分析圖),σ=3,5;(c)本征值實部-傳播常數圖;二階暗孤子的加噪傳輸圖;(d)σ=3,β=?1;(e)σ=3,β=?0.3;(f)σ=5,β=?1;(g)σ=5,β=?0.5

圖3 (b)為二階非局域暗孤子穩定性分析圖,其中橫坐標為傳播常數的負數,縱坐標為本征方程中本征值虛部的負數.從圖3(b)可以看出,二階非局域暗孤子是區域不穩定的,在曲線內暗孤子不穩,曲線外穩定,圖3(d)—(g)驗證了穩定性分析圖的正確性.圖3(d),(e)分別為σ=3而β為在不穩定區域內、外取一任意值時加噪二階暗孤子傳輸圖,圖3(d)(穩定區取β=?1)表明在加噪傳輸3000個瑞利距離后二階暗孤子波形仍然保持不變,圖3(e)(不穩定區取β=?0.3)表明在加噪傳輸1500個瑞利距離后二階暗孤子波形已經嚴重變形;圖3(f),(g)分別為σ=5而β在不穩定區內、外取一任意值時加噪二階暗孤子的傳輸圖.從圖3可以得出結論:二階非局域暗孤子的穩定性與亮孤子的不一樣,它是區間不穩定的,并且不穩定區間的大小與體介質非局域程度σ以及傳播常數β有關系,更高階的非局域暗孤子也有類似性質.另外,不穩定區間的大小與暗孤子的階數也有關系,這些我們將在以后討論.

局域暗孤子間總是排斥的,非局域暗孤子間可以表現為相互吸引,高階非局域暗孤子可以看成是幾個基態暗孤子的束縛態,只有當非局域程度、孤子寬度以及非線性(傳播常數和背景強度)等條件合適時才可以形成穩定的高階非局域暗孤子,否則形成的暗孤子是不穩定的.

4 結論

與基態、二階亮孤子一樣,基態非局域暗孤子在其存在領域內總是穩定的,而二階非局域暗孤子是區間不穩定的,其不穩定區間的大小與介質的非局域程度以及傳播常數有關系,另外還與暗孤子的階數有關系.這一結論對非局域暗孤子的實際應用和相互作用的研究有一定的參考價值,特別是對高階暗孤子穩定性的研究有重要的指導和參考意義.

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