具有雙相依結構的信度估計

騰 葉, 吳黎軍

(新疆大學 數學與系統科學學院， 新疆 烏魯木齊 830046)

在保險實踐中，確定合適的保費是一項很重要的工作，如何對產品進行科學合理的定價往往是保險公司最為關心的問題．對非壽險產品定價時，經常遇到很多不確定性因素，因此非壽險產品的定價比壽險產品的定價要困難得多．在非壽險領域，其定價的基本方法是基于信度理論．信度理論就是通過結合各投保人的風險特性(先驗信息)及其索賠經歷(樣本信息)來合理地確定保費，信度保費公式為：信度保費=Z*樣本信息+(1-Z)*先驗信息．文獻[1]首次基于貝葉斯的理論建立了任意分布下凈保費的信度估計，從而為信度理論的發展奠定了統計基礎，關于信度理論的詳細介紹可以參考文獻[2]．

在相當長的一段時間內，信度理論極大地依賴于風險之間的獨立性以及在時間分量上的條件獨立性．因此很多學者在討論信度保費時，一般都假設各風險組之間是相互獨立的．但在現實中，這些獨立性假設有時候是不成立的．事實上，在大多數情況下風險之間都存在相依性，各保險合同之間的索賠具有較強的相依性．例如，地域相鄰的兩棟承保房屋面臨著共同的火災風險，夫妻之間的壽命也呈現相依性，汽車保險中的一次交通事故可能導致多個承保車輛受損索賠等等．自20世紀90年代后期以來，關于風險之間相依性的研究受到了越來越多的精算學者的關注，例如文獻[3]和文獻[4]；文獻[5]提出了一種具有共同效應的隨機變量，并建立了風險之間呈現某種相依結構的信度模型，得到了正態分布下的信度公式；文獻[6]提出了共同效應依賴結構下的Bühlmann和Bühlmann-straub模型，并得到了無分布情形下的信度保費估計．由于在經典的信度理論中，假定不同年份的索賠序列有共同的風險參數Θ，在風險參數給定情況下，不同年份的索賠相互獨立且具有相同的分布，沒有考慮不同年份之間風險的時間變化效應．所以文獻[7]研究了誤差等相關情況下的信度模型，考慮了不同年份索賠的風險之間具有等相關的信度模型，得到了相應的信度估計．文獻[8]利用信度理論方法研究了具有時間變化效應的風險保費的估計問題；文獻[9]建立了索賠頻率風險模型，并得到了時間效應為自相關時間序列時的信度估計；文獻[10-11]在Poisson索賠頻率風險模型中討論了相依結構對信度估計的影響；文獻[12]在時間效應Student-t copula假設下研究了信度估計．

本文在綜合分析已有研究文獻基礎上，綜合考慮各風險組之間的共同效應和不同年份之間風險的時間變化效應來討論相應的信度估計．

1 模型的準備與模型假設

minE[Xi,n+1-g(X1,X2,…，XK)]2

(1)

其中解g*(X1,X2,…，XK)在信度理論中稱為Bayes保費.在信度理論中，將最優化問題(1)中的函數g限制在樣本X1,X2，…，XK的線性函數中，定義非其次線性函數

(2)

和齊次線性函數

(3)

本文從兩個方面進行延伸，第一，考慮各風險組之間具有共同效應的依賴結構；第二，考慮個體保單具有時間變化效應，假設時間變化效應由某種相關矩陣刻畫.在綜合考慮二者共同作用的情況下來討論相應的信度估計.

本文的目的是建立具有雙相依結構的信度模型，假設保單組合風險參數為Θ且風險參數為隨機變量，預測保單組合在未來一年的索賠Xi,n+1.但與經典的信度理論不同，本文假定索賠隨機變量Xij(i=1,2,…，k,j=1,2,…，n)有各自的風險參數Θij且這些風險參數具有某種相依結構.

1.1 假設和符號說明

假設1存在一個共同潛在變量Λ來表示保單組合之間的共同效應，隨機變量Θi,i=1，…，k表示個體風險特點；給定Λ，隨機向量(Xi,Θi),i=1，…，k是獨立同分布的.對于確定的i,給定共同效應Λ，當風險參數Θij=θ時，索賠隨機變量Xi1,Xi2,…，Xin是獨立同分布的.同時，本文將經典的假設

E(Xij|Θij,Λ)=μ(Θij,Λ) cov(Xij|Θij,Λ)=σ2(Θij,Λ)

改為更廣義假設

E(Xij|Θij,Λ)=βjμ(Θij,,Λ) cov(Xij|Θij,Λ)=γj(Θij,Λ)+ψjσ2(Θij,Λ)

用來討論更一般的形式.

1.2 其他模型符號說明

μ1=E(μ1(Λ))，γj(Λ)=E[γj(Θij,Λ)|Λ],γj=E[γj(Λ)].

下面我們陳述一些引理，便于以下應用.

引理1隨機變量Y在線性空間L(X,1)和Le(X)上的正交投影分別為非其次和齊次信度估計，即有

其中∑YX是Y與X的協方差矩陣.

引理2對任意閉集M′?M?L2和Y?L2則proj(Y|M′)=proj(proj(Y|M)|M′).

引理3設A,B,C,D是適當階數的矩陣，則有下面的求逆公式

(A+BCD)-1=A-1-A-1B(C-1+DA-1B)-1DA-1

證明可見文獻[13].

2 非齊次信度保費估計

定理1在以上假設條件和符號標記下，Xi,n+1,i=1,…，k的最佳線性非齊次估計為

(4)

證明記τ=(τ1,…,τn)′，β=(β1,…，βn)′，v=(β1τ1,…，βnτn)′，首先可以得到E(Xij)=βjμ1,i=1，…，k,j=1，…，n.運用方差的條件期望公式有

cov(Xi,n+1,X)=E[cov(Xi,n+1,X|Θ,Λ)]+cov[E(Xi,n+1,X|Θ,Λ)]

(5)

因為cov(Xi,n+1,X|Θ,Λ)=0,所以未來索賠隨機變量和過去索賠隨機變量的協方差為

cov(Xi,n+1,X)=cov[E(Xi,n+1|Θi,n+1,Λ),E(X|Θ,Λ)]=

cov[βn+1μ(Θi,n+1,Λ),(β1μ(Θ11,Λ),…，βnμ(Θ1n,Λ),…，β1μ(Θk1,Λ),…，βnμ(Θkn,Λ))]=

E{cov[βn+1μ(Θi,n+1,Λ),(β1μ(Θ11,Λ),…，βnμ(Θ1n,Λ),…，β1μ(Θk1,Λ)，…，βnμ(Θkn,Λ))|Λ]}+

cov{E[βn+1μ(Θi,n+1,Λ),(β1μ(Θ11,Λ),…，βnμ(Θ1n,Λ),…，β1μ(Θk1,Λ),…，βnμ(Θkn,Λ))|Λ]}=

(6)

其中，ei是第i個位置為1其余位置為0的n維列向量，1n是n個元素全為1的列向量.

通過簡單計算可得隨機向量X的方差為

(7)

由引理3矩陣求逆公式得

(8)

(9)

結合(6)式和(9)式可以得到

(10)

(11)

此時有信度保費

此時信度估計成為

(12)

即它是Bühlmann信度估計，因此定理可以看成是經典信度理論的推廣.

3 齊次信度保費估計

下面將討論多合同模型中齊次的信度估計，敘述定理如下.

定理2在以上假設條件和符號標記下，Xi,n+1,i=1,…，k的最佳線性齊次估計為

(13)

證明由引理2正交投影的平滑性，有

proj(Xi,n+1|Le(X))=proj(proj(Xi,n+1|L(X,1))|Le(X))

(14)

(15)

根據以上結論可得

所以有

4 結束語

本文利用信度理論的方法，綜合考慮各風險組之間的共同效應和不同年份之間風險的時間變化效應，來討論相應的信度估計，分別得到了多合同模型下的非齊次和齊次信度保費估計，并給出了相應的信度保費表達式.結果表明，所得到的信度公式具有經典的信度形式，避免了獨立性的限制，這一結果推廣了經典的信度模型．

[1] Bühlmann H． Experience rating and credibility I [J]． Astin Bulletin，1967， 4(3)： 199-207．

[2] Bühlmann H， Gisler A． A course in credibility theory and its applications[M]． Netherlands： Springer，2005：77-264．

[4] Dhaene J， Denuit M，Goovaerts M J，etal.The concept of comonotonicity in actuarial science and nance：theory[J]. Insurance: Mathematics and Economics，2002，31(2)：133-161．

[5] Yeo K L，Valdez E A．Claim dependence with common effects in credibility models[J].Insurance：Mathematics and Economics，2006，38(3)：609-629．

[6] Wen L M， Wu X Y， Zhou X． The credibility premiums for models with dependence induced by common effects [J]．Insurance：Mathematics and Economics，2009，44(1)： 19-25．

[7] Wen L M，Wang W，Yu X L．Credibility models with error uniform dependence [J]． Journal of East China Normal University：Natural Science，2009(5)：118-126．

[8] 鄭丹，章溢，溫利民．具有時間變化效應的信度模型[J]．江西師范大學學報：自然科學版， 2012， 36(3)：249-252．

[9] Bolancé C，Guillén M，Pinquet J．Time-varying credibility for frequency risk models： estimation and tests for autoregressive specifications on the random effects [J]．Insurance： Mathematics and Economics，2003，33(2)：273-282．

[10] Purcaru O，Denuit M．On the dependence induced by frequency credibility models [J]． Belgian Actuarial Bulletin，2002，2(1)：73-79．

[11] Purcaru O，Denuit M．Dependence in dynamic claim frequency credibility models [J]．Astin Bulletin，2003，33(1)：23-40．

[12] Frees E W，Wang P．Credibility using copulas [J]．North American Actuarial Journal，2005，9(2)：31-48．

[13] Rao R, Toutenburg H. Linear Models[M].New York:springer,1995.