S-meso緊空間

楊思鑫， 幸華雄

(成都理工大學(xué) 管理科學(xué)學(xué)院， 四川 成都 610059)

1 預(yù)備知識

Levine在文獻(xiàn)[1]中首次引入拓?fù)淇臻g中半開集的概念并且對其性質(zhì)進(jìn)行了研究，自此半開集的概念及其性質(zhì)引起了一些拓?fù)鋵W(xué)者的關(guān)注，成為拓?fù)鋵W(xué)討論的重要內(nèi)容之一，一些由半開集定義而得到的空間,如可數(shù)S-閉空間、S-閉空間、S-可膨脹空間等被定義.2006年，文獻(xiàn)[2]中定義了S-仿緊空間，并對S-仿緊空間的性質(zhì)進(jìn)行了研究.本文將在此基礎(chǔ)上，給出新的更為復(fù)雜的空間——S-meso緊空間，對其定義并對其性質(zhì)進(jìn)行初步研究.

本文中研究的空間默認(rèn)為不滿足分離性公理的拓?fù)淇臻g，除非有特殊說明.設(shè)(X,T)是一個拓?fù)淇臻g，A是X的一個子集，則A的閉包，A的內(nèi)部,(X,T)在A上的相對拓?fù)洌謩e記為cl(A), int(A),TA.

定義1設(shè)空間(X,T)中的一個子集記為A，A稱為(X,T)的一個半開集[1]，假設(shè)存在X的一個開集U，使U?A?cl(U)等價(jià)的說法是A?cl(int(A)).半開集的補(bǔ)集稱為半閉集[3].用scl(A)來表示A的半閉包[4]：包含A的最小的半閉集.

定義2[5]設(shè)A是空間(X,T)中的一個子集，A稱為的一個正則開，如果A=int(cl(A))；A稱為正則閉，如果A=cl(int(A))；A稱為預(yù)開，如果A=int(cl(A))；

為論證方便，本文有以下約定：

(1)SO(X, T)表示(X, T)中X的半開集族；

(2)RO(X, T)表示(X, T)中X的正則開集族；

(3)RC(X, T)表示(X, T)中X的正則閉集族；

(4)PO(X, T)表示(X, T)中X的預(yù)開集族.

對于空間(X, T)，RO(X, T)是拓?fù)銽S的基且TS?T，則空間(X,TS)稱為(X, T)中半正則的空間.

定義3[6]空間X中的集族記為V稱為緊有限，如果X的任意緊集K與V相交僅有有限個元素.

定義4空間X的集族記為V稱為S-緊有限的，如果X中的每一個半開的緊子集K僅與V中有限個元相交.

引理1[7]集族F={Fα∶α∈I}是由空間(X,T)的子集構(gòu)成的：

(a)F是S-緊有限當(dāng)且僅當(dāng){scl(F):α∈I}是S-緊有限

(b)如果F是S-緊有限，則∪α∈Iscl(Fα)=scl(∪α∈IFα)

顯然集族F={Fα∶α∈I}是空間(X,T)的

子集是緊有限的當(dāng)且僅當(dāng)集族{scl(F)∶α∈I}是緊有限的.

定義5[8]空間(X, T)稱為S-閉空間(可數(shù)S-閉空間),如果對X任意一個半開覆蓋(可數(shù)半開覆蓋)U都存在一個有限子族V,使子族中元素V的閉包c(diǎn)l(V)覆蓋X.

定義6空間(X,T)稱為極不連通(簡稱e.d.)的，如果任意一個開集U的閉包c(diǎn)l(U)在(X,T)中是開集.

定義7[9]空間(X, T)稱為meso緊的，若X的任意開覆V存在緊有限的開加細(xì)覆蓋U.

定義8空間X稱為S-meso 緊空間，若X的任意開覆蓋V具有緊有限的半開的加細(xì)覆蓋U.

例如：取X=R是一個實(shí)數(shù)集，有拓?fù)淇臻gT={X,Φ,{1}}，則空間(X,T)便是S-meso緊空間.

引理2[7]如果(X, T)是極不連通的，則有scl(U)=cl(U)，其中U∈SO(X,T).

引理3[10]設(shè)空間(X, T)的一個子集A，則A∈PO(X, T) 與scl(A)=int(cl(A))互為充要條件.

2 主要結(jié)果

定理1如果(X, T)是一個S-meso緊T2空間，則對X中的每一個閉子集A和一點(diǎn)x(x不屬于A),存在U∈T且V∈SO(X,T)得x∈U，A?V且U∩V=Φ,等價(jià)于對X中的一個開集U使x∈U，存在V∈T，則x∈V?scl(V)?U.

證明對任意y∈A,選一個開集Wy，即y∈Wy且x?cl(Wy)，所以集族W={Wy∶y∈A}∪{X-A}是X的一個開覆蓋，所以W有一個緊有限的半開加細(xì)覆蓋H ，

取V=∪{cl(H)∶H∈H，且x∩H≠Φ即V是一個包含A的半開集，又因?yàn)閏l(V)=∪{cl(H)∶H∈H且x∩H≠Φ,因此U=X-cl(V)是一個包含x的開集，所以U∩V=Φ得證.

推論1每一個S-meso緊T2空間是半正則的，即T=TS.

證明空間(X, T)是S-meso緊T2空間，由定理1，空間中任意x∈U∈T ，存在V∈T有x∈V?scl(V)?U；另因?yàn)閂?int(cl(V))，則A∈PO(X, T).由引理3 scl(A)=int(cl(A))，得出x∈V?int(cl(V)) ?U，所以正則開集族V={int(cl(V)):V∈T}是空間(X,T)的一個基，即T= Ts.

推論2每一個極不連通的S-meso緊T2空間是正則的.

證明由引理2知極不連通空間(X,T)中半開集V，滿足scl(V)=cl(V)，又由定理1，對于空間中一點(diǎn)x，x∈U,存在V∈T有x∈V?scl(V)?U，綜上得cl(V)?U.所以是正則空間得證.

定理2設(shè)(X,T)是一個正則空間且為極不連通的，如果任意X的開覆蓋都存在一個S-緊有限的半開加細(xì)，則X的任意開覆蓋都存在一個緊有限開加細(xì).

證明取X的一個開覆蓋U，對任意一個x∈X取Ux∈U，根據(jù)正則性，開集Vx∈T 且x∈VX?cl(Vx)?Ux,則V={Vx∶x∈X}是X的一個開覆蓋，則V有一個S-緊有限半開加細(xì)覆蓋W={Wβ∶β∈B}.

任意的β∈B，取Hβ使?jié)M足Hβ?Wβ?cl(Hβ),又因?yàn)閷θ我獾摩隆蔅，cl(Hβ)=cl(Wβ)?(Vx)(Vx∈V)和cl(H)?U(U∈U).因?yàn)?X, T)是極不連通的，所以cl(Hβ)∈T(β∈B).

下面證集族H={cl(Hβ)∶β∈B}是緊有限的.

由W={Wβ∶β∈B}是S-緊有限，則任意半開緊集K?X，K與W中有限元相交.定義4和定義3顯然得到H={cl(Hβ)∶β∈B}是緊有限.

推論3每一個極不連通的S-meso緊T2空間是meso緊空間.

證明由meso緊空間定義和定理2顯然得到.

定理3在每一個可數(shù)S-閉空間中，S-緊有限集中由半開集構(gòu)成的集族是有限的.

再證∩{int(cl(Fn))∶n∈N}=Φ

假設(shè)，存在t∈{int(cl(Fn)}∶n∈N}對每一個n∈N，Vn(t)∈T，則t∈Vn(t)?cl(Fn) 但是因?yàn)锳是S-緊有限的，所以存在緊集Mt，Mt∈SO(X,T),Mt與A 有有限交.現(xiàn)在選取Ut?Mt?cl(Ut) 那么Unt∩Ut≠Φ對每一個n∈N,存在Sn∈Vn(t)∩Ut?cl(Fn)∩Vt，因此Ut∩Fn≠Φ進(jìn)而，F(xiàn)n∩Mn≠Φ即Mt與A相交有有限元，所以上面的假設(shè)不成立，∩{int(cl(Fn))∶n∈N}=Φ正確.定理證畢.

推論4每一個S-meso緊可數(shù)S-閉空間是緊空間.

證明因?yàn)槊恳粋€緊的e.d.空間是S-閉空間，結(jié)合定理3有關(guān)內(nèi)容，本推論易得.

推論5取(X,T)是極不連通空間，則下面(a)(b)等價(jià)

(a)(X,T)是S-meso緊也是S-閉空間.

(b)(X,T)是緊空間.

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