關于映射一致可微性的幾個定理

鐘延生

(福建師范大學 數學與計算機科學學院, 福建 福州 350117)

可微與一致可微是分析學中的重點與難點.由可微與一致可微的概念可知,可微是指存在切平面逼近曲面,而一致可微則說明在某個集合上這些切平面一致逼近曲面.關于可微性的研究已有較豐富的成果,如著名數學家童裕孫[1]、夏道行、嚴紹宗、舒五昌[2]、W. Rudin[3]、J. T. Schwartz[4]等在泛函分析及非線性分析教程中對可微的概念及相關性質(如連續)等作了較充分的討論;但對于一致可微的討論較少,其中2003年至2005年,董鴿、葉洪波[5-6]等結合俞鑫泰關于Banach空間幾何理論,探討范數一致可微與d一致可微. 2008年至2011年,楊建東,馬守國,白玉梅[7-10]等在一維區間探討了一致可微性.顯然,前者是在無窮維上考慮一致可微,而后者僅從一維情形進行討論,兩者之間是否存在過渡或某種關聯呢?

本文先將一維情形推廣到高維,證明了高維空間映射的一致可微當且僅當其微分矩陣算子(4)式)在算子范數的意義下具有一致連續性;同時給出了判定高維空間微分矩陣算子的一致連續的充要條件,即矩陣的每一元素fij(x):→(見(4)式)一致連續.由此可知,高維情形可化為一維,從而,關于一維元素fij(x)的一致連續的成果,均可推廣到高維情形,如考慮一維元素fij(x)在閉區間上一致連續當且僅當fij(x)在閉區間上連續,可得f一致可微.顯然此結果可類似地推廣到無窮維緊集上,得到當映射的微分算子在緊集上連續則映射一致可微,但多數情況下(如逼近論及局部分析中)需在緊集的某個鄰域一致可微.因此,又證明了當映射在緊集ε0-鄰域上微分連續時,則映射在緊集的δ1(<ε0)-鄰域上一致可微.

1 一致可微性的基本概念及有限維情形

先給出一致可微的定義:

定義1[1-2]設f:R→R上的可微函數,若對任意的ε>0,存在δ>0,使得對任意的x,y滿足0<|x-y|<δ,有

(1)

即

|f(x)-f(y)-f′(x)(x-y)|<ε|x-y|

(2)

稱f在R上是一致可微的函數.

注1i)上述定義1可推廣到Banach空間X、Y.

設映射f:X→Y可微函數,滿足:對?ε>0,?δ>0,使得對?x,yεX,當‖x-y‖X<δ,有

‖f(x)-f(y)-Df(x)(x-y)‖Y<ε‖x-y‖X

(3)

稱f在X上具有一致可微性.其中Df(x)εL(X,Y)為映射f在點x的微分算子,有時也記為Dfx.

特別的,當X=n,Y=m,Dfx是m×n的矩陣函數:

(4)

其中fij是指第i個函數fi關于xj求導.且矩陣算子范數定義為

(5)

其中

ii)上述推廣的一致可微的定義具有如下對稱性:

‖f(y)-f(x)-Df(x)(y-x)‖Y<ε‖y-x‖X

‖f(x)-f(y)-Df(y)(x-y)‖Y<ε‖y-x‖X.

現設X=n,Y=m有限維情形,考慮一致可微:

定理1f:X→Y是可微映射,則f在X上一致可微充要條件是Df在X上一致連續.

證明當X=Y=的證明可參見文獻[7],接下來重點討論X=n,Y=m的一般情形.

由可微的定義(4)式可知,此時Df的一致連續是指對任意的ε>0,存在δ>0,當‖x-y‖X≤δ有

‖Dfx-Dfy‖L(X,Y)≤ε

(6)

其中‖·‖L(X,Y)表示算子范數.

必要性:設f是一致可微的,對任意ε>0,由注1中一致可微的對稱性可知,存在δ>0,使得當‖x-y‖X<δ,有

由三角不等式,對上述x,y,有

‖[Df(x)-Df(y)](x-y)‖Y

≤‖Df(x)(x-y)-(f(x)-f(y))‖Y+‖(f(x)-f(y))-Df(y)(x-y)‖Y<

結合算子范數的定義式(5),可知‖Df(x)-Df(y)‖L(X,Y)≤ε,故Df是一致連續.

充分性:設Df一致連續,對任意ε>0,根據定義存在δ,使得對任意‖x-y‖X<δ,由中值定理存在w介于x與y連線之間,有f(x)-f(y)=Df(w)(x-y).(事實上,記G(t)=f(tx+(1-t)y),可知f(x)-f(y)=G(1)-G(0)=G′(t0)=Df(t0x+(1-t0)y)(x-y),故可取w=t0x+(1-t0)y.)

由于w介于x與y連線之間,有‖w-x‖X<δ,從而由Df的一致連續,可知‖Df(w)-Df(x)‖L(X,Y)<ε.故

‖f(x)-f(y)-Df(x)(x-y)‖Y=‖Df(w)(x-y)-Df(x)(x-y)‖Y=

‖[Df(w)-Df(x)](x-y)‖Y<ε‖x-y‖X

結合ε的任意性與注1可知,f在X上一致可微.

注2關于上面矩陣算子Dfx(m,n)的存在性以及一致連續,有下面的結果.

i)存在性:若對任意i,j,fij都存在,無法驗證Dfx(m,n)存在.如下例m=1,n=2

在x=(0,0),易得fx1(0)=0,fx2(0)=0.但由于映射f在(0,0)不可微,故此時Dfx(1,2)(0)不存在.同時易證除零點外Dfx(1,2)(x)存在且為

(7)

ii)一致連續:

引理1矩陣算子Df一致連續的充要條件是對任意i,j,fij一致連續.

證明事實上,由式(5)可知,

而

(Dfx-Dfy)(z)=Dfx(z)-Dfy(z)=

(8)

由(5)可知(6)成立,即Df一致連續.

由Df一致連續結合式(5)易得fij一致連續,證畢.

iii)由上述討論可知,高維情形本質上可化為一維情形,從而關于一維元素fij(x):→的一致連續的結論均可推廣到高維.例如文獻[11]討論一維一致連續與連續的關系,可應用到高維.值得指出的是文獻[11]中命題1忽略了反例f(x)=xD(x)+1(其中D(x)是Dirichlet函數).

2 無窮維情形

顯然,上一節討論可類似地推廣到無窮維情形緊集上,可得當映射的微分算子在緊集上連續則映射一致可微,但多數情況下需在緊集的一個鄰域驗證一致可微.在此,進一步在緊集的鄰域上考慮一致可微:

記A是Banach空間X上一個緊子集,Bε0(A)是A在X上ε0-鄰域.

定理2設映射f:Bε0(A)→Y上是C1(即微分連續),則存在δ1>0,使得f在Bδ1(A)上一致可微,即對任給定ρ0>0,則存在r0>0,δ1>0,使得對?xεBδ1(A)及0

f(Br(x)∩Bδ1(A))?f(x)+Dxf((Br(x)))+Bρor(0)

(9)

其中Dxf((Br(x)))+Bρor(0)是集合Dxf(Br(x))在X中的ρor-鄰域.

要證定理2,需如下命題:

定理2的證明對任意給定ρ0及點xiεA,由f在Bε0(A)是C1,故存在ri=r(xi),使得對任意0

(10)

及對任意uεBri(xi),有

(11)

‖f(z)-f(y)-Dyf(z-y)‖Y

(12)

從y,z的選擇可知,當τε[0,1]有(y+τ(z-y))εBri(xi).因此,式 (11)代入式(12),可得

(13)

f(Br(w)∩Bε0(A))?f(w)+Dwf(Br(w))+Bρor(0)

(14)

f(Br(v)∩Bε0(A))?f(v)+Dvf(Br(v))+Bρor(0)

(15)

記r0=min(r1/2,…，rm/2),故對任意xεBδ1(A)及0

f(Br(x)∩Bδ1(A))?f(x)+Dxf(Br(x))+Bρor(0)

(16)

即f在Bδ1(A)上是一致可微,證畢.

3 結束語

由上述討論可知,當矩陣元素fij(x)一致連續,可得高維映射的一致可微,如此就統一了一維與高維情形;又證明了當映射在無窮維緊集ε0鄰域上微分連續時,則映射在緊集的δ(<ε0)-鄰域上一致可微,這在逼近論或局部分析中起著重要的作用.此外,本文對高維微分算子即有限階矩陣算子一致連續等性質的討論,可進一步引申到無窮維微分算子(若空間可列)的無窮階矩陣算子的探討,有待進一步深入研究.

[1] 童裕孫.泛函分析教程[M].2版.上海：復旦大學出版社, 2008: 225-233.

[2] 夏道行，嚴紹宗，舒五昌.泛函分析[M].2版.北京：高等教育版社, 2008: 284.

[3] Rudin W.Functional Analysis[M].2nd ed. Singapore: Mc Graw Hill, 1991.

[4] Schwartz J T. Nonlinear functional Analysis[M]. New york:Springer-Verlag,1969.

[5] 董鴿，程慶進. Banach空間中一些可微性的充要條件[J].廣西師范學院學報, 2003, 20(4):32-34.

[6] 葉洪波. Fréchet空間的d一致可微性[J].數學研究, 2005, 38(4): 378-382.

[7] 楊建東.關于函數的一致可微性[J].內蒙古電大學刊, 2008(5): 61-62.

[8] 馬守國,文曉霞.關于函數的一致可微性的幾個定理[J].哈爾濱師范大學學報：自然科學版, 2009, 25(4): 22-23.

[9] 白玉梅.關于函數一致可微性的幾個定理[J].內蒙古民族大學學報：自然科學版, 2011, 26(4): 391-393.

[10] 馬守國.函數一致可微性定理的討論[J].高等函授學報：自然科學版, 2010,23(6): 56-58.

[11] 周明益.函數連續性與一致連續性的探討[J].長江大學學報：自然科學版,2011, 8(9): 8-12.