三角函數最值問題求解策略

于周好

摘要：解決三角函數最值問題的基本途徑：一方面應充分利用三角函數自身的特殊性，如有界性.另一方面還要注意將求解三角函數最值問題，轉化為求一些我們所熟知的函數如二次函數等最值問題.

關鍵詞：三角函數最值 配方轉化 有界性轉化 單調性轉化

三角函數這一章節，在近幾年高考中，已逐步拋棄了對復雜三角變換和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函數最值問題.且一般以選擇、填空題形式出現，難度不大.

下面介紹幾種常見的三角函數最值的求解策略.

1.配方轉化

經轉化，最后化歸為二次函數的三角函數最值問題，稱為二次函數型.閉區間上的二次函數一定存在最大值、最小值，這是求解二次函數型三角最值得主要依據.對能夠化為形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函數最值問題，可看作是sinx或cosx的二次函數最值問題，常常利用配方轉化策略來解決.

二次函數的對稱軸不在t∈[-1，1]的范圍內，且二次項系數a>0，其圖象開口向上，結合二次函數的圖象可知當t=-1，ymin=-6；當t=1，ymax=4.

感悟：這類問題在求解中，要注意三個方面的問題：其一要將三角函數準確變形為sinx或cosx的二次函數的形式， 可以采用換元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，運用二次函數配方的技巧正確配方，易錯在二次項系數，如本題中二次項系數是-2，對應二次函數開口向下，配方過程中要先提出負號；其三要把握三角函數sinx或cosx的范圍，注意觀察二次函數對稱軸與換元后變量的范圍的關系.值得注意的是，當變量x有一定范圍時，更要注意換元量t的范圍，防止出錯.

2.有界性轉化

三角函數尤其正弦、余弦是一種有界函數，其有界性在解決值域、最值或者取值范圍等問題顯得靈活.對于所給的三角函數能夠通過三角恒等變換，結合正余弦的兩角和差公式，升降冪公式和二倍角公式，對所給的式子化簡為形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常常可以利用三角函數的有界性，在變量x沒有特定范圍的情況下，其值域為[-A，A]求解其最值.這是解決三角函數最值問題常用的策略之一.

感悟：求解這類問題的關鍵是先將所給的三角函數化為一個角的三角函數問題，然后利用三角函數的有界性求其最值.針對高考中題目看，還要強化變角訓練，如何把一個含有不同名或不同角的三角函數式化為只含有一個角的三角函數關系式，這也是高考的重點.由此題可見，靈活運用三角函數的有界性，能使問題的求解直接明了！

3.單調性轉化

對于三角函數來說， 結合三角函數的圖象，判斷三角函數對應區間的單調性，利用三角函數在給定區間單調性是求解三角函數函數最值問題常用的一種轉化策略.此種題型直接考查三角函數的性質及圖象的變換.常常是先化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式，與例題2中的轉化方法類似，區別在于復合角 （ωx+φ）區間的特定性.

摘要：解決三角函數最值問題的基本途徑：一方面應充分利用三角函數自身的特殊性，如有界性.另一方面還要注意將求解三角函數最值問題，轉化為求一些我們所熟知的函數如二次函數等最值問題.

關鍵詞：三角函數最值 配方轉化 有界性轉化 單調性轉化

三角函數這一章節，在近幾年高考中，已逐步拋棄了對復雜三角變換和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函數最值問題.且一般以選擇、填空題形式出現，難度不大.

下面介紹幾種常見的三角函數最值的求解策略.

1.配方轉化

經轉化，最后化歸為二次函數的三角函數最值問題，稱為二次函數型.閉區間上的二次函數一定存在最大值、最小值，這是求解二次函數型三角最值得主要依據.對能夠化為形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函數最值問題，可看作是sinx或cosx的二次函數最值問題，常常利用配方轉化策略來解決.

二次函數的對稱軸不在t∈[-1，1]的范圍內，且二次項系數a>0，其圖象開口向上，結合二次函數的圖象可知當t=-1，ymin=-6；當t=1，ymax=4.

感悟：這類問題在求解中，要注意三個方面的問題：其一要將三角函數準確變形為sinx或cosx的二次函數的形式， 可以采用換元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，運用二次函數配方的技巧正確配方，易錯在二次項系數，如本題中二次項系數是-2，對應二次函數開口向下，配方過程中要先提出負號；其三要把握三角函數sinx或cosx的范圍，注意觀察二次函數對稱軸與換元后變量的范圍的關系.值得注意的是，當變量x有一定范圍時，更要注意換元量t的范圍，防止出錯.

2.有界性轉化

三角函數尤其正弦、余弦是一種有界函數，其有界性在解決值域、最值或者取值范圍等問題顯得靈活.對于所給的三角函數能夠通過三角恒等變換，結合正余弦的兩角和差公式，升降冪公式和二倍角公式，對所給的式子化簡為形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常?？梢岳萌呛瘮档挠薪缧?，在變量x沒有特定范圍的情況下，其值域為[-A，A]求解其最值.這是解決三角函數最值問題常用的策略之一.

感悟：求解這類問題的關鍵是先將所給的三角函數化為一個角的三角函數問題，然后利用三角函數的有界性求其最值.針對高考中題目看，還要強化變角訓練，如何把一個含有不同名或不同角的三角函數式化為只含有一個角的三角函數關系式，這也是高考的重點.由此題可見，靈活運用三角函數的有界性，能使問題的求解直接明了！

3.單調性轉化

對于三角函數來說， 結合三角函數的圖象，判斷三角函數對應區間的單調性，利用三角函數在給定區間單調性是求解三角函數函數最值問題常用的一種轉化策略.此種題型直接考查三角函數的性質及圖象的變換.常常是先化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式，與例題2中的轉化方法類似，區別在于復合角 （ωx+φ）區間的特定性.

摘要：解決三角函數最值問題的基本途徑：一方面應充分利用三角函數自身的特殊性，如有界性.另一方面還要注意將求解三角函數最值問題，轉化為求一些我們所熟知的函數如二次函數等最值問題.

關鍵詞：三角函數最值 配方轉化 有界性轉化 單調性轉化

三角函數這一章節，在近幾年高考中，已逐步拋棄了對復雜三角變換和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函數最值問題.且一般以選擇、填空題形式出現，難度不大.

下面介紹幾種常見的三角函數最值的求解策略.

1.配方轉化

經轉化，最后化歸為二次函數的三角函數最值問題，稱為二次函數型.閉區間上的二次函數一定存在最大值、最小值，這是求解二次函數型三角最值得主要依據.對能夠化為形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函數最值問題，可看作是sinx或cosx的二次函數最值問題，常常利用配方轉化策略來解決.

二次函數的對稱軸不在t∈[-1，1]的范圍內，且二次項系數a>0，其圖象開口向上，結合二次函數的圖象可知當t=-1，ymin=-6；當t=1，ymax=4.

感悟：這類問題在求解中，要注意三個方面的問題：其一要將三角函數準確變形為sinx或cosx的二次函數的形式， 可以采用換元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，運用二次函數配方的技巧正確配方，易錯在二次項系數，如本題中二次項系數是-2，對應二次函數開口向下，配方過程中要先提出負號；其三要把握三角函數sinx或cosx的范圍，注意觀察二次函數對稱軸與換元后變量的范圍的關系.值得注意的是，當變量x有一定范圍時，更要注意換元量t的范圍，防止出錯.

2.有界性轉化

三角函數尤其正弦、余弦是一種有界函數，其有界性在解決值域、最值或者取值范圍等問題顯得靈活.對于所給的三角函數能夠通過三角恒等變換，結合正余弦的兩角和差公式，升降冪公式和二倍角公式，對所給的式子化簡為形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常?？梢岳萌呛瘮档挠薪缧?，在變量x沒有特定范圍的情況下，其值域為[-A，A]求解其最值.這是解決三角函數最值問題常用的策略之一.

感悟：求解這類問題的關鍵是先將所給的三角函數化為一個角的三角函數問題，然后利用三角函數的有界性求其最值.針對高考中題目看，還要強化變角訓練，如何把一個含有不同名或不同角的三角函數式化為只含有一個角的三角函數關系式，這也是高考的重點.由此題可見，靈活運用三角函數的有界性，能使問題的求解直接明了！

3.單調性轉化

對于三角函數來說， 結合三角函數的圖象，判斷三角函數對應區間的單調性，利用三角函數在給定區間單調性是求解三角函數函數最值問題常用的一種轉化策略.此種題型直接考查三角函數的性質及圖象的變換.常常是先化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式，與例題2中的轉化方法類似，區別在于復合角 （ωx+φ）區間的特定性.